Topoloogilised ruumid
u
¨mbruste u ¨hisosa on {x}.
6.4 T˜oestada, et topoloogiline ruum X on T3 -ruum parajasti
siis, kui tema iga punkti x k˜oigi kinniste u¨mbruste hulk on
punkti x u ¨mbruste baasiks.
6.5 N¨aidata, et kui topoloogilise ruumi X igal punktil leidub
kinnine u ¨mbrus, mis on T3 -ruum kui ruumi X alamruum, siis
ka ruum X on T3 -ruum.
6.6 Vaatleme l˜oiku X = [−1; 1] kui ruumi R alamruumi.
Olgu σ ekvivalentsiseos ruumil X j¨argmiste ekvivalentsiklas-
sidega
[x] = {x, −x}, kui x ∈] − 1; 1[ ;
[1] = {1}, [−1] = {−1}.
N¨aidata, et
1) faktorruum X/σ on T1 -ruum, kuid pole T2 -ruum;
2) faktorruumi X/σ igal punktil leidub u¨mbrus, mis on T3 -
ruum kui ruumi X/σ alamruum.
6.7 N¨aidata, et esimest loenduvuse aksioomi rahuldav topo-
loogiline ruum X on Hausdorffi ruum parajasti siis, kui iga
koonduv jada ruumist X omab ainult u ¨hte piirv¨a¨artust.
¨
6
annaabi.ee 
