Hüperbooli kanooniline võrrand: Hüperbooli omadused: · On sümmeetriline x-telje, y-telje ja koordinaatide alguspunkti suhtes. · Lõikab x-telge A1(-a,0) ja A2(a,0) · Ei lõiku y-teljega. · Assümtootideks nim sirgeid, millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Assümtoote on 2. . x=a, x=-a; y=-b, y=b. Hüperbooli ekstsentrilisus Risthüperbooliks nim hüperbooli, mille reaal-ja imaginaartelg on võrdsed a=b. 2a- reaaltelg (a-reaalpooltelg) 2b- imaginaartelg (b-imaginaarne pooltelg) Parabool Parabooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus antud punktist ja antud sirgest on võrdne. Mainitud punkti nim parabooli fookuseks ja sirget parabooli juhtsirgeks. Fookuste kaugus juhtsirgest tähistatakse p ja nim parabooli parameetriks. F(0; p/2) fookuse koordinaadid y= -p/2 juhtsirge võrrand 2p- fokaallaius
(5 + 2i ) (5 + 2i )(5 - 2i ) 29 29 29 Kompleksarvu geomeetriline esitus: Kompleksarve ei ole võimalik kujutada ühel teljel nii nagu reaalarve, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud). Seega kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt: Reaaltelg ja (x-telg) Imaginaartelg (y-telg) Kompleksarvu moodul: Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks. Punktile P vastava kompleksarvu moodul z = 2 2 + 32 = 13 Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a2 + b2 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi. Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast a ja b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu. Saame:
Fraktalid. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Fraktaalsed struktuurid Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu geomeetriline kuju K˜oige lihtsam on kompleksarvu ette kujutada geomeetriliselt. On antud reaaltelg ja sellega risti olev imaginaartelg ning iga kompleksarvu jaoks peame kasutama parameetrit a ja b (punkti z koordinaati (a, b)), kus a on v˜oetud reaalteljelt ja b imaginaarteljelt. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu algebraline kuju Definitsioon Kompleksarvu z esitusviisi z = a + bi nimetatakse kompleksarvu z algebraliseks kujuks. Definitsioon
Sellest võrrandist järeldub, et hüperbool on teist järku algebraline joon. Hüperbooli omadused: 1. hüperbool on sümmetriline x-telje, y-telje ja nullpunkti suhtes. 2. hüperbool lõikab x-telge punktides A1(-a;0) ja A2(a;0) y-telge hüperbool ei lõika. Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis
· Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud) · Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt 13.1. Reaaltelg ja (x-telg) 13.2. Imaginaartelg (y-telg) · Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi ... 14. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju- · Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi · Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast reaalosa a ja imaginaarosa b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu. · a + bi = r (cos + i sin ) Saame:
a)1 + (y-b)2 = r2 ringjoone vôrrand. 26. Hüperbool (mõiste, kanooniline võrrand). Hüperbool teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe fookustest on absoluutväärtuselt konstantne. X(x;y) suvaline punkt joonel; |r1r2| = 2a! |F1F2| = c. | |F1X| - |F2X| | = 2a | [(x+c)2 + y2]1/2 - [(x-c)2 + y2]1/2 | = 2a lihtsustades (c2 a2 =täh b2): x2/a2 y2/b2 = 1 hüperbooli (kanooniline) vôrrand. |A1A2| = 2a reaaltelg (vôrrandis +märgiga); |B1B2| = 2b imaginaartelg. c > a; = c/2 > 1. Asümptoodid jooned, millele hüperbool läheneb lôpmatult: 1) y = -(b/a)x. 2) y = (b/a)x. 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand). Parabool teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud (juht) joonest vôrdsetel kaugustel. d punkti X(x;y) kaugus juhtjoonest; F(p/2; 0) juhtjoone vôrrand x = -p/2 x + p/2 = 0. d = |Ax+By+C | / (A2+B2)1/2 = |x+p/2| / (12 + 02)1/2 = |x + p/2|. |XF| = [(x p/2)2 + (y 0)2]1/2
F1F2 keskpunkti. Hüperbooli imaginaarsed e ebatipud punktid B1(0,-b) ja B2(0,b) Hüperbooli tipud - A1(-a, 0), A2(a, 0) , leitakse hüperbooli kanoonilisest võrrandist asenduste x1 = 0 ja x2 = 0 teel. Hüperbooli harud 2 tükki, millest hüperbool koosneb. Hüperbooli sümmeetriateljed- kanoonilise reeperi baasivektorite poolt määratud koordinaatteljed on hüperbooli sümmeetriatelgedeks. Hüperbooli reaaltelg (imaginaartelg) Hüperbooli samal sümmeetriateljel asuvat tipupaari (ebatipupaari) poolt välja eraldatud lõik ja tema pikkus. Hüperpooli poolteljed Lõike A1O,OA2,B1O ja OB2 ning nende pikkusi a ja b nimetame hüperbooli pooltelgedeks. Lõike A1O,OA2 ja nende pikkust a nimetame hüperbooli reaalseks poolteljeks ehk reaalpoolteljeks ning lõike B1O,OB2 ja nende pikkust b nimetame hüperbooli imaginaarseks poolteljeks ehk ebapoolteljeks.
Leiame kahe kompleksarvu korrutise. Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame võrdust 1: Enne kompleksarvude jagatise defineerimist defineerime kaaskompleksarvu mõiste. Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu . Kaaskompleksarvude omadused: Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on reaaltelg, y-telg on imaginaartelg. Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse () punkti A(a, b) ning kohavektori = (a, b) ; s.t. z = a + bi , = (a, b). Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt: Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks. Vaatleme, kuidas saab geomeetirliselt tõlgendada kaaskompleksarvu mõiste ning algebralised tehed kompleksarvudega.
annaabi.ee 
