Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23
L¨abides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". L¨abides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. Lokaalseid ekstreemume saab vaadelda nt joonisel 2.13. Seal kujutatud funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum ja punktis x3 lokaalne miini- mum. Funktsiooni lokaalseid ekstreemume ei tohi segi ajada funktsiooni absoluut- sete ekstreemumitega, millest oli juttu §2.11. N¨aiteks joonisel 2.13 toodud funkt- sioon saavutab absoluutse miinumumi punktis a, kuid seal lokaalset miinimumi ei ole. P~ohjus on selles, et ei leidu lokaalse ekstreemumi definitsioonis n~outavat au ¨mbrust, kus funktsioon oleks m¨a¨aratud. Punktist a vasakul on funktsioon m¨a¨aramata. K¨ull v~oib v¨aita, et juhul, kui funktsioon on m¨a¨aratud l~oigul [a, b] ja saavutab
L¨abides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". L¨abides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. Lokaalseid ekstreemume saab vaadelda nt joonisel 2.13. Seal kujutatud funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum ja punktis x3 lokaalne miini- mum. Funktsiooni lokaalseid ekstreemume ei tohi segi ajada funktsiooni absoluut- sete ekstreemumitega, millest oli juttu §2.11. N¨aiteks joonisel 2.13 toodud funkt- sioon saavutab absoluutse miinumumi punktis a, kuid seal lokaalset miinimumi ei ole. P~ohjus on selles, et ei leidu lokaalse ekstreemumi definitsioonis n~outavat au ¨mbrust, kus funktsioon oleks m¨a¨aratud. Punktist a vasakul on funktsioon m¨a¨aramata. K¨ull v~oib v¨aita, et juhul, kui funktsioon on m¨a¨aratud l~oigul [a, b] ja saavutab
ning 1 1 (arctan x)′ = ja (arccot x) ′ = − (x ∈ R) 1 + x2 1 + x2 (kontrollida!)z. 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem Alustame olulise tähelepanekuga tuletise seosest funktsiooni ekstreemumitega. Definitsioon. Öeldakse, et funktsioonil f : D → R on punktis a ∈ D suurim (vä- him) väärtus ehk globaalne maksimum (miinimum) (global, absolute maximum, абсолютный максимум), kui iga x ∈ D korral kehtib võrratus f (x) 6 f (a) (vastavalt f (x) > f (a) iga x ∈ D korral). Kui funktsiooni f määramispiirkonna D sisepunktil a on ümbrus Uδ (a) omadusega f (x) 6 f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral,
annaabi.ee 
