Integreerime saadud avaldist 2 korda dx x = =4 +t dt dx = ( 4 + t ) dt x = ( 4 + t ) dt + C1 t2 x = 4t + + C1 (4.16) 2 Leiame kohe integreerimiskonstandi C1. Kuna siin v0 = 0 , siis kirjutades avaldise (4.16) välja alghetkel t = 0 , saame 0 = 0 + 0 + C1 s.t C1 = 0 . Seega J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 20 dx t2 x = = 4t + , ( m s ) dt 2 t
Siis du = ning v = . x 2 Seega x2 x2 dx x2 x2 x ln x dx = ln x - = ln x - + C. 2 2x 2 4 Näide 3.12 Leida integraal x2 ex dx. Olgu u = x2 ja ex dx = dv. Siis du = 2xdx ja v = ex dx = ex (integreerimiskonstandi lisame pärast viimase integraali leidmist). Seega x2 ex dx = x2 ex - 2xex dx = x2 ex - 2 xex dx. Integraaali xex dx leidmiseks peame veelkord kasutama ositi integreerimise võtet. Valime siin u = x ja ex dx = dv. Siis du = dx ja v = ex dx = ex ning xex dx = xex - ex dx = xex - ex + C. Järelikult x2 ex dx = x2 ex - 2 xex dx = x2 ex - 2(xex - ex ) + C = x2 ex - 2xex + 2ex + C. Näide 3
5. OSITI INTEGREERIMINE Vaatleme funktsioone u ( x ) ja v( x ) . Korrutise tuletise valem on: (u v ) =uv +uv . Teisendame: uv =(u v ) -u v dx Korrutame argumendi diferentsiaaliga dx uvdx =(u v ) dx -uvdx ja integreerime uvdx =(u v ) dx -uvdx . udx = du Et, ning määramata integraali 3. omaduse põhjal (uv )dx =uv +C . vdx = dv Ühendame integreerimiskonstandi parema poole integraali omaga, saame ositi integreerimise valemi: udv =uv -vdu Seda võtet kasutatakse a) kui integraali märgi all seisab kahe funktsiooni korrutis, siis tuleb u ja dv valida nii, et integraal vdu lihtsam oleks; b) integraali all on funktsioon, mille tuletist me teame (tuletise tabelist) aga integraali mitte, sel juhu u võtta antud funktsioon. Seda kasutame harva. ln xdx
määramata integraali korral. Ositi integreerimise valemi tuletamine- Vaatleme funktsioone u ( x ) ja v( x ) . Korrutise tuletise valem on: (u v ) =uv +uv . Teisendame: uv =(u v ) -u v dx Korrutame argumendi diferentsiaaliga dx uvdx =(u v ) dx -u vdx ja integreerime uvdx =(u v ) dx -uvdx . udx = du Et, ning määramata integraali 3. omaduse põhjal (uv )dx =uv +C . vdx = dv Ühendame integreerimiskonstandi parema poole integraali omaga, saame ositi integreerimise valemi: udv =uv -vdu Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalis- määramata integraali korral kasutatakse ositi integreerimist a) kui integraali märgi all seisab kahe funktsiooni korrutis ja u ning dv tuleb valida tuleb nii, et lihtsam oleks arvutada integraali vdu . Muidu käib kõik valemi järgi: b b
Teisendame: uv = ( u v ) - uv dx Korrutame argumendi diferentsiaaliga dx uvdx = ( u v ) dx - uvdx ja integreerime uvdx = ( u v ) dx - uvdx . udx = du v dx = dv ( uv ) dx = uv + C Et, ning määramata integraali 3. omaduse põhjal . Ühendame integreerimiskonstandi parema poole integraali omaga, saame ositi integreerimise valemi: udv = uv - vdu Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalis.Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad funktsioonid hulgal X ja eksisteerib määramata integraal uv 'dx, siis eksisteerib ka määramata integraal u'v dx, kusjuures peab paiksa seos u dv=uv-v du. Määramata integraali f(x) dx leidmisel ositi integreerimise abil üritatakse suurust f(x) dx
5. OSITI INTEGREERIMINE Vaatleme funktsioone u ( x ) ja v( x ) . Korrutise tuletise valem on: (u v ) =uv +uv . Teisendame: uv =(u v ) -u v dx Korrutame argumendi diferentsiaaliga dx uvdx =(u v ) dx -uvdx ja integreerime uvdx =(u v ) dx -uvdx . udx = du Et, ning määramata integraali 3. omaduse põhjal (uv )dx =uv +C . vdx = dv Ühendame integreerimiskonstandi parema poole integraali omaga, saame ositi integreerimise valemi: udv =uv -vdu Seda võtet kasutatakse a) kui integraali märgi all seisab kahe funktsiooni korrutis ja u ning dv tuleb valida tuleb nii, et lihtsam oleks arvutada integraali vdu . Näide 1: ln xdx dx u = ln x du = x dv = dx v=x dx ln xdx = x ln x - x x = x ln x - x + C
Kuna vedeliku tihedus ja raskuskiirendus on konstantsed suurused, saame järgmise tulemmuse: - p = gz + C , (3.14) kus C on integreerimise konstant. Eespool saadud võrrandit saab kirja panna ka järgmiselt: p + z = const (3.15). g Sellisel kujul see võrrand on tuntud kui hüdrostaatika põhivõrrand. Integreerimiskonstandi füüsikalist sisu saab tõlgendada järgmiselt. Juhul, kui vedelik on tasakaalus, see omab teatud potentsiaalse energia väärtuse. On olemas erienergia mõiste, ehk energia massiühimu kohta. See omab pikkuse dimensiooni ning sisuliselt const ontasakaalus oleva vedelikusamba potentsiaalne energia. Vaatleme vedeliku samba kõrgusega z, siis selle pinnale z0 mõjub rõhk p0. Siis saab kirja järgneva seose: p p
2. põhiülesanne: antud on kõik punktile mõjuvad jõud, määrata tuleb punkti liikumine (tavaliselt tema liikumise seadus). Mõlemad põhiülesanded lahendatakse dünaamika põhivõrrandi (2.1) alusel jõud Fon muutuv suurus, mis üldjuhul sõltub asukohast (r), kiirusest (v) ja ajast(t) 6. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel sirgjoonelise liikumise korral? Kahe integreerimiskonstandi määramiseks peab olema kaks tingimust, nendeks on etteantud algasend x0 = x(0) ja veel algkiirus x&0 v0x , mis siin on lihtsalt v0 . 7. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel tasapinnalise liikumise korral? Liikumise algtingimuste põhjal. kirjutatakse kõigepealt välja süsteemi (4.3) kõik võrrandid alghetkel t = 0
2. põhiülesanne: antud on kõik punktile mõjuvad jõud, määrata tuleb punkti liikumine (tavaliselt tema liikumise seadus). 25 198. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel sirgjoonelise liikumise korral? Vaadatakse punkti liikumist alghetkel. t = 0 ja ülejäänud parameetrid võetakse alghetkele vastavad. Nii saab avaldada integreerimiskonstandi C. 199. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel tasapinnalise liikumise korral? Vaadatakse punkti liikumist alghetkel. t = 0 ja ülejäänud parameetrid võetakse alghetkele vastavad. Nii saab avaldada integreerimiskonstandi C. 200. Mida nimetatakse masspunktide mehaanikaliseks süsteemiks? Mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse masspunktide kogumit, kus iga masspunkti
projektsioonid on küll nullist erinevad kuid jõudude projektsioonide summa y- ja z- teljele on nullid, s.t N N Fky =0, Fkz =0 (4.8) k =1 k =1 Diferentsiaalvõrrandi (4.7) lahendamisel saame üldlahendi kujul x = f ( t ,C1 ,C2 ) (4.9) Kahe integreerimiskonstandi määramiseks peab olema kaks tingimust, nendeks on etteantud algasend x0 = x( 0) ja veel algkiirus x 0 v0 x , mis siin on lihtsalt v0 . Leiame nüüd kõigepealt funktsiooni x tuletise aja t järgi võrrandist (4.9), saame x = g ( t ,C1 ,C 2 ) (4.10) Nüüd kirjutame võrrandid (4.9) ja (4.10) välja alghetkel t = 0 kasutades sealjuures etteantud algasendit x0 ja algkiirust v0
exp z 119 Asetades need integraalid W avaldusse saame B W = e -z ez + C Integreerimiskonstandi C leiame tingimusest, et sügavusel z=0 jõud W=0. Järelikult B C=- Lõplikult saame torule mõjuva jõu sügavusel z = h B W =
annaabi.ee 
