Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer (nõgus) piirkonnas X, kui joone puutuja igas punktis kulgeb ülapool (allpool) seda joont. Kui y teine tuletis on suurem kui 0 siis on nõgus aka HAPPY face. Kui y teine tuletis on väiksem kui 0 siis on kumer aka SAD face. 25) Funktsiooni globaalsed ekstreemumid. 26) Newtoni meetod http://www.mathema.ee/mathematica/ptk7/ptk7.htm osa 2.2 27) Algfunktsioon ja määramata integraal. 28) Integreerimise põhivalemid. 29) Tehetega seotud integreerimisreeglid. 30) Muutujate vahetus määramata integraalis. Muutujate vahetuse valem: For more information go to porns lecture nr 11 31) Ositi integreerimine. For more information go to porns lecture nr 11 32) Määratud integraal. 33) Tasandilise kujundi pindala. 34) Pöördkeha ruumala. 35) Määratud integraali ligikaudne arvutamine.
rimiseks. Määramata integraali definitsioonist järelduvad järgmised seosed. 1. ( f ( x) dx ) = f ( x), 2. d ( f ( x) dx) = f ( x) dx, 3. dF ( x) = F ( x) + C . Seega diferentseerimine ja integreerimine on teineteise pöördoperatsioonid(konstantse liidetava täpsusega). Funktsioonil f on määramata integraal parajasti siis, kui sellel funktsioonil on olemas algfunktsioon. Igal vahemikus (a,b) pideval funktsioonil on algfunktsioon selles vahemikus. 2. Tehetega seotud integreerimisreeglid Teoreem 21. Kui on olemas integraalid f ( x )dx ja g ( x ) dx , siis kõikide , R korral on olemas integraal [f ( x) + g ( x)] dx , b b [f ( x) + g ( x)] dx = f ( x)dx + g ( x) dx. a a §7 MÄÄRATUD INTEGRAAL 1. Määratud (Newton-Leibnizi) integraal Olgu funktsioonil f olemas algfunktsioon F lõigus [a,b], st F´(x) = f (x) iga x [a,b] korral
7.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.6 Muutuja vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ositi integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
konstandile C kõikvimalikud reaalarvulised väärtused. Igal pideval funktsioonil leidub algfunktsioon. Selgitada funktsiooni määramata integraali mõistet: Avaldist F (x)+C, kus F on funktsiooni f : D → R mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks intervallis D ja märgitakse ∫ f (x) dx. Teisisõnu, ∫ f (x) dx = F (x) + C, kus F′ (x) = f (x) iga x ∈ D puhul. Integreerimise põhivalemid: 32. Integreerimisreeglid (*) Tõestada integreeruvate funktsioonide f ja g summa f + g ja kordse λf integreerimise reeglid (lause 8.1 ja 8.2): Kui intervallis D määratud funktsioonidel f ja g eksisteerivad selles intervallis määramata integraalid ∫f (x) dx ning ∫ g (x) dx, siis eksisteerib ka määramata integraal ∫ (f (x) + g (x)) dx ja kehtib seos Eeldatavasti eksisteerivad ∫f (x) dx = F (x)+C1 ning ∫g (x) dx = G(x)+C2, mistõttu
annaabi.ee 
