. njah :D suht porno teema (get it? Hah! :D) 19) Ilmutamata funktsiooni tuletis. Mõninkord on funktsioon antud kujul kus kumbagi muutujat ei ole võimalik teise kaudu avaldada. Sellisel juhul tuleb tuletis arvuta nn ilmuta funktsioonist F (x,y) = 0 20) Kõrgemat järku tuletised. 21) Teise tuletise füüsikaline tähendus. 22) Fun-i lokaalsed ekstreemumid 23) Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Funktsiooni lokaalset maksimumi ja miinimumi nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks. For more information go to porns lecture nr 8 24) Funktsiooni kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. Definitsioon. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer (nõgus) piirkonnas X, kui joone puutuja igas punktis kulgeb ülapool (allpool) seda joont. Kui y teine tuletis on suurem kui 0 siis on nõgus aka HAPPY face. Kui y teine tuletis on väiksem kui 0 siis on kumer aka SAD face. 25) Funktsiooni globaalsed ekstreemumid. 26) Newtoni meetod http://www.mathema
Tinglikud ekstreemumid o Praktiliste ekstreemumi leidmise ülesannetena on kõige sagedasemad sedalaadi probleemid, kus tuleb leida mitme muutuja funktsiooni ekstreemum teatavaid lisatingimusi rahuldavate punktide hulgas. Leida funktsiooni z = f(x; y) ekstreemumid, mis rahuldavad lisatingimust g(x; y) = 0 (2): o Antud ülesannet nimetatakse tingliku ekstreemumi ülesandeks ja selle ülesande lahendeid tinglikeks ekstreemumiteks. Võrrand (2) määrab teatud joone xy- tasandil. Lihtsuse mõttes eeldame, et joon g(x; y) = 0 on kinnine, st tema alg- ja lõpp-punkt ühtivad. Geomeetriliselt tähendab tingliku ekstreemumi ülesande lahendamine funktsiooni z = f(x; y) graafiku madalaima ja kõrgeima punkti leidmist joone g(x; y) = 0 kohal 2. Vähimruutude meetod Suurust x nimetatakse sõltumatuks suuruseks ja suurust y sõltuvaks suuruseks. Eesmärgiks on
nii et iga punkti x U(a) korral f(x) > f(a) . y Lokaalne maksimum Lokaalne maksimum Lokaalne miinimum x Lokaalne miinimum Funktsiooni lokaalset maksimumi ja lokaalset miinimumi nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks ja kohta, kus lokaalne ekstreemum saavutatakse, lokaalseks ekstreemumkohaks. Üldiselt võib funktsioonil võib olla lõpmata palju lokaalseid maksimume ja miinimume. Funktsiooni nimetatakse kasvavaks mingis vahemikus, kui suurematele argumendi x väärtusele selles vahemikus vastavad suuremad funktsiooni y väärtused : x1, x2 ( a; b) ja x1 < x2 korral y (x1 ) < y ( x2). 5
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid
Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis siis 4. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem
vahemiku kõigis ülejäänud punktides. Ehk teisiti, funktsioonil f ( x ) on punktis x = x1 maksimum, kui f ( x1 + x ) < f ( x1 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni miinimumi definitsioon. Funktsioonil f ( x ) on punktis x = x 2 miinimum, kui f ( x 2 + x ) > f ( x 2 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni maksimume ja miinimume nimetatakse tema ekstreemumiteks ehk ekstremaalseteks väärtusteks. (ekstreemumi olemasolu tarvilik tingimus). Kui diferentseeruval funktsioonil y = f ( x ) on punktis x = x1 maksimum või miinimum, siis tema tuletis selles punktis on null, s.t. f ( x1 ) = 0 . Argumendi väärtusi, mille puhul funktsiooni tuletis on null või katkev, nimetatakse kriitilisteks punktideks ehk kriitilisteks väärtusteks. 9. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigul. Olgu funktsioon y = f ( x ) lõigul [ a, b] pidev
Kui x1
1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis = 0. 20) Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni = -järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni -1-järku tuletise tuletist ja tähistatakse . Lõplikku -järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse -korda diferentseeruvaks. 21) Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja)
Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Kui leidub punkt x1 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) >= f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a; b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) <= f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a; b]. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon.
Newton-Leibnizi valem valemid Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali Järeldus: on funktsioon, mis vastavalt integraalarvutuse põhiteoreemile (x)=F(x+C Kui x=a, siis Seega F(a)+C=0 ; C=-F(a) Võttes x=b, saame 17. Vaatleme Taylori valemit 19. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse 20. Teoreem 1 (ekstreemumi piisavad tingimused) funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on Olgu x1 funktsiooni y=f(x) kriitiline punkt. Kui läbides funktsiooni y=f(x) miinimum, kui leidub niisugune punkti seda punkti x kasvamise suunas tuletise y'(x) märk:
lemma Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. 22. Sõnastada Rolle'i teoreem (tõestust ei kusi). Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada Lagrange'i teoreem (tõestust ei kusi). Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreem
Siinjuures on oluline kontrollida, et oleks määramatusega tüüpi 0/0 või ∞/∞! 27. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid (definitsioonid, näited kasutamisest). Nende leidmise algoritm. Funktsioonil f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub niisugune punkti a ümbrus (a − δ, a + δ), kus f(x) ≤ f(a). Funktsioonil f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub niisugune punkti a ümbrus (a − δ, a + δ), kus f(x) ≥ f(a). Neid ekstreemumeid nimetatakse lokaalseteks ekstreemumiteks, aga kui otsime maksimum- ja miinimumväärtusi kogu lõigu [a, b] ulatuses, siis räägime globaalsetest ekstreemumitest. Eesmärgiks on tuletise kasutamine funktsiooni graafiku kuju uurimisel ning maksimum- ja miinimumpunktide leidmisel. Praktilistes ülesannetes optimaalse lahenduse leidmine. Näited: Plekkpurgi optimaalne kuju vähendamaks tema toomiskulusid; kosmosesüstiku maksimaalne kiirendus, millele ka kosmonaudid vastu
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. 4. Sõnastada ja tõestada Fermat’ teoreem. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f′(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) − f(x1) ≤ 0, Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt
f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b]. Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a,b] Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: · Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Def
f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b]. Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a,b] Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: · Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Def
1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. b. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma Sõnastus: Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x)=0. Tõestus: b.1. b.2. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu.
nimetatakse arvu f(x) funktsiooni suurimaks väärtuseks lõigul [a,b] Suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt. Kui leidub punkt x lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni vähimaks väärtuseks lõigul [a,b] Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17.Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul. Teine omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul
2! x2y 2! xy2 3! y3
Antud valem suvalise n korral oleks:
n k
Pn(x,y) = 1 k k * (a,b)(x-a) k-i(y-b)i
k=0 i=0
k! i xk-iyi
25) Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse
ekstreemumi tarvilik tingimus.
· Lokaalseteks ekstreemumiteks nim selle punkti lokaalseid miinimum ja masksimumkohti.
Öeldakse et funktsioonil on punktis P1 lokaalne maksimum, kui:
1) funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,e)
2) iga PU(P1,e), P P1 korral kehtib võrdus (P)
1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0 Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v~otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt.
2! x2y 2! xy2 3! y3
Antud valem suvalise n korral oleks:
n k
Pn(x,y) = 1 k k * (a,b)(x-a) k-i(y-b)i
k=0 i=0
k! i xk-iyi
25) Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse
ekstreemumi tarvilik tingimus.
· Lokaalseteks ekstreemumiteks nim selle punkti lokaalseid miinimum ja masksimumkohti.
Öeldakse et funktsioonil on punktis P1 lokaalne maksimum, kui:
1) funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,e)
2) iga PU(P1,e), P P1 korral kehtib võrdus (P)
Joonis: tan = QR = AR · tan QR = f'(x0) · x QR = dy PR = y PQ = PR PQ PQ = 7. Diferentsiaali omadused. (omaduse 2 tõestus). 1. d(u ± v) = du ± dv, 2. d(uv) = vdu + udv, 3. d = , kui v0. 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, Tõestus: d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = u'vdx + dv'dx = u'dx · v + u · v'dx = vdu + udv 8. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Definitsioonid. Lokaalsed ekstreemumid. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Definitsioon. Lokaalne maksimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Definitsioon. Lokaalne miinimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). 9. Fermat' lemma (tõestusega)
i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) a.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) b. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui: b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) c. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks d. Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti ümbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". Läbides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". Läbides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. e. Fermat` lemma: Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja
b], kus a ja b on konkreetsed arvud. Määrake selle animatsiooni abil funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkonnad 19. Koostage animatsioon, mis näitab konkreetse funktsiooni f(x) korral funktsiooni II tuletise muutumist etteantud lõigus [a. b], kus a ja b on konkreetsed arvud. Määrake selle animatsiooni abil funktsiooni graafiku kumeruse ja nõgususe piirkonnad. 20. Mis on funktsiooni f(x) ekstreemum ja selle funktsiooni graafiku käänupunkt? Esitage 2 näidet! F-ni ekstreemumiteks nim. f-ni max ja min väärtusi. , - ekstreemumkohad , - ekstreemumid , - ekstreemumpunktid Käänupunkt on punkt, kus f-ni graafiku kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi. Näited: v.t. labor 8 21. Defineerida funktsiooni alternatiivne tuletis! Leida konkreetse funktsiooni tuletis alternatiivse tuletise definitsiooni abil ja Mathcadi sisseprogrammeeritud algoritmiga! Näide: Leida f-ni tuletis kohal .
[a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. Funktsiooni suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt ja funktsiooni vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: 1. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Seda omadust võib selgitada järgmiselt. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul. 2
Suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt. b. Kui leidub punkt x lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni vähimaks väärtuseks lõigul [a,b] Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. c. Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. a. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega a.i. Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul. a.ii
4. 5. 24. Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui saame näidata: 1. Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( 2. Igal puhul kehtib võrratus Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui saame näidata: 1. Funktsioon on määratud mingis ümbruses 2. Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat'lemma - Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on samas punktis diferentseeruv siis Tõestus Vaatleme juhtu, kus funktsioonil on lokaalne maksimum, mistõttu peab kehtima võrratus järelikult Nüüd võime võtta -i -st paremalt või vasakult. Võtame ta vasakult. Jagame võrratuse selle negatiivse arvuga. (Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust!) Võrratus jääb ka siis kehtima, kui võtta temast piirväärtus piirprotsessis . Seega tuletise
- n -1 n +1- n + 2 -1- 1+ = = =1- >1 n+2 n+2 n+2 n+2 n Seega M 0 Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1 < x < 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1 { (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2 { (19.2) U ( x 2 ) = x x - x 2 < }
- n -1 n +1- n + 2 -1- 1+ = = =1- >1 n+2 n+2 n+2 n+2 n Seega M 0 Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1 < x < 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1 { (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2 { (19.2) U ( x 2 ) = x x - x 2 < }
Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad.(Näited konspektis) 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Absoluutne maksimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks lõigul [a, b]. Absoluutne miinimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks lõigul [a, b].
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus : funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0
2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). a ümbruses. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Kui x a, siis kehtib ligikaudne valem f(x)P_n (x). Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis,
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum kui
1. funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,)
2. iga PU(P1,), PP1 kehtib võrratus f(P)
pidevad. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad.(Näited konspektis) 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Absoluutne maksimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks lõigul [a, b]. Absoluutne miinimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks lõigul [a, b].
1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) < f (P1 ). ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) > f (P1 ). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Lokaalsed ekstreemumid on seotud funktsiooni statsionaarsete punktidega. Funktsiooni z = f (P ) statsionaarseks punktiks nimetatakse punkti P , kus ke- htivad v~ordused fx1 (P ) = fx2 (P ) = . . . = fxm (P ) = 0 (ehk grad f (P ) = 0). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Olgu funktsioonil z = f (P ) punk- tis P1 lokaalne ekstreemum ja eksisteerigu osatuletised fx1 (P1 ), fx2 (P1 ), . . . , fxm (P1 ). Siis fx1 (P ) = fx2 (P ) = . .
1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses (x - , x + ); 2. Iga x ( x - , x + ) korral kehtib võrratus f ( x) f (x ) ; 2.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1.Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses ( x 1- , x 1+ ) ; 2.Iga x (x - , x + ) korral kehtib võrratus f (x) f (x ) . 3.Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks b Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f '(x1) = 0. a. Tõestus: 1. X asub punktist x1 vasakul f ( x )-f ( x1 ) 0 1 x¿ f ( x ) -f ( x 1 ) ¿
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) − f(x1) ≤ 0 Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu
( x, y ) U ( P ) U ( P ) , et f ( x, y ) > f ( x1 , y1 ) , ( x, y ) ( x1 , y1 ) (14.1) Punktis Q( x 2 , y 2 ) on funktsiooni maksimum kui leidub selline punkti ümbrus U ( Q ) , et ( x, y ) U ( Q) f ( x, y ) < f ( x 2 , y 2 ) , ( x, y ) ( x2 , y 2 ) Funktsiooni miinimume ja maksimume nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks. Teoreem 14.1. Mitme muutuja funktsioonid saavad ekstreemumid olla vaid nendes punktides, kus selle funktsiooni esimest järku osatuletised on nullid või ei eksisteeri. Vastavaid punkte nimetatakse kriitilisteks või statsionaarseteks punktideks. Tõestus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) . Sellel funktsioonil saab olla ekstreemum punktis P vaid siis kui ka ühe muutuja funtksioonidel g ( x ) = f ( x, y 0 ) ja h( y ) = f ( x 0 , y )
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tostada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) - f(x1) 0. (3.21) Selles .umbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt
Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib Teoreem 1. Kui funktsioon z f x, y ja selle osatuletised z x , z y , z xy ja z yx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t. 2z 2z x y y x (z xy z yx ) Osatuletise rakendused. 1. Ekstreemumi leidmine. Funktsiooni z f x, y maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks. 2 2 Näide 7. Funktsioonil z x 1 y 2 1 on miinimum punktis 1, 2 . (Vaata allolevat joonist) Punkte P x 0 , y 0 , milles funktsiooni osatuletised on nullid või puuduvad (s.t. f f x x0, y0 0 ja y x 0 , y 0 0 või nendest kasvõi üks puudub), nimetatakse funktsiooni kriitilisteks punktideks. Kehtib
kehtib v~orratus f (x2 ) f (x), siis nimetatakse arvu f (x2 ) funktsiooni f v¨ ahimaks v¨ a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a, b]. Funktsiooni suurima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul k~orgeim punkt ja funktsiooni v¨ahima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Loetleme kolm l~oigul pidevate funktsioonide olulist omadust. Seejuures omadused 1 ja 2 anname t~oestusteta. Esitame vaid nende omaduste u¨ldisi sel- gitusi ja toome illustreerivaid n¨aiteid. Omadus 1. L~ oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ ahima v¨ a¨artuse sellel l~ oigul. Seda omadust v~oib selgitada j¨argmiselt
kehtib v~orratus f (x2 ) f (x), siis nimetatakse arvu f (x2 ) funktsiooni f v¨ ahimaks v¨ a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a, b]. Funktsiooni suurima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul k~orgeim punkt ja funktsiooni v¨ahima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Loetleme kolm l~oigul pidevate funktsioonide olulist omadust. Seejuures omadused 1 ja 2 anname t~oestusteta. Esitame vaid nende omaduste u¨ldisi sel- gitusi ja toome illustreerivaid n¨aiteid. Omadus 1. L~ oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ ahima v¨ a¨artuse sellel l~ oigul. Seda omadust v~oib selgitada j¨argmiselt
B= =0 xy ja 2z C= = -2. y 2 Seega AC - B 2 = -4 < 0. J¨arelikult teoreemi 2 p~ohjal kahe muutuja funkt- sioonil z = x2 - y 2 statsionaarses punktis P0 (0; 0) lokaalset ekstreemumi ei ole. 30 6.13 Kahe muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemu- mid Globaalseteks ekstreemumiteks nimetatakse kahe muutuja funktsiooni suu- rimat ja v¨ahimat v¨a¨artust antud piirkonnas. Olgu kahe muutuja funktsioon z = f (x, y) pidev t~okestatud kinnises piir- konnas D. Toetume kahele omadusele. Omadus 1. T~okestatud kinnises piirkonnas D pidev kahe muutuja funkt- sioon f (x, y) omab suurimat ja v¨ahimat v¨a¨artust selles piirkonnas. Omadus 2. T~okestatud kinnises piirkonnas D pidev kahe muutuja funkt-
annaabi.ee 
