; Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega.
Tihedusfunktsioon kannab endaga kaasas kõikvõimalike intervallide tõenäosusi, intervalli (a, b) tõenäosus
on võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni alla selle intervalli kohale.
17. Juhusliku vektori mõiste, tema jaotusfunktsioon ja vektori komponentide marginaaljaotused.
Juhuslikuks vektoriks nimetatakse vektorit (X, Y), mille koordinaadid ehk komponendid on juhuslikud
suurused. Juhusliku vektori jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x,y), mis on määratud
eeskirjaga F(x,y) = P(X
.. + P( An ) P( B / An )
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
Erijuhul kui n=2 saame P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 )
i=1,2
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R määratud funktsiooni F(x)=P(X
Empiiriline jaotusfunktsioon Kui oleme fikseerinud valimi ning moodustanud mingit tunnust mõõtes variatsioonrea, saame moodustada üldkogumi empiirilise jaotusfunktsiooni: F * ( x) = P( X * < x) = ni / n, xi < x kus X* on diskreetne juhuslik suurus, mille jaotustabel on moodustatud variatsioonrea abil. Teoreem Valimi mahu n tõkestamatu kasvamise korral koondub empiiriline jaotusfunktsioon F*(x) tõenäosuse järgi üldkogumi jaotusfunktsiooniks F(x). Punkthinnang (I) Ülesanne: olles fikseerinud valimi, arvutanud selle põhjal välja valimi karakteristikud, hinnata, kui hästi (või halvasti) iseloomustavad valimi arvulised karakteristikud üldkogumit. Kaht liiki hinnangud: 1. Punkthinnangud; 2. Vahemikhinnangud. Punkthinnang Olgu antud juhuslik suurus X, mille jaotust iseloomustab parameeter a (väärtus on tundmata). Võtame mingi valimi, mille korral see juhuslik suurus omandab väärtused x1, x2, ..
Tsehhis töötab kolm juhuslikku suurust kirjeldatakse tema P(E1E2) P(E3|E1 E2)=1/6 P(E3|E1 E2): automaattööpinki H1, H2, H3, millede panus tõenäosusjaotuse kaudu. P(E3|E1 E2)=1 ja P(E1E2 tsehhi kogutoodangusse jaguneb suhtes Jaotusfunktsioon. Juhusliku suuruse E3)=1/6 P(E1E2 E3)= P(E1)+P(E2 ) 25:35:40. Praagiprotsent on erinevatel X jaotusfunktsiooniks +P(E3)- P(E1E2 )- P(E1E2 )- P(E2E3)+ tööpinkidel erinev, see on 5%, 4% ja 2%. Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust X, Valminud detailid satuvad segamini tellijale kui iga x R korral eksisteerib tõenäosus P(X < P(E1E2 E3)=1-1/2+1/6=2/3. Näide19. x). Ühtlasi võime ka väita, et juhuslik suurus X
12. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon, selle
5. Tingliku tõenäosuse mõiste. Sündmuste korrutise omadused (tõestustega). Kogu reaalarvude hulgal R
tõenäosuse leidmine (tõenäosuste korrutamise lause). määratud funktsiooni F(x) = P(X
..,n Tõestus!!!
P(AiB)=P(B)P(Ai/B). Fikseerime i ja leiame P(Ai/B)=P(AiB)/P(B)= P(Ai)P(B/Ai)/( P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An).
Erijuhul, kui n=2 saame P(Ai/B)= P(AiB)/P(B)=P(Ai)P(B/Ai)/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2.
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R maaratud funktsiooni F(x)=P(X
Seda võib anda tabeline, funktsioonina, diagrammina või muul sarnasel viisil, mis määrab ära vastavuse juhusliku suuruse väärtuse ja selle omandamise tõenäosuse. 24. Kuidas on diskreetse juhusliku suuruse jaotus seotud sündmuse tõenäosusega? Diskreetse juhusliku suuruse jaotus määrab ära juhusliku suuruse ja selle omandamise tõenäosuse ning seega ka teatud sündmuste tõenäosuse saab jaotusest lihtsalt leida. 25. Mis on jaotusfunktsioon? Sõnasta korrektne definitsioon. Jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x), mis näitab tõenäosust, kus juhuslik F ( x i )=P ( X ≤ xi ) = ∑ p( x j) suurus on väiksem või võrdne x-i väärtusest. x ≤x j i 26. Kuidas leitakse diskreetsete juhuslike suuruste summa X+Y ja tema jaotus. Kahe määratud(on antud jaotus) juhusliku suuruse summaks X+Y loeme juhuslikku suurust Z, mille korral zk=xi+yj ja p(zk)=p(xi, yj)
m!(n m)! Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduse lihtsaimaks esitamisvormiks on tabel, kus on esitatud juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja neile vastavad tõenäosused (vt. Tabel. 4.1). Seda nimetatakse jaotusreaks või jaotustabeliks. Jaotusrida esitatakse sageli graafikuna. Saadud kujundit nimetatakse jaotuspolügooniks Jaotusfunktsioon Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis näitab, millise tõenäosusega juhuslik suurus võtab väiksema väärtuse kui x: F ( x) P( X x) , (4.12) kus X on juhusliku suuruse sümbol ja x on juhusliku suuruse konkreetne võimalik väärtus. Jaotustihedus Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev. Jaotusfunktsioon annab ammendava info juhusliku suuruse kohta, kuid ta ei näita otseselt juhusliku suuruse jaotumise tihedust ühes või teises piirkonnas.
Loenduva arvu suuruste korral pi = 1. Praktikas asendatakse pi i 1 suhtelise sagedusega fi ning pidevaid juhuslikke suurusi vaadeldakse sageli diskreetsetena. 2.3 Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon Jaotusrida ei ole võimalik välja kirjutada pideva juhusliku suuruse jaoks ning seetõttu on üldisemaks võimaluseks jaotusseaduse esitamine jaotusfunktsioonina. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x), mis määrab iga reaalarvu x korral tõenäosuse, et juhuslik suurus X omandab väärtuse, mis on väiksem reaalarvust x. F(x) = P(X < x), kus x , . Pidevaks nimetatakse juhuslikku suurust, mille jaotusfunktsioon on pidev. Graafiliselt tähendab see, et juhuslik punkt X asetseb juhuslikust suurusest x alati vasakul. Omadused. 1. Kuna jaotusfunktsioon on defineeritud tõenäosuse abil, siis 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2
P<
Näiteks: Diskreetne ühtlane jaotus
on defineeritud oma tõenäosusfunktsiooni kaudu: P(X=i)=1/k, i=1,...,k. Täringuviske
jaotusseadus tabelina.Tõenäosusfunktsiooni võib esitada valemina, tabelina, arvupaaridena
või graafikuna. Jaotusseadus (tõenäosusfunktsioon) iseloomustab diskreetset juhuslikku
suurust täielikult aga selle kasutamine on tülikas, eriti kui DJS on palju võimalikke väärtusi.
Seega on vaja väärtuste paiknemise ka teisi seoseid. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks
nimetame funktsiooni, mis seab väärtusele x vastavusse tõenäosuse, et Xx.
F(x)=P(Xx). Näide täringuviske jaotusfunktsioonist. Jaotusfunktsioon on kasulik,
kui JS väärtusi on palju. Saame arvutada tõenäosuse, et juhuslik suurus kuuulub teatavasse
piirkonda (poollõiku) P(a
f2(x1; x2; t1; t2) = 2F2(x1; x2; t1; t2)/x1x2, analoogiliselt defineeritakse ka n-mõõtmelised jaotusseadused.
Binoomjaotus. Bernoulli valem: Pm,n=Cnmpmqn-m , p on sündmuse tõenäosus, q=1-p vastandsündmuse
tõenäosus.
Pideva juhusliku suuruse puhul on sobiv kasutada mitte sündmuse X=x tõenäosust, vaid hoopis sündmuse
X
Jaotustabel on iseloomustav
X 1 3 4 7 9
P(xi) p1 P3 p4 p7 p9
Def: Juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioon (jaotusseadus) on eeskiri, mis seob
juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi).
Tõenäosusfunktsiooni võib esitada valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna.
Def: Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetame funktsiooni, mis seab väärtusele
x vastavusse tõenäosuse, et X
Seda tõenäosust võimaldabki arvutada bayesi valem. P(Bi/A) = P(Bi)*P(A/Bi)/∑P(Bi)*P(A/Bi) 20. Juhusliku suuruse mõiste - suurust nim juhuslikuks kui see omab antud tingimustes ühe oma võimalikest väärtustest, mis sõltub juhuslikest põhjustest. 21. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon – tõenäosust selleks, et juhuslik suurus X omandab mingist konkreetsest väärtusest x väiksemaid või võrdseid väärtusi nimetatakse juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks. F(x)=P(X≤x). Jaotusf.on üks juhusliku suuruse jaotuse esitusviise. Iseloomustab täielikult juhusliku suuruse väärtuste jaotumist nende esinemise tõenäosuse järgi. Kui jaotusf.F(x) on teada siis iga x korral on võimalik leida, kui tõenäone on, et juhusliku suuruse väärtused on väiksemad kui x. OMADUSED: kuna jaotusf. on oma olemuselt tõenäosus, siis on tal kõik tõenäosuse omadused, st jaotusfunkts.väärtused saavad olla vahemikus 0≥F(x)≤1
mingi väärtuse omandamise tõenäosuse vahel.
n
Diskreetse JS X jaotus on vastavus iga xi ja tema esinemise tõenäosuse pi vahel. Seejuures pi =1
i=1
42. Juhusliku suuruse jaotus- ja tihedusfunktsioon.
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks F(x) nimetatakse funktsiooni, mis määrab tõenäosuse, et JS on väiksem
argumendi teatud väärtusest x,
F(x)=P(X
moodustavate gaaside partsiaalrõhkude summaga. §64. Maxwelli jaotusseadus. Olgu gaasil ühes ruumiühikus n molek. Eraldame nendest osa dn, mis omavad kiirusi vahemikus v/v+dv. Jagame selle arvu kiirusvahemiku suurusega: dn/dv. Saame väljavalitud kiiruse v juures võetud kiiruse ühikvahemikku kuuluvate molekulide arvu. See mood. kogu molekulide arvust osa dn/dv/n. Saadud tulemus oleneb väljavalitud kiiruse arvväärtusest ehk mingi fun. kiirusest f(v). Seda nim. jaotusfunktsiooniks. Maxwell sai tule-museks 1/n*dn/dv=f(v)=Av2emv2/2kT. f(v) näitab, missugune osa kõigist molekulidest liigub antud kiiruse v juures võetud ühikva- hemikus. See oleneb kiirusest v, temp. T ja molekuli massist m. Jaotusseaduse konst. A on määratav ting.-sest, et 0 dn=n- kõigisse kiirusvahemikesse kuuluvate molekulide arvude summa peab võrduma molekulide koguarvuga n. Sellest saame valemi 1/n*dn/dv=f(v)=Av2emv2/2kT abil tingimuse 0 nf(v)dv=n0 f(v)dv=n ehk 0 f(v)dv=1
tihedusfunktsioon ehk tõenäosusfunktsioon Nv v = , (2.42) v kus N v on kiirustevahemikus ]v, v + Δv[ liikuvate molekulide arv. Tihedusfunktsiooni väärtus sõltub peale kiirustevahemiku ka molekulide koguarvust N. Molekulide koguarvust sõltumatut suurust nimetatakse jaotusfunktsiooniks: 1 1 Nv f v = v = . (2.43) N N v Jaotusfunktsioon näitab, milline on tõenäosus, et antud molekul liiguks kiirustevahemikus ]v, v + Δv[, või - jaotusfunktsioon näitab, milline osa molekulidest liigub antud kiirustevahemikus. James Clark Maxwell näitas, et gaasi molekulide kiiruste jaoks on jaotusfunktsioon järgmine:
annaabi.ee 
