osajada {Xnk}. Seega *Kasutades funktsiooni pidevust lõigul , leiame, et , kusjuures suurus on lõplik. Teisalt järeldub tingimusest f(Xn) -> tingimus f(Xnk) -> *Oleme saanud vastuolu, mis oli tingitud väitevastasest eeldusest. Seega on lõigul pidev funktsioon tõkestatud sellel lõigul. 23*(Ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. Bolzano- Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest) Hulga =/= X c R vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse sup X. Hulga =/= X c R suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse inf X. Näide: Vahemik on X=(0;1), Inf x = 0 ja sup x = 1. *Pidevuse aksioom- Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
fun-ni x = f-1(y), mis igale arvule y Y = f(X) Lause (Pidevuse aksioom): Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja seab vastavusse arvy x X, kusjuures y = f(x), st x=f-1(y) y=f(x). igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Lause (Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest). Lõigul 3. Jadaks nim. fun-ni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N= {1,2,3....}. pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul, st lõigus [a; b] leiduvad Jada x väärtusi x(n), n N tähistame xn ja nimetame jada liikmeteks. Jada x tähistame {x1, x2,...} punktid [a, b] ja [a, b], nii et või { xn} või { xn}/ n=1 või { xn}n N
pidev funktsioon tõkestatud sellel lõigul. xa xa 23*(Ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreem lõigus f ( x) f (a ) ? pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. Bolzano- Cauchy teoreem lim x a : f ' (a ) f ( x ) f ( a) f ' (a )( x a) ( x ) xa vahepealsetest väärtustest) Hulga ∅ =/= X c R vähimat ülemist tõket
2 x sest tema koostisosad y = u , u = cos v, v = 3 2 on pidevad kõikjal. Näide 2. y = ln( x + 1) ei ole pidev kohal 1. Miks? 30 Teoreeme pidevatest funktsioonidest Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest. Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest. Lõigus pideval funktsioonil on olemas maksimaalne ja minimaalne väärtus selles lõigus. Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest. Lõigus pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel. Teoreem. Kui lõigus [a;b] pideva funktsiooni f väärtused lõigu otspunktides a ja b on vastupidiste märkidega, siis lõigus [a;b] leidub vähemalt üks funktsiooni f nullkoht, s.o. niisugune koht c, kus f (c) = 0.
14. Näidata, et funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui punkti a ümbruses f(x) on 1)*(-2)*(-3)*1=-6 ; fx(x)=(-1)k-1 (k-1)! k JNE. esitatav kujul f(x) = f(a) + α(x) = f(a) + o(1), kus limx→a α(x)/ 1 = 0 ⇔ α(x) = o(1). 15. Punktis pidevate funktsioonide omadusi. Üks omadus tõestada. 16. Toestada Weierstraß’i teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest. 17. Tõestada Weierstraß’i teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. 18. Toestada Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest.
k→+∞ n→∞ k→∞ lõplik. Teisalt järeldub tingimusest f(xn) → ∞ tingimus f(xnk)→ ∞. Oleme saanud vastuolu, mis oli tingitud väitevastasest eeldusest. Seega on lõigul pidev funktsioon tõkestatud sellel lõigul 17 Tõestada Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. Lause: Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul, st lõigus [a,b] leiduvad punktid α ∈ [a,b] ja β ∈ [a,b], nii et min f(x) = f(α), max f(x) = f(β) x ∈ [a,b] x ∈ [a,b] Tõestus: Olgu f(x) ∈ C[a,b]. Kuna pidev funktsioon on tõkestatud, siis pidevuse aksioomi põhjal leiduvad rajad inf f(x) = M sup f(x) = M¯. x∈[a,b] x∈[a,b]
.11 katkevuspunktid. Tuua näiteid. ......................................................................................................11 15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. .................................................................................................................................. 13 16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast. ........................................................... 13 17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. ..............................................................................................................................14 18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega). ....................................... 14 19
. . . . . . . . . . . 58 3.3 Lõigus pideva funktsiooni omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.1 Bolzano–Cauchy teoreem nullkohast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.2 Bolzano–Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest . . . . . . . . . . 63 3.3.3 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni tõkestatusest . . . . . . . . . 64 3.3.4 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest . 65 3.3.5 Pöördfunktsiooni pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Elementaarfunktsioonid, nende pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.1 Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon . . . . . . . 68 3.4.2 Eksponentfunktsioon y = ax , kus x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.3 Logaritm- ja astmefunktsioon . . . . . . . .
~ Loigul pidevate funktsioonide omadusi Definitsioon ¨ Funktsiooni suurimat ja vahimat va¨ artust ¨ hulgal nimetatakse funktsiooni ekstremaalseteks va¨ artusteks ¨ sellel hulgal. ~ Lause (Weierstrassi teoreem loigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest va¨ artustest) ¨ ~ Loigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed va¨ artused ¨ sellel ~ loigul, ~ st loigus [a, b] leiduvad punktid [a, b] ja [a, b], nii et min f (x) = f (), max f (x) = f () x[a,b] x[a,b] ¨ G
annaabi.ee 
