Funktsioone, mille kahanemisvahemik Funktsioone, mille kasvamisvahemik ühtib ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse määramispiirkonnaga, nimetatakse kasvavateks kahanevateks funktsioonideks. funktsioonideks. Paarisfunktsiooni graafik on sümeetriline y- telje suhtes. Astmefunktsioonid : Paaritu funktsiooni graafik on sümeetriline y=X^-2 ehk Y=1/X^2
funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x 1 < x2, siis ka f(x1) < f(x2). Funktsioone, mille kasvamispiirkond ühtib määramispiirkonnaga nimetatakse kasvavateks funktsioonideks. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kahanevaks (X) vahemikuks ]a;b[, kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad: kui x 1 < x2, siis ka f(x1) > f(x2). Funktsioone, mille kahanemisvahemik ühtib määramispiirkonnaga nimetatakse kahanevateks funktsioonideks. Funktsiooni maksimum- ja miinimumkohti nimetatakse ühise nimega funktsiooni ekstreemumkohtadeks (Xe).
väärtused on negatiivsed (y on väiksem kui 0). 7. Funkts y=f(x) nim. Kasvavaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funkts. Vastavad väärtused suurenevad. 8. Funkts y=f(x) nim. kahanevaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste vähenedes ka funkts. Vastavad väärtused vähenevad. 9. Kasvavateks funkts. Nim. Funkts. Mille kasvamispiirkond ühtib funkts. määramispiirkonnaga 10.Kahanevateks funkts. Nim. Funkts. Mille kahanemisvahemik ühtib määramispiirkonnaga. 11.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) maksimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on suurem kui või võrdne f(x) 12.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) miinimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on väiksem kui või võrdne f(x) 13.Funkts y=f(x) nim
Teoreem lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos : Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse def. : *0 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem: 11. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine: 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ . 3. Kui = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine: 1.Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks. 2.Kui = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks
järku suurused). Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Olgu W ja Z lõpmatult kahanevad suurused protsessis [ , Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim,+ , siis nimetatakse suurusi W , ja Z sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. [ , Kui lim,+ = 1, siis nimetatakse suurusi W ja Z ekvivalentseteks lõpmatult , kahanevateks suurusteks märkides seda kujul W~Z. [ , Kui lim,+ , = 0, siis nimetatakse suurust W kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks Z suhtes. LIISI KINK
See tähendab, et mõlemad need suurused lähenevad nullile, kui x a. nende suuruste kahanemis kiirusi saab võrrelda kasutades suhet , . Kui selline suhe koondub nulliks, siis lugejas olev kahaneb kiiremini, kui nimetajas olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirväärtus, siis on ja kahanemiskiirused samas suurus järgus. 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim/xa/(x)/(x) , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim xa/ (x)(x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks (märkides seda kujul ~ .) 3. Kui lim xa (x)(x) = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes.' Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine - Olgu ja lõpmatult kasvavad suurused protsessis x a. 1.Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim xa (x)/(x) , siis nimetatakse suurusi
ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). α (x) 1) Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis x→ a β (x) nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. α (x) 2) Kui lim = 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks x→ a β (x) lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α ∼ β. α (x) 3) Kui lim = 0, siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult x→ a β (x) kahanevaks suuruseks β suhtes.
Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. Kui (x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a ja (x) on tõkestatud siis korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) kahanevad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. · Kui lim = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ . · Kui lim = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine. Olgu ja lõpmatult kasvavad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullis erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja
Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. Kui (x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a ja (x) on tõkestatud siis korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) kahanevad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. · Kui lim = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ . · Kui lim = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine. Olgu ja lõpmatult kasvavad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullis erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja
kus (x) = x ja (x) = sin[f(x)]. Esimene tegur x on lõpmatult kahanev, kui x 0 ja teine tegur on tõkestatud, kuna sin[f(x)] [-1, 1]. Seega teoreem põhjal saame )] = 0. 12. Lõplikult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis x a. See tähendab, et mõlemad need suurused lähenevad nullile, kui x a. 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus =m siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui l = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul . 3. Kui = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. 13. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui 1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik piirväärtus 3. = f(a). Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust.
Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut Summa vahe ja korrutise korral X=R kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a () lõigata maksimaalselt ühes punktis. See tuleneb funktsiooni Liitfunktsiooni mõiste ümbrusessse (a-,a+). a, lim =a. suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. () ühesusest. Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga X ja Koonduvad ja hajuvad jadad Kui lim () = 1, siis nimetatakse suurusi ja eksvivalentseteks
seose kohta. (lk 14) Funktsioon f(x) on lõpmatult kahanev suurus protsessis x → a siis ja ainult siis, kui 1/ f(x) on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis. 19. Sõnastada lõpmatult kahanevate suuruste võrdluslaused (sama järku, ekvivalentsed ja erinevat järku suurused). (lk 16) 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus limx→a f(x)/g(x) , siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui limx→a f(x)/g(x) = 1, siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul f(x) ∼ g(x). 3. Kui limx→a f(x/g(x) = 0, siis nimetatakse suurust f(x) kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks g(x) suhtes. 20. Sõnastada lõpmatult kasvavate suuruste võrdluslaused (sama järku, ekvivalentsed ja erinevat järku suurused). (lk 16- 17) 1
t~okestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. Kui suurus on l~opmatult kahanev ja suurus on t~okestatud, siis nende korrutis on l~opmatult kahanev. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 1. Kui eksisteerib l~oplik nullist erinev piirv¨a¨artus lim xa (x)/ (x), siis nimetatakse suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim xa (x)/ (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim xa (x) /(x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes. Kui ja on ekvivalentsed l~opmatult kahanevad suurused, siis - on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus nii kui suhtes.
· Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutise teoreem Kui a(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis xa ja B(x) on t õkestatud, siis korrutis a(x)B(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis xa 14) · Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused) 1 Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi a ja B sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2 Kui = 1 , siis nimetatakse suurusi a ja B ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul a B 3 Kui , siis nimetatakse suurust a kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks B suhtes. · Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste a ja B vahe on kõrgemat järku lõpmatut kahanev a suhtes Kui
· Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutise teoreem Kui a(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis xa ja B(x) on t õkestatud, siis korrutis a(x)B(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis xa 14) · Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused) 1 Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi a ja B sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2 Kui = 1 , siis nimetatakse suurusi a ja B ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul a B 3 Kui , siis nimetatakse suurust a kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks B suhtes. · Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste a ja B vahe on kõrgemat järku lõpmatut kahanev a suhtes Kui
Kui (x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x a ja (x) on tõkestatud, siis korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x a. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused): Olgu (x) ja (x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis x a. See tähendab, et mõlemad need suurused l. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus......................., siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui......................., siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul . 3. Kui.........................., siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes.henevad nullile, kui x a. Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes: Kui ja on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis - on
järku lõpmatult kahenev a suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). a. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine Olgu (x) ja (x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis xa. See tähendab, et mõlemad need suurused lähenevad nullile, kui xa. a.i. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. a.ii. Kui , siis nimetatakse suurusi ja eksvivalentseteks. lõpmatult kahanevateks suurusteks, märkides seda kujul ~. a.iii. Kui , siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. b. Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suhtes. Kuna ja on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis . Seega
Kui funktsioon on lõpmatult kahanev piirprotsessis ja funktsioon tõkestatud siis nende korrutis on lõpmatult kahanev piirprotsesis . 12. · Funkstiooni suuruste kahanemise kiiruste võrdlemine Olgu meil kaks lõpmatult kahanevat funktsiooni ja piirprotsessis . Kõige õigem viis kahanemise kiiruse leidmiseks on kasutada a ja b. 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus siis nimetame suuruseid a ja b sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui siis nimetame suuruseid a ja b ekvalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks. 3. Kui siis nimetame suurust a kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks b suhtes. Teoreem Kui a ja b on ekvalentsed lõpmatult kahanevad suurused siis on on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii a, kui b suhtes. Tõestus Vastavalt eeldusele on a ja b ekvalentselt lõpmatult kahanevad suurused Seega
korrutisest. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). KAHANEVATE VÕRDLEMINE 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks 2. Kui , siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ 3. Kui , siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. · Teoreem: Kui ja ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii kui suhtes. · Teoreemi tõestus:
12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). KAHANEVATE VÕRDLEMINE 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks 2. Kui , siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α~β 3. Kui , siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks β suhtes. Teoreem: Kui α ja β ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis α – β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii α kui β suhtes. Teoreemi tõestus:
Kui selline suhe koondub nulliks, siis lugejas olev kahaneb kiiremini, kui nimetajas olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirväärtus, siis on ja kahanemiskiirused samas suurusjärgus. 1) Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevaks suurusteks. 2) Kui , siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul . 3) Kui , siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suhtes: (Teoreem sellest oli: Kui ja on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii kui suhtes.)
Meid huvitab järgmine küsimus: kuidas võrrelda neende suuruste kahanemise kiirusi? Kõige õigem on seda teha suhet , kasutades. Kui selline suhe koondub() nulliks, siis lugejas() olev kahaneb kiiremini, kui nimetajas() olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirväärtus, siis on ja kahanemiskiirused samas suurus järgus. 1. Kui eksisteerib lõplik() nullist erinev() piirväärtus lim/xa/(x)/(x) , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim(x)(x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult xa kahanevateks suurusteks (märkides seda kujul ~ .) 3. Kui lim(x)(x) = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult xa kahanevaks suuruseks suhtes. Toestada, et lopmatult kahanevate suuruste a ja b vahe on korgemat jarku lopmatult kahenev a suhtes. Teoreem 2.6. Kui ja on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis
K~oige ~oigem on seda teha suhet kasu- tades. Kui selline suhe koondub nulliks, siis lugejas olev kahaneb kiiremini, kui nimetajas olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirv¨a¨artus, siis on ja kahanemiskiirused samas suurusj¨argus. 43 1. Kui eksisteerib l~oplik nullist erinev piirv¨aa¨rtus lim (x) , siis nimetatakse xa (x) suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult xa (x) kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim (x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult xa (x) kahanevaks suuruseks suhtes. N¨ aited. 1. Vaatleme astmefunktsioone a1 xn1 ja a2 xn2 , kus astmed n1 ja n2 on positiivsed t¨aisarvud ning kordajad a1 ja a2 on nullist erinevad. Tegemist on l~opmatult n1
K~oige ~oigem on seda teha suhet kasu- tades. Kui selline suhe koondub nulliks, siis lugejas olev kahaneb kiiremini, kui nimetajas olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirv¨a¨artus, siis on ja kahanemiskiirused samas suurusj¨argus. 43 1. Kui eksisteerib l~oplik nullist erinev piirv¨a¨artus lim (x) , siis nimetatakse xa (x) suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult xa (x) kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim (x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult xa (x) kahanevaks suuruseks suhtes. N¨ aited. 1. Vaatleme astmefunktsioone a1 xn1 ja a2 xn2 , kus astmed n1 ja n2 on positiivsed t¨aisarvud ning kordajad a1 ja a2 on nullist erinevad. Tegemist on l~opmatult n1
annaabi.ee 
