Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral
leidub niisugune arv b>0 , et kehtib võrratus |f(x)-A|
lim y = lim (sin a cos x + cos a sin x - sin a ) = x 0 x 0 = lim (sin a cos x) + lim (cos a sin x ) - lim sin a = x 0 x 0 x 0 = sin a lim cos x + cos a lim sin x - sin a = x 0 x 0 = sin a 1 + cos a 0 - sin a = 0 Seega saime, et antud funktsioon pidev piirkonnas R. 19 Katkev funktsioon Funktsiooni katkevuspunktiks nimetatakse punkti, milles funktsioon ei ole pidev. 1 x y= 0.5 x 1 sin( x) x -5 0 5 x
määratud kohal a 2) funktsioonil peab leiduma lõplik piirväärtus kohal a 3) peab kehtima võrdus lim f(x) , x a = f(a) 14. Katkev funktsioon- funktsioon y = f(x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim f(x) , x a = f(a) EI KEHTI. 15. Katkevuspunkt- Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks. 16. Esimest liiki katkevuspunkt- niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 17. Teist liiki katkevuspunkt- arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri lim f(x); x a+ on lõpmatu või ei eksisteeri 18
selles piirprotsessis. DEF 5. Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi (x) ja (x) nim. piirprotsessis x-> x0 ekvivalentseteks lõpmata väikesteks (suurteks), kui lim (x) / (x)=1 1.7 Funktsiooni pidevus DEF 1. Funktsiooni f(x) nim. pidevaks punktis x0, kui on täidetud kolm tingimust: 1. f(x0) 2. lim f(x) 3. lim f(x)=f(x0) DEF 2. Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis x0 nim. katkevaks funktsiooniks punktis x0, kusjuures punkti x0 nim. funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. DEF 3. Punkti x0 nim. funktsiooni f(x) esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis x0 funktsiooni f(x) ühepoolsed lõplikud piirväärtused DEF 4. Funktsiooni f(x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki nim. selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. DEF 5. Suurust x =x- x0 nim. argumendi muuduks ehk argumendi kasvuks ja suurust y=f(x)-f(x0)= f(x0+x)-f(x0) ning argumendi muudule x vastavaks funktsiooni y=f(x) muuduks ehk kasvuks punktis x0 DEF 6. Funktsiooni y=f(x) nim
Pidevuse geomeetriline sisu. Funktsiooni ! nimetatakse pidevaks punktis , kui 1. ! on määratud argumendi väärtusel , st 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim,+ ! 3. lim,+ ! =! Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt argumendi väärtusel = pideva funktsiooni graafik on punktis = _ , ! ` pidev joon. 12) Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Olgu funktsiooni ! katkevuspunkt: 1. Kui punktis eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim,+X ! ja lim,U ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiku katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus lim,+X ! = lim,U ! = lim,+ ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! kõrvaldatavaks
Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 4. Katkev funktsioon Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a, lim f ( x ) f ( a ) x a 3. kehtib 1 esimest liiki katkevuspunkt Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1. Liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. Liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 1) hüppekoht 2) kõrvaldatav katkevuskoht 3) koht a, mille korral leiduvad lim f ( x ) lim f ( x) f (a) xa ja f (a ) , kuid x a Teist liiki katkevuspunkt Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevuspunktiks, kui või on lõppmatu 5. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid.
võrreldes suurusega (x) kõrgemat järku lõpmata väike suurus selles piirprotsessis (alfa läheb nulliks kiiremini kui beeta) Lõpmata väikeseid suurusi (x) ja (x) piirprotsessis x a nim ekvivalentseteks selles piirprotsessis ,kui lim( x a )(x)/(x)=1 Funktsiooni f(x) nim pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust... Funktsiooni, mis ei ole pidev punktis a, nim katkevaks punktis a ja nim funkts f(x) katkevuspunktiks Funkts f(x) katkevuspunkti a nim esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funkts f(x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused, kuid seejuures lim f ( x ) lim f ( x ) või pole funktsiooni väärtus punktis x = x0 määratud. x x0 + 0 x x -0 0 Funkts-i katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki katkevuspunk, nim funkts f(x) teist liiki katkevuspunktiks Kui argument x muutub x (argumendi muudu) võrra ning omandab väärtuse x = x0 + x , siis ka funktsioon muutub y
paremalt pidev, kui lim = (). + · Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a vasakult pidev, kui lim = (). - · Funktsioon on pidev punktis a, kui ta on selles punktis pidev nii vasakult kui ka paremalt. FUNKTSIOONI KATKEVUSPUNKTID Funktsiooni katkevuspunkti mõiste · Funktsiooni y = f(x) nim katkevaks punktis a, kui ta ei ole selles punktis pidev. · Punkti a nim funktsiooni katkevuspunktiks. · Seega, a on funktsiooni katkevuspunkt, kui ei ole täidetud tingimus lim = () . Teiste sõnadega, kui on täidetud vähemalt üks järgmisest kolmest tingimusest: () lim (), st parem- ja vasakpoolne piirväärtus ei ühti lim () Katkevuspunktide liigid · I liiki katkevuspunkt kui on olemas mõlemad lõplikud ühepoolsed piirväärtused: lim =
2. Kahe pideva funktsiooni korrutis on pidev funktsioon 3. Kahe pideva funktsiooni jagatis on pidev funktsioon, kui jagaja ei võrdu vaadeldavas punktis nulliga 4. Liitfunktsioon on pidev, kui tema koostis osad on pidevad funktsioonid. 14. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Tooge näiteid iga vaadeldud variandi kohta. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Kui funktsioon y = f(x) ei ole pidev punktis a, siis öeldakse, et ta on katkev punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni y = f(x) katkevuspunktiks Liigitus: 1) Kui funktsiooni y = f(x) katkevuspunktis a on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused f(x) ning f(x), siis punkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks. 2) Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest f(x) või f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni y=f(x) teist liiki katkevuspunktiks. Näited: Funktsioon f(x) ei ole määratud punktis x = 1. Kuid selles punktis olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja need on võrdsed
lim f ( x ) =f (a) 3) x→ a Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon. 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. 1) Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused −¿ +¿ x → a f ( x) x → a f (x) lim ¿ ja lim ¿ , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f ¿ ¿ esimest liiki katkevuspunktiks.
Näiteks: x-sinx ~x3/6 (x->0) sinx ~x (x->0) 18*(Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust: 1). f(a); 2). 3). (Tõestus: (Xo))=0 (Xo f(x-xo)) f(xo))=0 ) Tähistatakse: f(x) C *Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks. *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a e teer v d fun t n f x õp ud ühep ed p rväärtu ed *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki katkevuspunktiks. *Kui vaadeldakse suurusi f(Xo) ja eeldatakse 1 ja 2 punkti olemasolu. 20*(Pidevate funktsioonide omadusi)Funktsioon f(x) on pidev punktis X0 parajasti siis, kui see
suuruseks suhtes. Pideva funktsiooni definitsioon - Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui 1.f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim xa f(x). 3. lim xa f(x) = f(a). Pidevuse geomeetriline sisu - argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa -f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid:
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: · Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe f- g, korrutis fg ja eeldusel g(a)0 ka jagatis f/g. · Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a. 14. Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. · Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: · Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe f- g, korrutis fg ja eeldusel g(a)0 ka jagatis f/g. · Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(a)] pidev punktis a. 14. Def. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. · Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x)m siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim f(x) = lim f(x) = lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
3 ∀u, v ∈ V ||u + v|| <= ||u|| + ||v|| vasakult punktis a, kui lim∆x→0− ∆y = 0 Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u, v ∈ V seab Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse 1 ∀u, v ∈ V d(u, v) >= 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funktsiooni f(x) lõplikud ühepoolsed 2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) piirväärtused. Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused
Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja kunktsioon z=g(y) on pidev 14.Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. See võib paikneda väljaspool määramispiirkonda. Katkevuspunktide liigitus Kui punktis a eksisteeriva lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim- () ja lim+ (), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim- () = lim () = lim (), siis nimetatakse punkti funktsiooni f +
1 Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe fg, korrutis fg ja eeldusel g(a)=0 ka jagatis . 2 Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 16) · Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. · Katkevuspunktide liigitus 1 Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus , siis nim seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
1 Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe fg, korrutis fg ja eeldusel g(a)=0 ka jagatis . 2 Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 16) · Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. · Katkevuspunktide liigitus 1 Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus , siis nim seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
2. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et Tähistatakse f(x) C(a). hulgal X on määratud (ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y= f(x), x X. Def. Fun-ni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a Hulka x nim. fun-ni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x X y = f(x)} Y fun-ni f nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. muutumispiirkonnaks. Elementi x nim. fun-ni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja Def. Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a elementi y sõltuvaks muutujaks. eksisteerivad funktsiooni f (x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused. Mõiste funk-n asemel kasutatakse ka mõistet ,,kujutus". Hulka f(X) nim. hulga X kujutiseks Def
graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile: Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: lk 46 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste: Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim.........................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim....................................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevuspunktiks.
pidevad ka summa f+g, vahe f-g, korrutis fg, eeldusel g(a)0 ka jagatis d.ii. Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja kunktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus a. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. See võib paikneda väljaspool määramispiirkonda. b. Katkevuspunktide liigitus b.i. Kui punktis a eksisteeriva lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. b.i.1. Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus , siis nimetatakse punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks
Kehtivad järgmised väited: 1) Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f g, korrutis fg ja eeldusel ka jagatis . 2) Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktid jagunevad kaheks: 1.a) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. 1
a. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon
= *Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks. x→ 0 x x→ 0 *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui [ ]
Kehtivad järgmised väited: 1. Kui funktsioonid ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa +g, vahe -g, korrutid fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0-ga ka jagatis /g. 2. Kui funktsiooni y= (x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis (a), siis liitfunktsioon z=g[ (x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x->a astmel
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral. 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f +g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0 ka jagatis f /g. 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks.
2. Kahe pideva funktsiooni korrutis on pidev funktsioon 3. Kahe pideva funktsiooni jagatis on pidev funktsioon, kui jagaja ei võrdu vaadeldavas punktis nulliga 4. Liitfunktsioon on pidev, kui tema koostis osad on pidevad funktsioonid. 14. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Tooge näiteid iga vaadeldud variandi kohta. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Kui funktsioon y = f(x) ei ole pidev punktis a, siis öeldakse, et ta on katkev punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni y = f(x) katkevuspunktiks Liigitus: 1) Kui funktsiooni y = f(x) katkevuspunktis a on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused f(x) ning f(x), siis punkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks. 2) Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest f(x) või f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni y=f(x) teist liiki katkevuspunktiks. Näited: Funktsioon f(x) ei ole määratud punktis x = 1. Kuid selles punktis olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja need on võrdsed
Kehtivad järgmised väited: 1. Kui funktsioonid ƒ ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa ƒ +g, vahe ƒ -g, korrutid fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0-ga ka jagatis ƒ /g. 2. Kui funktsiooni y= ƒ (x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis ƒ (a), siis liitfunktsioon z=g[ƒ (x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni ƒ katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x-
32. Funktsioon on pidev punktis a, kui leidub f(a), leidub lim_{xto a} , f(x) ja 8. Põhilised elementaarfunktsioonid (omadused, graafikud) lim_{xto a}=f(a)*Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle 1) konstantne funktsioon y0c funktsiooni katkevuspunktiks.*Katkev funktsioon- funktsioon y = f(x) on katkev 2)Astmefunktsioon y=xa , kohal a, kui on täidetud nt tingimus et f(x) pole määratud kohal a 3)Logaritmfunktsioon y =loga x 33. S~onastada loigul pidevate funktsioonide omadused. 4)Eksponentfunktsioon y=ax , Lause 1
seda, et graafikul on väärtuste muutmine y-telje sihis kuitahes väike, kui vaid muutmine x-telje sihis on piisavalt väike Tehted pidevate funktsioonidega: f(x) + g(x); f(x) − g(x); f(x)g(x); f(x) /g(x) 11. Funktsiooni katkevuspunktid (definitsioon, I ja II liiki katkevuspunktid). Definitsioon: kui funktsioon ei oled pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks Esimest liiki katkevus punktid: funktsioonil on olemas ühepoolsed piirväärtused Teist liiki katkevuspunktid: kõik ülejäänud katkevuspunktid 12. Pideva funktsiooni omadused (teoreemid lk 12-13). Weierstrass teoreem: Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus Weierstrass teoreem: Lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus
kõrgemat järku suurused). Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Kui leidub punkt x1 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) >= f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a; b].
19. Kui mingis punktis funktsioon ei täida kasvõi ainult üht pidevuse tingimustest, 20. s.t. kui punktis x = x 0 funktsioon ei ole määratud või ei ole lõplikku lim f ( x) lim f ( x) f ( x 0 ) piirväärtust x x0 või x suvalisel lähenemisel x0 - le x x0 , siis punktis x = x 0 funktsioon y = f (x) on katkev. Punkt x = x0 inimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks. 21. Teoreem 1. Lõigul a x b pidev funktsioon omandab sellel lõigul vähemalt 22. üks kord suurima väärtuse M ja vähima väärtuse m. 23. 24. Kui funktsioon y = f (x) on lõigul [a,b] pidev ja omandab selle otspunktides erinevate märkidega väärtused, siis leidub punktide a ja b vahel vähemalt üks punkt x=c niisugune, et f (c) = 0. 25. 26. 27. Olgu funktsioon y = f (x) lõigul [a,b] määratud ja pidev. Kui funktsiooni
..) ( x, y, z ,...) D ja punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ,...) D . Kui kehtib võrdus lim f ( P ) = f ( P0 ) , siis öeldakse, et funktsioon f on pidev punktis P0. P P0 Kui funktsioon on pidev oma määramispiirkonna igas punktis, siis öeldakse et antud funktsioon on pidev. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Funktsiooni määramispiirkonna punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse antud funktsiooni katkevuspunktiks. Mitme muutuja funktsiooni diferentseerimine Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) . Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim. ühe muutuja funktsiooni tuletist, mis saadakse funktsiooni f ülejäänud muutujate lugemisel konstantideks. f ( x, y , z,...) Seda tähistatakse: wx = f x ( x, y , z ,...) = .
F(x) peab olema lõplik piirväärtus kohal a – peab eksisteerima x=a lim f ( x ) =f (a) 3. Peab kehtima x=a b. Funktsioon on pideva kohal a parajasti siis, kui f(x) on kohal a paremalt ja vasakult pidev c. 11. Funktsiooni muut: ∆ y=f ( x+ ∆ x )−f (x) Argumendi muut: ∆ x=( x +∆ x )−x 12. Kui funktsioone ei ole pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. a. Esimest liiki: on olemas ühepoolsed piirväärtused b. Teist liiki: kõik ülejäänud katkevuspunktid 13. Pideva funktsiooni omadused: 1. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on pidevad kohal a, siis ka funktsioonid f(x) +g(x); f(x) - g(x); f(x)g(x); f(x) / g(x) on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame, et g(x) ≠ 0 2
Funktsiooni pidevus Funktsiooni pidevus Definitsioon ¨ Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: f (a); lim f (x); xa lim f (x) = f (a). xa ¨ Tahistatakse f (x) C(a). Definitsioon Funktsiooni f (x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 25 Funktsiooni pidevus Funktsiooni pidevus Definitsioon ¨ Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: f (a); lim f (x); xa lim f (x) = f (a). xa ¨ Tahistatakse f (x) C(a).
märkides seda kujul ~ . 3. Kui = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine: 1.Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks. 2.Kui = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkides seda kujul ~ . 13. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Liigitus: kõrvaldatav k.p., hüppepunkt, II liiki kp. 14. . Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. 17. Tuletiste arvutamise põhireeglid: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg'
14. · Funktsiooni katkevuspunkt punkt, kus funktsioon ei ole pidev. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Kui katkevuspunkt paikneb väljaspool määramispiirkonda siis rikub ta pidevuse esimest tingimust, kui määramispiirkonnas siis teist ja kolmandat. · Katkevuspunktide liigitus 1. Kui punktis eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja siis nimetame seda punkti esimest liiki katkevuspunktiks. a) Kui kehtib võrdus siis on see punkt kõrvaldatav katkevuspunkt b) Kui kehtiv võrratus siis on see punkt funktsiooni hüppepunkt 2. Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest puudub või ei ole lõplik siis nimetame seda punkti funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. 3. Funktsioonil on katkevuspunkt . Ühepoolsed piirväärtused on olemas aga nad ei ole
( ) Kehtivad järgmised väited: 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis f/g . 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti moiste.( ) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. () Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1
1) Funktsioon f(x) peab olema määratud kohal a (so f(a) peab eksisteerima). 2) F-l f(x) peab olema lõplik piirväärtus kohal a (st lim (x) f(x) peab eksisteerima). 3) Peab eksisteerima võrdus lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 Kõik polünoomid on kõikjal pidevad N: ruutvõrrand, kuupvõrrand 17. Funktsiooni katkevuspunktid (definitsioon). DEF. Kui funktsioon ei ole pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. Seega on f(x) katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) F-l f(x) ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 18. Funktsiooni tuletis (definitsioon, tähistused). Selle füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus (joonisega). DEF. Kui argumendi muudu lähenemisel nullile funktsiooni f(x) muudu ja argumendi
Tähistame Kui x0 ja y0, siis ka p0 ja vastupidi. Pannes tähele, et nurksulgudes olev avaldis võrduses on funktsiooni täismuut z, saame Funktsiooni, mis on pidev mingi piirkonna igas punktis, nim. pidevaks selles piirkonnas. Kui tingimus ei ole mingis punktis N0(x0;y0) täidetud, siis nim. punkti N0(x0;y0) funktsiooni z- f(x,y) katkevuspunktiks. Tingimus võib olla mitte täidetud järgmistel juhtudel: · z=f(x,y) on määratud punkti N0(x0;y0) teatud ümbruse kõigis punktides, kuid ei ole määratud punktis N0(x0;y0); · funktsioon z=f(x,y) on määratud punkti N0(x0;y0) ümbruse kõigis punktides, kuid
Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. Kehtivad järgmised väited: 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f +g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis . 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. 15. Ühepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui 1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus , 3. = f(a). Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a, b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a, b).
Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A(a, f(a)) pidev joon 23. Tõestada, et pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui argumendi muut läheneb nullile. (lk 18) limx→a f(x) = f(a) ⇔ limx→a f(x) − f(a) = 0 ⇔ limx→a f(x) − limx→a f(a) = 0 ⇔ limx→a [f(x) − f(a)] = 0 ⇔ limx→a ∆y = 0 ⇔ lim ∆x→0 ∆y = 0 . 24. Mis on funktsiooni katkevuspunkt? (lk 18) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. 25. Defineerida hulgal pidev funktsioon. (lk 19) Olgu A vahemik, lõik või poollõik. Kui funktsioon f on pidev hulga A kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev hulgal A. Hulgal A pideva funktsiooni graafik on selle hulga kohal pidev joon. 26. Sõnastada teoreem funktsiooni nullkoha olemasolust. (lk 19) Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0
Olgu katkevuspunkt x0 ja Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal funktsiooni f(n) tuletis punktis n . Sel juhul on tuletis ka 1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0 on tuletis selles punktis. liitfunktsioonil f [u(x)] Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on (f[u(x)])'=f' uu' diferentseeruv selle vahemiku igas punktis. Kui defineerida, et , siis saame funktsiooni, mis on pidev kohal Kui x0 , siis lõikaja PQ muutub puutujaks PTja nurk x0
Funktsiooni nimetatakse pidevaks argumendi väärtusel , kui on täidetud järgmised tingimused: 1. f-ni f(x) väärtus f(a) on määratud 2. on olemas lõplik piirväärtus 3. kehtib võrdus Näide: Uurin f-ni 1. 2. 3. Kuna kõik tingimused on rahuldatud, siis see f-n on pidev. 12. Mis on funktsiooni katkevuspunkt? Esitage 2 näidet! Kui ei ole täidetud eelnimetatud tingimusi siis on f-n argumendi x väärtusel a katkev ja on selle f-ni katkevuspunktiks. Näited: järgmises punktis 13. Milline katkevuspunkt on I liiki, II liiki? Esitage mõlema juhu jaoks 1 näide! Esimest liiki katkevus on siis, kui on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused. Teist liiki katkevus on ülejäänud olukordades. Näited: Katkevuskoht on kohal 0, esineb esimest liiki katkevus Katkevuskoht on kohal -1, esineb teist liiki katkevus 14. Mis on funktsiooni hüpe? Esitage näide!
f(x)f(x1) x(a;b); f(x)f(x2) x(a;b). *olgu f. y=f(x) pidev lõigul (a;b). olgu x1 ja x2 mingid
puktid sellel lõigul, kus c=f(x1); d=f(x2). Sel juhul mistahes k korral (c
Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks kõikjal, kui ta on pidev hulgas R m . Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse mitme muutuja elementaarfunktsiooniks. Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad. Def. Punkti A D D nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev selles punktis. Punkt A on funktsiooni z = f (P ) katkevuspunkt, kui kehtib üks järgmistest: 1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda; 2. ei eksisteeri piirväärtust lim f (P ) ; P A 3. ei kehti võrdus lim f (P ) = f ( A) . P A 2
seejuures xx0 nii, et x>x0 Neid piirväärtusi nimetatakse ühepoolseteks Definitsioon 4 Katkevuspunktideks nim. argumendi x väärtuseid, mille korral funktsioon ei ole pidev, kuid nende punktide piisavalt väikeses ümbruses on pidev Katkevuspunktide liigid: Olgu katkevuspunkt x0 ja lim f ( x) = A , lim f ( x) = B x x0 - o x x0 + o 1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0 Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks Kui defineerida, et f ( x 0 ) = lim f ( x) = A = B , siis saame funktsiooni, mis on pidev kohal x0 x x0 2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse Punkti x0 on II liiki katkevuskoht Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Siis on pidevad ka funktsioonid: 1) f(x)+ g(x) 2) f ( x) g ( x) f ( x)
seejuures xx0 nii, et x>x0 Neid piirväärtusi nimetatakse ühepoolseteks Definitsioon 4 Katkevuspunktideks nim. argumendi x väärtuseid, mille korral funktsioon ei ole pidev, kuid nende punktide piisavalt väikeses ümbruses on pidev Katkevuspunktide liigid: Olgu katkevuspunkt x0 ja lim f ( x) = A , lim f ( x) = B x x0 - o x x0 + o 1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0 Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks Kui defineerida, et f ( x 0 ) = lim f ( x) = A = B , siis saame funktsiooni, mis on pidev kohal x0 x x0 2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse Punkti x0 on II liiki katkevuskoht Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Siis on pidevad ka funktsioonid: 1) f(x)+ g(x) 2) f ( x) g ( x) f ( x)
aide 4. Et Heaviside'i funktsiooni H(x) korral lim H(x) lim H(x) = 0 lim H(x) = 1, x0 x0- x0+ siis punkt 0 on funktsiooni H(x) esimest liiki katkevuspunkt. Nendime, et H(0) = 1. Seega v~oime r¨ a¨akida funktsiooni H(x) parempoolsest pidevusest punktis 0. Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. N¨aide 5. Funktsiooni x/ (x + 2) katkevuspunkt x = -2 on teist liiki katkevuspunkt, sest x x lim = + lim = -. x-2- x + 2 x-2+ x + 2 Skitseerime funktsiooni y = x/ (x + 2) graafiku ja sirged v~orranditega y = 1 ning x = -2 8 6
annaabi.ee 
