xa - xa + Näide. x Arv 0 on funktsiooni y= hüppekoht, sest x x lim = -1 x 0 - x 1 x lim =1 x x 0 + x -1 22 Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 2) kõrvaldatav katkevuskoht Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) kõrvaldatavaks katkevuskohaks, kui lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) ja a X xa - xa + x a Katkevuse kõrvaldamiseks defineeritakse täiendavalt funktsiooni väärtus kohal a tingimusega f (a ) = lim f ( x). x a f ( x), kui x a Siis on f ( x) = pidev funktsioon.
tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim f(x) , x a = f(a) EI KEHTI. 15. Katkevuspunkt- Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks. 16. Esimest liiki katkevuspunkt- niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 17. Teist liiki katkevuspunkt- arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri lim f(x); x a+ on lõpmatu või ei eksisteeri 18. Funktsiooni tuletis- funktsiooni y = f(x) tuletiseks f `(x) kohal x nimetatakse piirväärtust f ` (x) = lim y / x ; x 0 = lim f ( x + x) f(x) / x ; x 0, kui see piirväärtus eksisteerib. 19. Funktsiooni n-järku tuletis- funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse tema
vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a, lim f ( x ) f ( a ) x a 3. kehtib 1 esimest liiki katkevuspunkt Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1. Liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. Liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 1) hüppekoht 2) kõrvaldatav katkevuskoht 3) koht a, mille korral leiduvad lim f ( x ) lim f ( x) f (a) xa ja f (a ) , kuid x a Teist liiki katkevuspunkt Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevuspunktiks, kui või on lõppmatu 5. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. Teoreem: Olgu f (x) ja g (x) pidevad funktsioonid kohal a, siis ka funktsioonid f ( x)
12. Mis on funktsiooni katkevuspunkt? Esitage 2 näidet! Kui ei ole täidetud eelnimetatud tingimusi siis on f-n argumendi x väärtusel a katkev ja on selle f-ni katkevuspunktiks. Näited: järgmises punktis 13. Milline katkevuspunkt on I liiki, II liiki? Esitage mõlema juhu jaoks 1 näide! Esimest liiki katkevus on siis, kui on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused. Teist liiki katkevus on ülejäänud olukordades. Näited: Katkevuskoht on kohal 0, esineb esimest liiki katkevus Katkevuskoht on kohal -1, esineb teist liiki katkevus 14. Mis on funktsiooni hüpe? Esitage näide! Esimest liiki katkevuse korral nimetatakse hüppeks parempoolse ja vasakpoolse piirväärtuse vahet. Näide: 15. Nimetage lõigus pidevate funktsioonide 3 omadust ja illustreerige neid näidetega! F-nil on olemas minimaalne ja maksimaalne väärtus lõigus [a,b]. F-n omandab iga väärtuse, mis paikneb minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel.
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna
(a;b), st. pidev paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b 44.Katkeva funktsiooni mõiste 45.Esimest liiki katkevuspunkti mõiste A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid A B. Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt, ehk hüppekoht. 46.Esimest liiki katkevuspunktide alamliigid 47.Teist liiki katkevuskoha mõiste Kui A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse, siis punktis x 0 on II liiki katkevuskoht. 48.Pidevate funktsioonide omadused Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile Kui funktsioonid u = u(x) ja v = v(x) on pidevad punktis a, siis nende summa u(x) + v(x), vahe u(x) - v(x), korrutis u(x) v(x) ja jagatis u(x)/v(x) (v(a) 0) on ka pidevad selles punktis Kui funktsioonid u = u(x) on pidev punktis a ja = (u) on pidev punktis
x0 2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures AB Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht Tuletis y' on geomeetriliselt võrdne kõverjoone y =f(x) 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse tõmmatud puutuja tõusuga Punkti x0 on II liiki katkevuskoht k=tan = y' Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Sirge võrrand, mis läbib punkti A (x0,y0) tõusuga k on y-y0 Siis on pidevad ka funktsioonid: =k(x-x0) Teoreem 2 Kui funktsioon y=f(x) on diferentseeruv punktis x,
kus yk = f(xk) 11 Funktsiooni graafiku X Kumeruspiirkonnad: f ‘’(x) < 0, kumerus ja nõgusus X Nõgususpiirkonnad: f ‘’(x) > 0 Täiendavalt võib kontrollida, kas funktsioon on paaris või paaritu (või pole kumbki). Võib arvutada ka piirväärtused lim f(x), kus x või xa- ja xa+, kus a on funktsiooni graafiku katkevuskoht. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 6 FUNKTSIOONI y = x3 – 4x2 TÄIELIK UURIMINE 1. Funktsiooni määramispiirkond. X = R, sest funktsiooni määrav avaldis ei sisalda murde, astmeid, trigonomeetrilisi funktsioone, logaritme jne. Muutuja x mistahes väärtuse korral saab y väärtust leida. 2. Funktsiooni muutumispiirkond Vt lõppu. 3. Funktsiooni nullkohad.
keeruline sest: 1. Optimeerimisarvutused peavad algama lubatavast piirkonnast; 2. Optimaalne lahend võib asuda lubatavate lahendite piirkonna mistahes punktis; 3. Arvutus toimub iteratiivselt, iteratsioonide arv võib olla väga suur; 4. Tulemuseks saadakse lokaalne optimum ja mitte alati pole võimalik teada, kas see on ka globaalne. Lisatingimusteta optimeerimisülesannete lahendusmeetodid: Kriitilised punktid, kus võib asuda funktsiooni (y) optimum on järgmised: 1. Punktis, kus on katkevuskoht; 2. Punktid, kus funktsioon on pidev, kuid tuletis puudub; 3. Punktid, kus '=0 Lahendusskeem: 1. Ülesande matemaatilise mudeli koostamine; 2. Optimaalsustingimuste tuletamine; 3. Kriitilist punktide tuvastamine; 4. Optimaalse lahendi leidmine kriitiliste punktide hulgast Lahendusmeetodid: 1. Kaudsed meetodid lahend saadakse optimumitingimuste lahendamise teel; 2. Otsesed meetodid iteratiivsed otsimismeetodid Gradientmeetod: Olgu optimeerimisülesande sihifunktsiooniks (y1, y1, ..., yn)
Olgu joon määratud võrrandiga y = f ( x ) . Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud ja üleminekul väärtusest x = x0 teine tuletis f ( x ) muudab märki, siis joone punkt, mille abstsiss on x = x0 , on käänupunkt. Enne graafiku joonestamist on otstarbekas lisaks eelnevale leida piirväärtused lim f ( x ) , lim f ( x ) ja lim f ( x ) (vajadusel ka vasak- ja parempoolne piirväärtus), kus a on x x - x a katkevuskoht. Katkevuskohas x = a on funktsioonil sageli vertikaalne asümptoot. 4.9 Funktsiooni diferentsiaal Funktsiooni y = f ( x ) diferentsiaal dy avaldub selle funktsiooni tuletise kaudu kujul dy = f ( x ) dx = ydx , kus dx = x (vt. joonist). Väikeste x puhul y dy , s.t. kehtib valem f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x . 4.10 Määramata integraal Iga funktsiooni F ( x ) , mille puhul
Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud ja üleminekul väärtusest x x0 teine tuletis f x muudab märki, siis joone punkt, mille abstsiss on x x0 , on käänupunkt. Enne graafiku joonestamist on otstarbekas lisaks eelnevale leida piirväärtused lim f x , lim f x ja lim f x (vajadusel ka vasak- ja parempoolne piirväärtus), kus a on x x x a katkevuskoht. Katkevuskohas x a on funktsioonil sageli vertikaalne asümptoot. 4.9 Funktsiooni diferentsiaal Funktsiooni y f x diferentsiaal dy avaldub selle funktsiooni tuletise kaudu kujul dy f x dx ydx , kus dx x (vt. joonist). Väikeste x puhul y dy , s.t. kehtib valem f x x f x f x x . 4.10 Määramata integraal
x x0 - o x x0 + o 1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0 Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks Kui defineerida, et f ( x 0 ) = lim f ( x) = A = B , siis saame funktsiooni, mis on pidev kohal x0 x x0 2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse Punkti x0 on II liiki katkevuskoht Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Siis on pidevad ka funktsioonid: 1) f(x)+ g(x) 2) f ( x) g ( x) f ( x) 3) , kus g ( x) 0 , kui x M g ( x) Tõestus järeldub vastavast teoreemist piirväärtuste kohta. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 8 Teoreem 2 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b]
x x0 - o x x0 + o 1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0 Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks Kui defineerida, et f ( x 0 ) = lim f ( x) = A = B , siis saame funktsiooni, mis on pidev kohal x0 x x0 2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse Punkti x0 on II liiki katkevuskoht Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Siis on pidevad ka funktsioonid: 1) f(x)+ g(x) 2) f ( x) g ( x) f ( x) 3) , kus g ( x) 0 , kui x M g ( x) Tõestus järeldub vastavast teoreemist piirväärtuste kohta. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 8 Teoreem 2 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b]
F ( s ) e ds st f(t) = L-1[F(s)] = 2i -i kusjuures on valitud niiviisi, et lõpmata integraal koondub Alati ei pruugi olla ühene, kuigi suuremalt jaolt on 1 Näiteks: kujutisele vastab originaal f1() = ek s -k =2 kohal on katkevuskoht Pöördteisendus on lineaarne. L-1[AF(s)+BG(s)]=Af()+Bg() = AL-1[F(s)]+BL-1[G(s)] Kujutise järgi originaali leidmine on keeruline, kuid selleks on tabelid. Reguleerimissüsteemide uurimine lihtsustub tunduvalt, kui esitame diferentsiaalvõrrandid nende nn. operaatorkujutistena ja võtame appi ülekandefunktsioonid. Nimetatud võte põhineb Laplace'e teisendustel. Operaatormeetodi kasutamisel asendatakse diferentsiaalvõrrandid lahendamisel
annaabi.ee 
