t. b f (x )dx =f ()(b - a) a . 23. MUUTUVA ÜLEMISE RAJAGA INTEGRAAL (teoreem 5.3) Olgu määratud integraalis alumine raja fikseeritud ja ülemine raja muutuv. Siis muutub ka integraali väärtus, s.t. integraal on ülemise raja funktsioon. Tähistame muutuva raja x'ga ning integreerimismuutuja t'ga. Et see integraal on ülemise raja funktsioon, tähistame ta (x). Kui f(x) on pidev funktsioon ja , siis kehtib võrdus: =f(x) Teisisõnu: määratud integraali tuletis ülemise raja järgi on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga. TÕESTUS Anname argumendile x positiivse või negatiivse muudu Dx, siis määratud integraali 6. omaduse järgi: Funktsiooni (x) muut:
( f [ (t )] (t )dt ) x = ( f [ (t )] (t )dt ) t dt dx . Määramata integraali tuletis integreerimismuutuja järgi võrdub integreeritava funktsiooniga, seega ( f [ (t )](t )dt ) t = f [ ( t )] ( t ) . Eelduse kohaselt on ( t ) 0 , seega pöördfunktsiooni tuletiseks on antud funktsiooni tuletise pöördväärtus ehk dt 1 = ( x ) = .
. . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt Integraali osad kannavad järgmisi nimetusi: a integraali alumine raja, b integraali ülemine raja, [a,b] integreerimislõik, x integreerimismuutuja, f integreeritav funktsioon, f(x)dx integraalialune avaldis. 33. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. Kui F(jõud) on konstantne, siis avaldub töö valemiga A = F(b - a). Kui F ei ole konstantne, siis tuleb töö arvutamisel kasutada integreerimist. Idee on järgmine: jaotame vaadeldava lõigu [a, b] väikesteks osalõikudeks nii, et igal osalõigul on jõud ligikaudselt konstantne. Igal osalõigul arvutame
Saab näidata, et funktsioon G(x) = F (x) + C kirjeldab kõiki antud funktsiooni y = f (x) algfunktsioone. Definitsioon 3.2 Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka F (x) + C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f (x)dx = F (x) + C. Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon f (x)dx - integraalialune avaldis C - integreerimiskonstant Näide 3.2 Kasutusele võetud sümboolikas on 2xdx = x2 + C, sest (x2 + C) = 2x ja sin xdx = - cos x + C, sest (- cos x + C) = sin x. 1
n g ( ) x i i = x i 0 i =1 xi 0 i =1 m.o.t.t. b b = f ( x ) dx + g ( x ) dx a a 6. Määratud integraal ei sõltu integreerimismuutuja tähistusest b b b f ( x ) dx = f ( t ) dt = f ( u ) du = a a a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi b f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b) - F ( a ) b a a b f ( t ) dt = F ( t ) = F ( b) - F ( a) b
n g ( ) x i i = x i 0 i =1 xi 0 i =1 m.o.t.t. b b = f ( x ) dx + g ( x ) dx a a 6. Määratud integraal ei sõltu integreerimismuutuja tähistusest b b b f ( x ) dx = f ( t ) dt = f ( u ) du = a a a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi b f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b) - F ( a ) b a a b f ( t ) dt = F ( t ) = F ( b) - F ( a) b
1 +C = 2 x +C - +1 2 2 MUUTUJA VAHETUS INTEGREERIMISEL Keerukama avaldise korral võetakse integreerimismuutujaks uus muutuja (tähistame näiteks t, z u), mille sõltuvus x-st valitakse nii, et integraal teiseneks põhivalemite abil võetavaks. Peale integreeritava funktsiooni tuleb avaldada uue muutuja kaudu ka integreerimismuutuja diferentsiaal dx. x = ( t ) dx = ( t ) dt Muutuja vahetuse valemi üldkuju: f ( x )dx = f [( t )]( t )dt dx 1 Näide 1: 2x + 3 t = 2 x + 3 dt = 2dx dx = 2
Tähistame a=n-1 ja n=a+1 ja saame xa dx = xa+1/a+1 + c Integraali arvutamine tabeli kaudu- INTEGRAALI TABEL Muutujavahetus määratud ja määramata integraalis- määramata integraali korral- keerukama avaldise korral võetakse integreerimismuutujaks uus muutuja (tähistame näiteks t, z u), mille sõltuvus x-st valitakse nii, et integraal teiseneks põhivalemite abil võetavaks. Peale integreeritava funktsiooni tuleb avaldada uue muutuja kaudu ka integreerimismuutuja x = ( t ) dx = ( t ) dt diferentsiaal dx. Muutuja vahetuse valemi üldkuju: Üks eriti tore valem f ( x )dx = f [( t )]( t )dt 1 veel : f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C . Määratud integraali korral- kuna olemas on rajad, siis
1 +C = 2 x +C - +1 2 2 MUUTUJA VAHETUS INTEGREERIMISEL Keerukama avaldise korral võetakse integreerimismuutujaks uus muutuja (tähistame näiteks t, z u), mille sõltuvus x-st valitakse nii, et integraal teiseneks põhivalemite abil võetavaks. Peale integreeritava funktsiooni tuleb avaldada uue muutuja kaudu ka integreerimismuutuja diferentsiaal dx. x = ( t ) dx = ( t ) dt Muutuja vahetuse valemi üldkuju: f ( x )dx = f [( t )]( t )dt dx 1 Näide 1: 2x + 3 t = 2 x + 3 dt = 2dx dx = 2
Funkt- siooni f (x) m¨aa¨ratud integraal rajades a-st b-ni on v~ordne algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal b ja algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal a vahega. Arvutuste h~olbus- tamiseks kasutatakse kirjaviisi b F (b) - F (a) = F (x) . a Asendades v~orduses (5.5) integreerimismuutuja t muutujaga x, saame m¨a¨aratud integraali arvutamiseks valemi b b f (x)dx = F (x) = F (b) - F (a), (5.6) a a 8 mis on tuntud Newton-Leibnizi valemi nime all. N¨aide 1. Leiame e e dx
.. sõnastame selle teoreemi: TEOREEM x a Kui f(x) on pidev funktsioon ja (x) = f(t) dt, siis kehtib võrdus '(x) = f(x) ehk x a [ f(t) dt]'= f(x) , teisiti öeldes: Määratud integraali tuletis ülemise raja järgi (x väärtuse järgi, mis tähistab vaadeldava muutliku pikkusega lõigu lõpppunkti) on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga eeldusel, et integreeritav funktsioon on pidev. Siinkohal ei tasu unustada, et ülemine rada tähistab lihtsalt seda x väärtust, kus lõppeb see lõik, kus funktsiooni f(x) uurime. TÕESTUS Kuna me tahame tõestada võrdust '(x) = f(x), siis oleks vast hea avaldada definitsiooni järgi '(x): ( x + x ) - ( x ) lim '(x) = x 0 x Integraali ülemine rada omab x lisamisel seega väärtuse (x+x) . Samas muutus x võrra see lõik,
* (x) on f- ni f(x) üks algf-n. näitame, et leidub konstant C 1, nii et (x)=F(x)+C1. Kui (x) on f-ni f(x) algf-n siis vastavalt algf-ni def-le '(x)=f(x). [ (x)-F(x)]'= '(x)-F'(x)=0; (x)-F(x)=C1; *Avaldist F(x)+C nim f-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x) dx =F(x)+C. *Def. F-ni määramata integraaliks nim selle f-ni kõigi algf-nide hulka. Nii antud f-ni algf-ni, kui ka määramata integraali leidmist nim f-ni integreerimiseks. ; f ( x) dx =F(x) +C=> x-integreerimismuutuja; f(x)-int-tav f-n; f(x)dx-int-tav avaldis; C-int-mis konstant; F(x)-int-tava f-ni algf-n 25. Määramata int omadusi 1)[ f ( x) dx ]'=f(x)=>[ f ( x) dx ]'=[F(x)+C]'=F'(x)+0=f(x) 2) F ' ( x )dx =F(x) +C 3)k=const kf ( x )dx =k f ( x) dx konstandi võib tuua integraali ette 4) ( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x) dx 26. Asendusvõte määramata int-lis f ( x)dx => ei saa lah esimese kolme lause abil: x= (z) Asendus! Dx= '(z)dz = f (( z ))' ( z )dz = g ( z ) dz
f (x )dx . Seega võime kirjutada: f (x )dx = F (x ) + C , kui F ( x ) = f (x ) . Valemis nimetatakse: integraalimärk; f ( x )dx integraalialune avaldis; f (x ) integraalialune (integreeritav) funktsioon, integrand; x integreerimismuutuja; C integreerimiskonstant. Funktsiooni f määramata integraali leidmist nimetatakse funktsiooni f integreerimiseks. Määramata integraali leidmine ja tuletise leidmine on pöördtehted, s.t. ( f ( x )dx ) = f ( x ) , F ( x )dx = F ( x ) + C .
funktsioonid, siis kaksikintegraali saab arvutada kui kahte ühekordset integraali: d 2 y d 2 y ID dy f x, y dx f x, y dx dy c 1 y c 1 y Siin loetakse sisemises integraalis y konstantseks ja leitakse see kui y funktsioon (integreerimismuutuja on x) 2 y y f x, y dx. 1 y Nüüd d ID y dy. c Näide 20. Muuta integreerimise järjekorda kaksikintegraalis 1 x dx f x, y dy. 0 x
1 1 dx dx = 2 - 2 dx = 2 - = - cot x - tan x + C. sin x cos x sin x cos2 x M¨arkus. Siiani oleme integreerimismuutujana kasutanud ainult t¨ahte x. Loomulikult ei s~oltu m¨a¨aramata integraal sellest, millega on t¨ahistatud integreerimismuutuja, vaid ainult in- tegreeritavast funktsioonist, seega f (x)dx = f (y)dy = f (t)dt = . . . . 4 Kaugeltki mitte k~oiki funktsioone ei ole v~oimalik integreerida esitatud kolme n¨aite eeskujul elementaarmatemaatika v~otteid kasutades. J¨argnevas vaatleme meetodeid, mis lubavad tabeli abil integreeritavate funktsioonide klassi oluliselt laiendada. 4 Integreerimine muutuja vahetusega
annaabi.ee 
