Näiteks on kolmnurga sisenurkade summa alati 180°. Neid uurimusi tuntakse tänapäeval kahe ja kolmemõõtmelise eukleidilise geomeetriana (planimeetria ja stereomeetriana).Tänapäeva matemaatika keeles on kaugus ja nurk hõlpsasti üldistatavad 4mõõtmelistele, 5mõõtmelistele ja veel kõrgemamõõtmelistele ruumidele. nmõõtmelist ruumi kauguse ja nurga mõistega, mis annavad Eukleidese leitud seoste analoogi, nimetatakse nmõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks. Sten Renar Subatsjus
x·y=arv . 1' y·x=x·y. 2' x· (y+z)=x·y+x·z. 3' (·x)·y = x·(·y) = (x·y). 4' x·x>0 x0 x·x=0 x=0. 5'(x,y) x·y. Skalaarkorrutise defineerimine affiinses ruumis võimaldab seal hakata teostama mõõtmisi: dAB=|x|=(x·x) ja cos=(x·y)/( x 2·y 2) ja xy=x·y. Kolmemõõtmelist afiinset ruumi A3 milles on defineeritud vektorite skalaar korrutis mis rahuldab tingimusi 1'-5' nimetatakse kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks E3 1º-4º, 1*-5*, , 1'-5'. Kõik reepri vektorid on paarikaupa risti ja kõigi reepri vektorite pikkus on 1 ühik, öeldakse ka et sel korral on valitud ristbaas e ristreeper, nim ristkoordinaatideks. Skalaarkorrutist ja areaalkorrutist seob järgmine võrdus ab = a2·b 2-(a·b) 2 Lagrance seos. Kahele vektorile x ja y seame vastavusse uue vektori millist nimetatakse lähtevektorite vektorkorrutiseks ja märgime üles sümboliga x×y. Om:1y×x=-x×y; 2y=x x×x=0; 3(x×y)×z=x×z+y×z;
Def.1 Hulka, mille elementideks on kõik m reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmeliseks ruumiks. Igat süsteemi (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmelise ruumi punktiks ja tähist. P=(x1,x2,...xm) või P(x1,x2,...xm). Arbe x1,x2,...xm nim. punkti P koordinaatideks. Def.2 Sellist m-mõõtmelist ruumi, kus on määratud iga kahe punkti d(A,B) seosega d(A,B)=( i=1m(ai-bi))1/2 nim m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähist. Rm Def.3 Kui hulgs D igale punktile P=(x1,x2,...xm) on vastavusse seatud üks kindel reaalarv w, siis öeldakse, et hulgal D on määratud w- muutuja funktsioon w=f(x1,x2,...xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi argumentideks (funil on m argumenti) Def.4 Punkti ARm ümbruseks nim iga lahtist kera S(a,r) (erijuhud: m=2 A ümbruseks lahtine ring S(a,r), m=1 A ümbruseks sümmeetriline vahemik) Def
Afiinset ruumi A3, milles on def.skalaarkorrutis nii, et kehtivad 4. a+(-a)= £ Aksioomid 1-5 nim. kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks. Tähis E3. Reeper: {0;e1';e2';e3'} ei'*ej'=ijtingimus, mis iseloomustab 5. (ab)c=a(bc)
2. V = Rn; = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn); * = aibi = a1b1 + ... + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fkseeritav baas; = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; * = aibi 5. V = C[a;b]; f,gV; f(x), g(x); f*g = ab f(x)g(x)dx 25. Eukleidilise vektorruumi ja eukleidilise ruumi defnitsioon. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted. Vektorruumi V koos temas fkseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Afinset ruumi A = (V,P), milles V on eukleidiline vektorruum, nimetatakse eukleidiliseks ruumiks. Eukleidilise ruumi A = (V,P) mõõtmeks nimetatakse vektorruumi V mõõdet. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted: 1. vektori pikkus |||| = sqrt(*) 2. punktide A ja B vaheline kaugus (A, B) = ||vektor(AB)|| 3. vektorite ja vaheline nurk ; cos() = (*) / (||||*||||) 4. ristseis ehk ortogonaalsus 5. ortonormaalne baas 26
.. ; bn ) B skalaarkorrutis analoogselt reegliga (1): n = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Kui V ei ole nullruum, siis on vektorruumis V lõpmata palju baase ja seega ka erinevaid skalaarkorrutisi. Def. 2. Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Eukleidilises vektorruumis võrdub nulliga iga vektori skalaarkorrutis nullvektoriga : = = 0 . (2) Järgnevalt olgu V mis tahes eukleidiline vektorruum. Defineerime skalaarkorrutise abil vektori pikkuse ja vektoritevahelise nurga. Def. 1. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse .
.., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks. Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu r > 0 . { } Def. Hulka B( A, r ) = P R m : d (P, A) < r nimetatakse lahtiseks keraks ruumis R m . Def. Hulka B ( A, r ) = {P R m : d (P, A) r} nimetatakse kinniseks keraks ruumis R m
2) kahemõõtmelises aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2) ja = (y1; y2) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt: aga näiteks, avaldised skalaarkorrutist ei määra. 3) 2 2-maatriksite hulgas võib skalaarkorrutise defineerida järgmise valemiga: Olgu Siis määrab skalaarkorrutise. Definitsioon. Vektorruumi koos temas defineeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Definitsioon. Vektori pikkuseks nimetatakse arvu Näide: Kui aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2) ja = (y1; y2) skalaarkorrutis on defineeritud võrdusega , siis vektori pikkus langeb kokku tavalise tasandilise vektori pikkusega. Vektori pikkuse omadused: Tõestus: 2) On kerge kontrollida, et antud võrratus kehtib kui või : Seepärast eeldame, et ja
¨ Oeldakse, et reaalses vektoruumis V on defineeritud skalaarkorru- tis, kui igale kahele vektorile a, b V on vastavusse seatud reaalarv (a|b) R nii, et on t¨aidetud j¨ argmised tingimused: 1) (a|b) = (b|a) (s¨ ummeetria) 2) (a + b|c) = (a|c) + (b|c) (aditiivsus) 3) (a|b) = (a|b) R (homogeensus) 4) kui V a = o, siis (a|a) > 0 (positiivsus) 32 V. Vektorruumid Reaalset skalaarkorrutisega vektorruumi nimetatakse eukleidiliseks ruumiks. 13.2 N¨ aide: skalaarkorrutis nullvektoriga Skalaarkorrutise 3. omaduse p~ ohjal ilmselt (o|a) = (0o|a) = 0(o|a) = 0 a V Siit j¨areldub, et ka (o|o) = 0. 13.3 Skalaarkorrutis reaalses aritmeetilises vektorruumis Olgu a = (1 , . . . , n ) Rn ja b = (1 , . . . , n ) Rn . Skalaar- korrutise defineerime valemiga (a|b) := 1 1 + 2 2 + · · · + n n R 13
Seega meie peame olukorra liht- gel, (x, y) E2 tasandil ja (x, y, z) ruumis E3 saab vaadelda n-korteezi salt ära defineerima. (x1 , . . . , xn ), n N, mille abil defineerime palju üldisema vektorruumi. Definitsioon 13.23 Me nimetame hulka Rn = {(x1 , . . . , xn ) | x1 , . . . , xn R}, nN (13.2) n-mõõtmeliseks (eukleidiliseks) vektorruumiks, millel on defi- neeritud liitmine x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), x, y Rn (13.3) Tegelikult leidub ühel vektor- ja skalaariga korrutamine ruumil lõpmata palju erine-
annaabi.ee 
