Integraali avaldamisel asendusvõttega tehagse selle integraali all muutuja vahetus. 1. Valime mingi funktsiooni 2. Asendame integreerimise x järgi integreerimisega u järgi 3. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni 4. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena 5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. 1. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali 2. Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2
du = '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du .Asendame x-i ja dx-i integraali all: f(x)dx =f[(u)]'(u)du . Muutujate vahetus määratud integraalis: Kui fC[a,b] ja (t) on pidevalt diferentseeruv lõigul [,] ja ()=a ja ()=b, siis b a f ( x )dx = f ((t))' (t)dt = f((t))d(t) Ositi integreerimine määramata integraalis: Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldised(uv) =vdu +udv-- udv = uv -vdu . b b
12. 19. · Funktsiooni diferentsiaali mõiste Funktsiooni diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise ja argumendi muudu korrutist. Tähistatakse tähisega df või dy. Seega definitsiooni kohaselt 20. · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid 1. 2. Tõestus Kasutades tuletise piirväärtuse definisiooni ja tuletise arvutamise reegleid 3. · Liitfunktsiooni diferentseerimise valem Olgu kaks diferentseeruvat funktsiooni ja ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon . Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Mistõttu on liitfunktsiooni tuletis selline 21. · Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine Olgu vaatulse all funktsioon , mis on antud ilmutamata kujul . Funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand y suhtes. Tuletise või
Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooniga -ga. Seega Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena Korrutades seda võrdust du-ga saame Asendame x ja dx integraali all. Saame avaldise b. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks Olgu ) ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise. Integreerime seda avaldist. Saame Kuna integraalide tabeli vaheli 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante. Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted a
ja tõepoolest on võrduse (1) mõlema poole tuletised võrdsed funktsiooniga f ( x ) , mis tõestabki teoreemi väite. Märkus. Funktsioon x = ( t ) ja tema pöördfunktsioon t = ( x ) kujutavad endast üht ja sama sõltuvust muutujate t ja x vahel, seega võib muutuja vahetuse teha nii ühel või teisel kujul kui ka mistahes muul kujul, mis väljendab sama sõltuvust. 37. Ositi integreerimise valem Olgu meil antud kaks diferentseeruvat funktsiooni u = u( x ) ja v = v ( x ) . Nende funktsioonide korrutise diferentsiaal on: d ( uv ) = udv + vdu . Võttes selle võrduse mõlemalt poolt määramata integraali, saame määramata integraali esimest omadust kasutades, et d ( uv ) = udv + vdu . Pumkti 4.1.1 järelduse 3 põhjal saame viimasest võrduse uv = udv + vdu , millest omakorda valemi
a.ii. Asendame integreerimise x järgi integreerimisega u järgi a.iii. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni a.iv. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena a.v. Korrutame selle võrduse du-ga saame a.vi. Asendame x ja dx integraali all saame b. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: b.i. Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. b.ii. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali b.iii. Integreerime seda avaldist b.iv. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) b.v. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. a. Funktsiooni f integraalsumma lõigul : b
x = g(t) on diferentseeruv piirkonnas T , kusjuures selle funktsiooni muutumispiirkonnaks on X, siis f (x)dx = f [g(t)]g (t)dt. Lauses toodud valemi põhjenduse ja selle rakenduse näiteid võib leida raamatutest [3], lk 162-165; [4], lk 218-219; [5], lk 363-365. Integreerimisel on sageli lihtsam leida sobivat asendust kujul t = h(x), nagu seda tegime ka näidetes 3.8-3.10. 3.5 Ositi integreerimine Vaatame kahte diferentseeruvat funktsiooni u = u(x) ja v = v(x). Nende funktsioonide korrutise tuletis leitakse valemiga (uv) = u v + v u, diferentsiaal korrutisest on seega d(uv) = vdu + udv. Avaldades viimasest võrdusest udv, saame udv = d(uv) - vdu. Kui nüüd eksisteerib integraal vdu, siis ilmselt eksisteerib ka integraal udv, sest integraali omaduste põhjal d(uv) = uv + C
Kui y = x, siis y′ = 1 ja rakendades valemit dy = f′(a)∆x saame dx = ∆x. 13. Esitada funktsiooni tuletis diferentsiaalide jagatisena. Olgu y = f(x) suvaline funktsioon. Asendame suuruse ∆x suurusega dx valemis dy = f′(a)∆x. Saame võrduse dy = f′(a)dx. Siit tuleneb järgmine valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: f′(a) = dy/dx. 14. Esitada ja tõestada liitfunktsiooni tuletise valem. Liitfunktsiooni tuletise valemi tõestus. Olgu y = f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi f′(a) = dy/dx üles punktis x, saame f′ (x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g′(y) = dz/dy
x= (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena = ' (u) du Korrutades seda võrdust du-ga saame dx= ' (u ) du Asendame x ja dx integraali all. Saame avaldise f ( x ) dx= f [ ( u ) ] ' ( u ) du Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks x Olgu v =v (x ) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise u=u ¿ ) ja diferentsiaali avaldise. d (uv ) =vdu+ udv Integreerime seda avaldist. Saame d (uv ) =¿ vdu+ udv ¿ Kuna d ( uv )=uv +C integraalide tabeli vaheli 1 põhjal, siis uv+ C= vdu+ udv Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante.
19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg' · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ja olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis same f'(x)= . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltub muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z=g[f(x)] tuletise tema argumendi x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]}' =
19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg' · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ja olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis same f'(x)= . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltub muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z=g[f(x)] tuletise tema argumendi x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]}' =
saame f(x) = = - f(x) 19. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x f(a) = . 20. Korrutise tuletis (fg)(x) = = = [ f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x) - g(x)] }= = = f(x)g(x) + f(x)g(x) = (fg + fg)(x) Liitfunktsiooni diferenseerumise tuletamine. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi Üles punktis x, saame f(x) = . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g(y) = . Viimaks avaldame
Eeldame, et ϕ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni ϕ pöörd-funktsiooni ψ-ga. Seega x = ψ(u) Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = ψ’(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = ψ’(u)du. Kasutades valemeid asendame x ja dx integraali all. Saame avaldise ʃf(x)dx = ʃ f[ψ(u)] ψ’(u)du. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise d(uv) = vdu + udv. Integreerime seda avaldist. Saame ʃ d(uv) =ʃvdu +ʃudv. Kuna ʃd(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis uv + C =ʃ vdu +ʃ udv. Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalid ʃudv ja ʃvdu sisaldavad juba määramata konstante. Viies ʃvdu võrduse teisele poolele saame ʃudv = uv − ʃvdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime
Eeldame, et on u¨ksu¨hene ja diferentseeruv. T¨ahistame funktsiooni p¨o¨ord- funktsiooni -ga. Seega x = (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = '(u). Korrutades seda v~ordust du-ga saame dx = '(u)du. Kasutades valemeid asendame x ja dx integraali all. Saame avaldise f(x)dx = f[(u)] '(u)du. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise d(uv) = vdu + udv. Integreerime seda avaldist. Saame d(uv) =vdu +udv. Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 p~ohjal, siis uv + C = vdu + udv. Konstandi C v~oib sellest valemist v¨alja j¨atta, sest m~olemad m¨a¨aramata integraalid udv ja vdu sisaldavad juba m¨a¨aramata konstante. Viies vdu v~orduse teisele poolele saame udv = uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime
1. (f + g)' = f' + g', 2. (fg)' = f'g + fg', 3.(f /g)'= f'g-fg'/ g2 Tõestada korrutise reegel. (fg)'(x) = lim x0 f(x + x)g(x + x) - f(x)g(x) x = = lim x0 1/ x / [f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x) - g(x)] /= = lim x0 f(x + x) - f(x)/x * lim x0 g(x + x) + +f(x) * lim x0 g(x + x) - g(x) x= = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = (f'g + fg')(x). Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. J¨argnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y = f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodus- tatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada s~oltuva muutuja ja a rgumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y, siis kirju tades valemi u¨les punktis x, saame f'(x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja s~oltuv muutuja z. Esitame g tuletise s~oltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g'(y) = dz/dy
Sellisel juhul püütakse teha integraalialuses avaldises muutuja vahetust. Oletame, et x = (t) on diferentseeruv funktsioon, millel leidub pöördfunktsioon, siis: dx = '(t)dt ning kehtib võrdus . Valemit nimetatakse määramata integraali muutujate vahetuse valemiks. Muutujat t nimetatakse uueks integreerimismuutujaks. 20. Ositi integreerimine (ositi integreerimise valemi selgitus). Teoreem. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning eksisteerigu määramata integraal , siis kehtib võrdus: = uv - Selgitus. Viimast valemit nimetatakse määramata integraali ositi integreerimise valemiks ja seda kasutatakse niisuguste avaldiste integreerimisel, mida saab esitada kahe teguri u ja dv korrutisena. Funktsioon u on sellinne, mis diferentseerimise kaudu muutub lihtsamaks (näiteks arcsinx, lnx, x3), aga dv on avaldis, millest integreerimise teel saame leida v. 21. Integraalsumma ja määratud integraal
24) 25) · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral 1 (f+g)' = f'+g' 2 (fg)' = f'g+fg' 3 4 (Cf)' = C' f + C f' = 0 f + C f' = C f' , C konstant 5 (fg)' = [f + (1)g]' = f' + [(1)g]' = f' + (1)g' = f' g' 6 · Tõestada korrutise reegel · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid LK 62 Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]. Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame .
24) 25) · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral 1 (f+g)' = f'+g' 2 (fg)' = f'g+fg' 3 4 (Cf)' = C' f + C f' = 0 f + C f' = C f' , C konstant 5 (fg)' = [f + (1)g]' = f' + [(1)g]' = f' + (1)g' = f' g' 6 · Tõestada korrutise reegel · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid LK 62 Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]. Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame .
nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena: lk 60 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: lk 61-62 Tõestada korrutise reegel: lk 62 Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid: Järgnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena (valem (3.4)). Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi (3.4) üles punktis x, saame f(x) = ? Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g(y) = ?
Definitsiooni kohaselt: . Diferentsiaal sõltub kahest suurusest: punktist a, kus diferentsiaal on arvutatud, ja argumendi muudust . Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: 1) 2) 3) Tõestada korrutise reegel Kasutades tuletise definitsiooni ja piirväärtuste omadusi saame: Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon . Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame f'(x) = . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame: g'(y) =
(fg)(x) = lim f(x + x)g(x + x) - f(x)g(x)/x= lim1/ x{ [f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x0 x0 x) - g(x)]}= (lim f(x + x) - f(x))/ x lim g(x + x) + f(x) lim(g(x + x) - g(x))/ x = x0 x0 x0 = f (x)g(x) + f(x)g(x) = (f g + fg)(x). Sellega ongi reegel 2 tõestatud. 3.(f/g)= fg-fg/g2 . Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi saame f(x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Saame g (y) = dz/dy. Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena
f(a) =(dy)/(dx) 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral. Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. 1. (f + g) = f + g 2. (fg) = fg + fg 3.(fg)= (fg-fg)/g2 4. (Cf) = Cf + C f = 0 f + C f = C f , C - konstant, 5. (f - g) = [f + (-1)g] = f + [(-1)g] = f + (-1)g = f - g Korrutise reegli tõestus. Valemid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame f(x) = (dy)/(dx) . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g(y) = (dz)/(dy) . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja sõltuva muutuja z
Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) (5.3) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du (5.4) Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame avaldise Ositi integreerimine. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise (vt. Diferentsiaali omadus 3 §3.3) d(uv) = vdu + udv Integreerime seda avaldist. Saame: Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalidudv javdu sisaldavad juba määramata konstante. Viiesvdu võrduseteisele poolele saame
Seega, 0 = F(a) + C, millest a Ositi integreerimine. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks tuletame valemi C = -F(a) konstandi C jaoks. diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise Nüüd saame kirjutada võrduse (5.25) kujul x af(t)dt = F(x) - F(a) . diferentsiaali avaldise (vt. Diferentsiaali omadus 3 §3.3) d(uv) = vdu Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton-Leibnitzi + udv valemini (5.24)
korral. Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. 1. (f + g)′ = f′ + g′ 2. (fg)′ = f′g + fg′ 3.(fg)′= (f′g−fg′)/g2 4. (Cf)′ = C′f + C f′ = 0 f + C f′ = C f′ , C − konstant, 5. (f − g)′ = [f + (−1)g]′ = f′ + [(−1)g]′ = f′ + (−1)g′ = f′ − g′ Korrutise reegli tõestus. Valemid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame f′(x) = (dy)/(dx) . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g ′(y) = (dz)/(dy) . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise
x0 x = f (x)g(x) + f (x)g (x) = (f g + f g )(x) . Sellega ongi reegel 2 t~oestatud. Reeglitest 1 ja 2 j¨arelduvad veel 2 lihtsat valemit: 4. (Cf ) = C f + C f = 0 f + C f = C f , C - konstant, 5. (f - g) = [f + (-1)g] = f + [(-1)g] = f + (-1)g = f - g . J¨argnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y = f (x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodus- tatud liitfunktsioon z = g[f (x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada s~oltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena (valem (3.4)). Kuna funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y, siis kirjutades valemi (3.4) u¨les punktis x, saame f (x) = dx dy . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja s~oltuv muutuja z
x0 x = f (x)g(x) + f (x)g (x) = (f g + f g )(x) . Sellega ongi reegel 2 t~oestatud. Reeglitest 1 ja 2 j¨arelduvad veel 2 lihtsat valemit: 4. (Cf ) = C f + C f = 0 f + C f = C f , C - konstant, 5. (f - g) = [f + (-1)g] = f + [(-1)g] = f + (-1)g = f - g . J¨argnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y = f (x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodus- tatud liitfunktsioon z = g[f (x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada s~oltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena (valem (3.4)). Kuna funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y, siis kirjutades valemi dy (3.4) u¨les punktis x, saame f (x) = dx . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja s~oltuv muutuja z. Esitame g tuletise s~oltuva muutuja
88 4 Diferentseeruvad funktsioonid Sellega määratud sirget nimetatakse funktsiooni f graafiku puutujaks punktis P. Niisiis, kohal a diferentseeruva funktsiooni f korral defineeritakse tema graafiku punktis (a, f (a)) puutuja kui punkte (a, f (a)) ja (x, f (x)) läbiva lõikaja piirseis protsessis x → a, tuletis f ′ (a) on võrdne puutuja tõusuga, s.t. tõusunurga tangensiga (vt. joonis 4.1). Seega iseloo- mustab diferentseeruvat funktsiooni tema graafiku teatav siledus, asjaolu, et graafik on "ilma nurkadeta". y y = f (x) Q f (z) − f (a) y = f ′ (a)(x − a) + f (a) P
3 aide 4.12. Kasutades diferentsiaali d(x3 ) = 3x2 dx ja tabeliintegraali 2.4, leiame N¨ 1 1 1 x2 sin x3 dx = 3x2 sin x3 dx = sin x3 d(x3 ) = - cos x3 + C. 3 3 3 5 Ositi integreerimine Olgu meil antud kaks diferentseeruvat funktsiooni u = u(x) ja v = v(x). Nende funktsioo- nide korrutise diferentsiaal d(uv) = udv + vdu. M¨a¨aratud integraali omaduse 3.1 p~ohjal d(uv) = udv + vdu ja j¨arelduse 1.6 t~ottu uv = udv + vdu. Viimasest v~ordusest saame ositi integreerimise valemi udv = uv - vdu
annaabi.ee 
