maksimum, kui f ( x1 + x ) < f ( x1 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni miinimumi definitsioon. Funktsioonil f ( x ) on punktis x = x 2 miinimum, kui f ( x 2 + x ) > f ( x 2 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni maksimume ja miinimume nimetatakse tema ekstreemumiteks ehk ekstremaalseteks väärtusteks. (ekstreemumi olemasolu tarvilik tingimus). Kui diferentseeruval funktsioonil y = f ( x ) on punktis x = x1 maksimum või miinimum, siis tema tuletis selles punktis on null, s.t. f ( x1 ) = 0 . Argumendi väärtusi, mille puhul funktsiooni tuletis on null või katkev, nimetatakse kriitilisteks punktideks ehk kriitilisteks väärtusteks. 9. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigul. Olgu funktsioon y = f ( x ) lõigul [ a, b] pidev. Siis ta saavutab selle lõigu mingis punktis suurima väärtuse
Nimelt lähtudes osatuletiste fx ja fy pidevusest õnnestus funktsiooni muudule z anda eralduvate muutujatega DV-ks. Kuna M2(y)N2(x)((M1(x)/N2(x))dx + (N1(y)/M2(y))dy) = 0, siis lahenditeks saame konstantsed esitus z = fx(x, y) x + fy(x, y) y + . Saab näidata, et igal diferentseeruval funktsioonil on olemas esimest järku osatuletised. funktsioonid y = l kui M2(l) = 0 ja x=k kui N2(k)=0 ning vastava eraldatud muutujatega DV lahendi. Lineraarne diferentsiaalvõrrand. Homogeense ja mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamine. Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada.
Paneme tähele, et kui a − δ < x < a, siis x − a < 0 ja seose (6.1) tõttu . Sellest võrratusest saame protsessis x → a− järelduse 3.8 põhjal, et Kui aga a < x < a + δ, siis x − a > 0 ning järelikult Kuna võrratused f′ (a) ≥ 0 ja f′ (a) ≤ 0 on üheaegselt täidetud, siis f′ (a) = 0. Sama tulemuseni jõuame ka siis, kui funktsioonil f on punktis a lokaalne miinimum. Geomeetriliselt tähendab lause 6.1 väide seda, et kui kohal a diferentseeruval funktsioonil on selles punktis lokaalne ekstreemum, siis tema graafikule punktis (a, f (a)) võetud puutuja on paralleelne x-teljega Defineerida funktsiooni statsionaarse punkti mõiste: Punkti a ∈ D nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f : D → R statsionaarseks punktiks, kui f′ (a) = 0 Tuua näide funktsioonist, mille statsionaarses punktis ei ole lokaalset ekstreemumit: Kuupfunktsioon f : R → R, f (x) := x3 on igas punktis x ∈ R diferentseeruv ning f′ (x) = 3x2
xn) on antud võrrandiga F (x1, … , xn, u) = 0, kus F on mingi n + 1-muutuja funktsioon, siis öeldakse et funktsioon f on antud Tõestus: Järeldub alajaotuse algul esitatud arutelust. Nimelt lähtudes osatuletiste fx ja fy pidevusest õnnestus funktsiooni ilmutamata kujul. Vaatame ühe muutuja funktsioonu y = f(x). muudule Δz anda esitus Δz = fx(x, y) Δx + fy(x, y) Δy + γ. Saab näidata, et igal diferentseeruval funktsioonil on olemas Lause 10.Kui funktsioon y = f(x) on antud ilmutamata kujul võrrandiga F (x, y) = 0 ja P(x, y) on selle võrrandiga esitatud
y a - y a - Olgu x, y sellised, et a < y < x . Kuna f on kahanev, kui x (a, a + ) , siis f ( y ) > f ( x ) . Kuna f on pidev kohal a, siis lim f ( y ) lim f ( x ) . y a - y a - lim f ( y ) = f (a ) lim f ( x ) = f (x ) f (a ) f ( x ) x (a, a + ) y a - y a - Kuna f ( x ) f (a ) x (a - , a ) (a, a + ) , siis f (a ) = max f ( x ) x (a - , a ) (a, a + ) Teoreem: Olgu n korda diferentseeruval funktsioonil järgmine omadus f (a ) = f (a ) = ... = f (n -1) (a ) = 0 ja f (n ) (a ) 0 . Kui n on paaritu (s.t. n = 2 p + 1 ), siis pole funktsioonil f kohal a lokaalset ekstreemumit. Kui n on paarisarv (s.t. n = 2 p ), siis juhul kui f (n ) (a ) < 0 on funktsioonil f kohal a lokaalne maksimum. Juhul kui f (n ) (a ) > 0 on funktsioonil f kohal a lokaalne miinimum. Tõestus: Tõestus baseerub Taylori valemil. Taylori valem funktsiooni f esimese tuletise jaoks:
6.1 Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoree- mid Definitsioon 6.1 Olgu funktsioon f määratud hulgal D. Me ütleme, et funktsioonil f leidub maksimaalne väärtus hulgal D, punktis c D, kui f (x) f (c) iga x D. Analoogiliselt ütleme, et funktsioonil f leidub minimaalne väärtus hulgal D, punktis c D, kui f (x) f (c) iga x D. Teoreem 6.1 Fermat' teoreem, vt. [22]. Kui vahemikus (a, b) diferentseeruval funktsioonil f on olemas maksimaalne või minimaalne väärtus punktis c (a, b), siis f (c) = 0. Teoreem 6.2 Rolle'i teoreem, vt. [22]. Kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f korral f (a) = f (b), siis leidub selline punkt c (a, b), nii et f (c) = 0. Tõestus. Kuna konstantse funktsiooni korral on tulemus ilmne, siis võime edaspidi eeldada, et leidub punkt x0 (a, b) nii, et f (x0 ) = f (a) = f (b).
Kuna need peavad olema võrdsed, siis f ′ (a) = lim f (x)−f x−a (a) = 0. x→a Lokaalse miinimumi korral on tõestus analoogiline. Geomeetriliselt tähendab lause 4.9 väide seda, et kui punktis a diferentseeruval funkt- sioonil on selles punktis lokaalne ekstreemum, siis tema graafikule punktis (a, f (a)) võetud puutuja on paralleelne x-teljega (selgitada!)z. Rõhutame, et tegemist on vaid tarviliku, üld- juhul mitte piisava tingimusega, lihtsaks kontranäiteks on funktsioon y = x3 (kontrollida!)z. Lause 4.10 (Rolle’i teoreem). Olgu f lõigus [a, b] pidev funktsioon, mis vahemikus (a, b) on diferentseeruv. Kui f (a) = f (b), siis leidub selline c ∈ (a, b), et f ′ (c) = 0. Tõestus
annaabi.ee 
