funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus on piirprotsessis kõrgemat järku lõpmata väike võrreldes suurusega , sest ning sellest saab järeldada, et ja st, et Lause 2. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja on konstant, siis selles punktis on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x), ja täiendaval eeldusel ka f(x)/g(x), kusjuures Tõesta neid. Kerge. 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised
df∗g−f ∗dg g2 � ��=�(��−1�) ���=�(�)(�)(��)� Kui funktsioon �=�(�) on esitatud parameetrilisel kujul { X=φ(t) Y =ψ (t) (α ≤ t ≤ β), kusjuures funktsioonid �(�)�� � (�) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja �(�) on lõigul [α, β] rangelt monotoonne ning �̇(�)≠0 (�∈(�,�)), siis �’ = dy y ̇ dx = x (α < t < β), täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. d Ilmutamata funktsiooni tuletis: F(x, f(x))=0 → dx F(x, f(x))=0 Rolle’i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja
skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon z = z(x; y) on diferentseeruv punktis (x(P); y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P); y(P)) = z(u; v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu; zv = zxxv + zyyv (Tõestus järgmisel lehel…) 8
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame kolmandana saame aga, et 2).*Korrutise tuletise valemi tuletus: f(x) f'(x); f'(x): ning g'(x)= siis *Jagatise tuletise valemi tuletus:
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2)
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta
= 1 =f[(t)]'(t) '(x) = [asendades pöördfunktsiooni kaudu] = f[(t)]'(t) ' (t ) = f[(t)] = [asendades tagasi muutuja x'i seosest x=(t)] = f(x) M.O.T.T. OSITI INTEGREERIMINE MÄÄRAMATA INTEGRAALIS Meil on kaks funktsiooni: u ja v, mõlemad funktsioonid on diferentseeruvad ja mõlemad on argumendi x funktsioonid. Tihti tuleb ette olukordi, kus tuleb integreerida kahe funktsiooni korrutist: uv . Kuna integreerimisel tuleb alati avaldada ka diferentsiaal, siis alguseks teemegi seda: Kuna diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu korrutis, siis analoogselt korrutise tuletise valemi järgi (uv)´ = u'v + uv' on korrutise diferentsiaal: d(uv) = duv + udv vahetame integraali kujunduse huvides tegurite du ja v omavahelise järjekorra ja saame: d(uv) = v du + udv
Saab näidata, et 𝑑𝑛 𝑦 = 𝑓 (𝑛) (𝑥)(𝑑𝑥)𝑛 4. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 𝑋 = 𝜑(𝑡) Kui funktsioon 𝑦 = 𝑓(𝑥) on esitatud parameetrilisel kujul { (𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽), kusjuures 𝑌 = 𝜓(𝑡) funktsioonid 𝜑(𝑡)𝑗𝑎 𝜓(𝑡) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja 𝜑(𝑡) on lõigul [α, β] rangelt 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑦̇ 𝜓̇(𝑡) monotoonne ning 𝜑̇ (𝑡) ≠ 0 (𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽)), siis 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑥̇ = 𝜑̇(𝑡) (𝛼 < 𝑡 < 𝛽), täpiga
1 y = ex y' = e x y = tan x y' = 1 cos 2 x y = log a x y' = 1 x ln a y = cot x y' = - 2 sin x y = ln x 1 y '= 3 x Tagasi Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Teoreem Kui funktsioonid f ja g on diferentseeruvad punktis x0, siis ka f f + g, f - g, f g, (kui g ( x0 ) 0) g on diferentseeruvad selles punktis ja ( f + g )( x0 ) = f ( x0 ) + g ( x0 ) ( f - g )( x0 )= f ( x0 )- g ( x0 ) ( fg )( x0 )= f ( x0 ) g ( x0 )+ f ( x0 ) g ( x0 ) (cf )( x0 ) = c f ( x0 ), c = const f f ( x0 ) g ( x0 ) - f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ( x ) = 2 g g ( x0 )
Kui funktsioonil z = f (x; y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis P(x; y), siis funktsioon z=f(x; y) on diferentseeruv selles punktis. Kui funktsioon z = f (x; y) on diferentseeruv punktis P(x; y), siis funktsioon f on pidev selles punktis. Suurust df := fx (x; y)dx + fy (x; y)dy; kus dx := x ja dy := y, nimetatakse funktsiooni f (x; y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d2f=d(df) nim teist järku täisdif. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1;...... ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);.... ; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); ...; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; ... ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);.....; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); ... ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul
1. Mida on vaja organismi normaalseks toimimiseks? Rakkude pidevat koostööd. 2. Mis tähtsus on tüvirakkudel? Kiire paljunemine, diferentseeruvad erinevate kudede rakkudeks. 3. Mis on kude? Ühesuguse ehituse, talitluse ja päritoluga rakkude rühm koos vaheainega. 4. Paiguta antud mõisted õigesse kohta. Tõrvirakud, silelihaskude, magu, näärmeepiteel, silelihase rakk, närvikude, epiteelrakk, närvirakk. Rakk- tüvirakud, silelihase rakk, epiteelrakk, närvirakk Kude- näärmeepiteel, silelihaskude, närvikude Elund- magu Elundkond- seedeelundkond 5. Mis on homöostaas, kuidas toimub regulatsioon?
tsentrioolide vahele tekivad kääviniidid,mis osalevad kromosoomide jaotamises.tuumamembraanid lagunevad. Metafaas-kromosoomid raku keskele ja 1 tasapinnale.moodustub raku ekvatoriaaltasand.max. kromosoomide keerd. Kääviniidid kinnituvad kromosoomide tsentromeeridele. Anafaas-lühenevad kääviniidid, kromatiidid eralduvad teineteisest.tsentromeer kahestub.telofaas-kääviniidid kaovad, sünteesitakse tuumamembraan.krom. keerduvad lahti ja tekivad tuumakesed ja tsütokinees.interfaasis rakud diferentseeruvad. Rakkude jagunemise viisi, kus kromosoomide arv tütarrakkudes väheneb 2 korda nim. Meioos. Meioosi kromosoomistik on haploidne. (diploidne). Keharakk somaatiline rakk. Sugurakk gameet. Meioos sugurakkude küpsemine ja eoste moodust. Meioosi algus sama mis mitoos aga toimub kromosoomide ristsiire ja geenivahetus. 1.jagunemine krom 2 korda vähenenud.interfaas lühike. Profaas tsentrioolide paarid raku poolustele. Metafaas-kromosoomid ekv. Tasandile ja kääviniidid tsentromeeridele. Anafaas-
MITOOS- Päristuumsete rakkude jagunemise viis, kromosoomide arv tütarrakkudes püsib sama. Diploidsed rakud, kus on 2n-46 kromosoomi. rakutsükkel- raku eluring ühe mitoosi lõpust järgmise mitoosi lõpuni Interfaas- toimub enne mitoosi! Organellide arv suureneb, toimub ATP süntees, tsentrioolid kahekordistuvad. Raku mõõtmed suurenevad. DNA kahekordistub. Kromosoomid on lahtikeerdunud- neid pole näha. Iga kromosoomi ehituses on interfaasi lõpus 2 DNA molekuli. Rakud diferentseeruvad (omandavad mingi vastava koe kuju, talitluse) Profaas- kromosoomid keerduvad kokku, rakutuum suureneb, tuumakesed kaovad. Tsentrioolipaarid liiguvad vastassuunas, rakk polariseerub. Tsentrioolide vahele moodustuvad kääviniidid. Tuumamembraanid lagunevad. Metafaas- kromosoomid liiguvad raku keskele, paigutuvad raku ekvatoriaaltasandile. Kromosoomid on max kokku keerdunud. Kääviniidid kinnituvad kromosoomide tsentromeeridele.
Eeldades, et funktsioon on diferentseeruv kohal x, veendume, et funktsiooni tuletis f' (x ) võrdub joonele y=f(x) punktis punktis P pandud puutuja tõusuga. T5. Rolle'i teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [a,b], diferentseeruv vahemikus ] a, b [ ja f(a) = f(b), siis on funktsioonil vahemikus ]a, b[ olemas statsionaarne punkt (st leidub punkt ]a, b [, nii et f' ( ) = 0). T6. Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid y=f(x ) ja y=g(x) on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus ]a, b[, kusjuures g' (x)0, siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b) f(a)]/[g (b ) - g (a)]=f '( )/g'( ). T7. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Erijuhul, kui g(x)=x, saame Cauchy teoreemist järgmise teoreemi: Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruv vahemikus ]a, b[ , siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b ) - f(a)]/(b a)=f'( ). T8
dy = dy dx 7. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis: Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetriliselt kusjuures funktsioonid φ(t) ja Ψ(t) on diferentseeruvad vahemikus (α,β) ja φ(t) on lõigul [α,β] rangelt monotoonne ning φ(t)≠0 (t∈(α,β)) , siis y´ = ψ´(t) φ´(t) 8.Ilmutamata kujul funktsiooni tuletis. Olgu funktsioon y = f(x) (x ∈ X) esitatud ilmutamata kujul F(x, y) = 0. Kui hulgal X muutuja x
siis leidub sellel lõigul vähemalt üks seesmine punkt x = c, a < c < b , milles tuletis f ( x ) on null, s.o. f ( c ) = 0 . Lagrange´i teoreem. Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks niisugune punkt x = c, a < c < b , et f ( b ) - f ( a ) = f ( c ) ( b - a ) . Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ( x ) ja ( x ) on lõigul [ a, b] pidevad ja lõigu seesmistes punktides diferentseeruvad, kusjuures lõigu üheski seesmises punktis ( x ) ei muutu nulliks, f ( b ) - f ( a ) f ( c ) = siis leidub lõigu [ a, b] sees niisugune punkt x = c, a < c < b , et ( b ) - ( a ) ( c ) 0 5
Rakud - biopolümeeridest ehitatud isepaljunevad, diferentseeruvad ja erifunktsioone täitvad mikroskoopilised mullreaktorid Prokarüootsed rakud bakterid - 1µm Eukarüootne rakk - >10µm Mullreaktor rakus toimuvad reaktsioonid, rakk on reaktor, rakus toimub ainevahetus, metabolism Madalamolekulaasete ainete metabolismi põhiblokid - nende nimed - glükolüüs, Krebsi tsükkel, hingamisahel, pentoosfosfaaditsükkel,Madalamolekulaarsete ainete metabolismi põhiülesanded: tagada erinevatest substraatidest põhimonomeeride süntees, tagadarakuprotsesside
Rakud - biopolümeeridest ehitatud isepaljunevad, diferentseeruvad ja erifunktsioone täitvad mikroskoopilised mullreaktorid Prokarüootsed rakud bakterid - 1µm Eukarüootne rakk - >10µm Mullreaktor rakus toimuvad reaktsioonid, rakk on reaktor, rakus toimub ainevahetus, metabolism Madalamolekulaasete ainete metabolismi põhiblokid - nende nimed - glükolüüs, Krebsi tsükkel, hingamisahel, pentoosfosfaaditsükkel,Madalamolekulaarsete ainete metabolismi põhiülesanded: tagada erinevatest substraatidest põhimonomeeride süntees, tagadarakuprotsesside
Meristeempaljundus. Üks taimede vegetatiivse paljundamise ehk kloonimise meetoditest. -Taimede uudne, tehnoloogiliselt keerukas kloonimis viis. Totipotentsus. ,,kõikvõimelised" . Tänu totipotentsusele on paljudel taimedel võime kasvada pistokstest ja isegi väikestest koetükkidest terviklikuks taimeks. Embrüosiirdamine. Viljastatud munaraku viimine organismi (naine, veis) emakasse. Inimese kunstlik viljastamine. Kui koed diferentseeruvad juba, siis enam ei saa viia emakasse. Embrüo saab katseklaasis olla 2-5paeva ja areneb naise organismis. Kloonimine, kloon. Geneetiliselt identse järglaskonna saamist paljundatavast üksikobjektist, olgu selleks DNA molekul, rakk või organism. Saadud järglaskond moodustab klooni. Tüvirakud (lõigustusrakud, embrüonaalsed tüvirakud, täiskasvanu tüvirakud. Tüvirakud-diferentseerumata algrakud, millest on võimalik kasvatada kudesid,elundeid ja organisme
0
1). (Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline summa tuletis on tuletiste summa). Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) < f (x) < f (x2). punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0,
x(0,...,0) Suurust df=f(x,y)/x dx+f(x,y)/y dy, kus dx=x ja dy=y, nim funkts-i f(x,y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d(df) nimetatakse funktsiooni f(x; y) teist järku täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d2f Funktsiooni f(x; y) n-järku täisdiferentsiaal defineeritakse kui esimest järku täisdiferentsiaal n-1-järku täisdiferentsiaalist, s.t dnf=d(dn-1f) Liitfunktsiooni osatuletised: Olgu g1(x1,...xm) ,...,gn(x1,...,xm) m- muutuja funkts-id punkti ARm mingis ümbruses U ja diferentseeruvad punktis A. Lisaks eeldame, et n-muutuja funkts f(y1,...,yn) on diferentseeruv punktis P(g1(A),...,gn(A)). Liitfunktsioon h(x1,...,xm)=f(g1(x1,...,xm),...,gn(x1,...,xm) on diferentseeruv punktis A, kusjuures h/xi(A)= f/y1(P) g1/x1(A)+...+ f/xyn(P) gn/x1(A), 1im Ilmutamat funktsiooni osatuletised:Olgu funktsioon y(x) antud ilmutamata võrrandiga F (x; y) = 0 ja P (x; y) olgu selle joone punkt. Kui F on diferentseeruv punktis P ja F/y(P ) 0, F ( P)
Imetajate soo määrab Y-kromosoom, täpsemalt üks geen selles: Sry alias testis- determining factor (TDF). Transkriptsioonifaktor. Y kromosoom unikaalne. pärandub ainult isasliini pidi. Piiratud krossingover X-kromosoomiga. Sry: SOX (SRY-like box) perekonda kuuluv transkriptsioonifaktor. Avaldub embrüo gonaadialgme Sertoli rakkudes. Sry transgeen → XX isas-fenotüüp. Sry mutatsioonid → XY emas-fenotüüp. Sry avaldub XY-gonaadi mõnedes somaatilistes rakkudes mis diferentseeruvad Sertoli rakkudeks. Need määravad sugupoole. Sry indutseerib Sertoli rakkudes teise transkriptsioonifaktori – Sox9. Sox9 – peamine Sry- indutseeritud geen soo määramisel. Sry-Sox9 ahel käivitab Sertoli rakkudes geene mis suruvad aktiivselt maha emas-tunnused ja indutseerivad isas- tunnuseid. Maskuliniseerimine.Varased embrüod – hermafrodiidid. Nii Wolffi (meeste) kui ka Mülleri (naise) juhad. Hiljem üks või teine degenereerub.
See toimub ribosoomis olevate ensüümide kaasaabil. Moodustunud kahest aminohappest koosnev ühend vabaneb initsiaator-tRNAst ja jääb viimasena ribosoomi sisenendu tRNA molekuli külge. Initsiaator-tRNA väljub ribosoomist. 12)mis on polüsoom(140) Ühe mRNA molekuliga seotud ribosoomide kogum, mis sünteesivad sama aminohappelise järjestusega valke 13)valgussünteesi tähtsus? Oma arengu käigus rakud kasvavad, diferentseeruvad, vananevad ja surevad. Kõigi nnde protsesside jooksul muutub rakkude vajadus sünteesitavate valkude järele. Koos sellega muutub ka geenide avaldumine: ühtedelt geenidelt mRNA transkriptsioon lõpetatakse, teistelt alustatakse või muudetakse transkriptsiooni kiirust. Seega on transkriptsioon valgusünteesi esimene regulatsioonitasand.
2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks . Kui see polünoom on reaalsete kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0 m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend.
kõhrkoest primordiaalse skeleti asendumisel luukoega · Kõhre asendumine luukoega toimub kahel viisil: kõhre pinnal e. perikondraalselt ja kõhre sees e. en(do)kondraalselt Kondraalne ossifikatsioon 2 · Diafüüsi ümber tekib perikondraalne luumansett · Kõhre toitumine häirub, põhiaine kaltsifitseerub - luustumistuum e. ossifikatsioonitsenter · Mesenhümaalne kude tungib periostaalpungana läbi luumanseti · Mesenhümaalsed rakud diferentseeruvad osteoblastideks ja algab enkondraalne ossifikatsioon · Diafüüsi tekib üdiõõs, mis täitub primaarse luuüdiga Kondraalne ossifikatsioon 3 · Luustumine laieneb pidevalt epifüüside suunas · Luustumispiirkonna naabruses on kõhrkude muutunud hüpertrofeerunud, sammasteks reastunud kõhrerakude tsoon intensiivselt jagunevate kõhrerakkude tsoon · Luustumistuumad epifüüsis · Epifüüsiplaat Epifüüsiplaat · E
funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks. Hulka U(P) = {Q Rn|d(P,Q) < } nimetatakse punkti P Rn -ümbruseks. Arvu c nimetatakse funktsiooni u = f(x1,..
piirkonda, kus verevarustus ei ole piisav, hakkab toimuma endokondraalne ossifikatsioon. Endokondraalne ossifikatsioon Murrupiirkonna hüpoksilised tingimused võimaldavad ainult kõhrkoe kasvu ja seega endokondraalset ossifikatsiooni. Kondrotsüütide vahele kasvavad uued veresooned. Mõne aja pärast kondrotsüüdid hüpertrofeeruvad ning kaltsifitseeruvad. Uued veresooned võimaldavad mesenhümaalsete tüvirakkude ja monotsüütide migratsiooni. Monotsüüdid diferentseeruvad osteoklast-sarnasteks rakkudeks, mis resorbeeruvad mineraliseeritud kõhrkoe. Mesenhümaalsetest tüvirakkudest tekivad aga osteoblastid, mis omakorda täidavad resorptsioonilakuunid luukoega. Selleks, et luu saaks täielikult paraneda, peab tagama adekvaatset verevarustust ning piisavat stabiilsust. Kui need tingimused pole täidetud võib tekkida ebaliiges. Ebaliiges ehk pseudoartros on luumurrujärgne seisund, mille puhul luufragmendid ei ole
lim max 0 =1(1 1 ( ) + 2 2 ( )) = 3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) *Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad funktsiooni hulgal X ja eksisteerib määramata 2 lim =1 1 ( ) + 2 lim 2 ( ) =
9. Mesoderm Nimetage mesodermi liigid ning põhilised koe- ja organialged, mis nendest arenevad Kordamesoderm ja tema roll selgroogsete arengus Mis on paraksiaalne mesoderm? Somiitide areng ja derivaadid Selgroo moodustumine Skeletiluude erinevad eellased Kehalihaste päritolu ja üldine areng Urogenitaalsüsteemi päritolu ja neerutüüpide vaheldumine embrüogeneesis Mis on kardiogeenne mesoderm? Missugused rakuliigid diferentseeruvad kardiogeensetest eelasrakkudest? Südame neuraalhari ja tema derivaadid Nimeta südame morfogeneesi põhi etapid Toruja südame teke ja cardia bifida Iseloomustage neljanädalase inimembrüo vereringet? Missuguseks muutub südameosade järjekord lingustumisel piki välimist ja sisemist südamekõverust? Missugused südame arengudefektid on iseloomulikud Fallot' tetraloogiale? Millised suured veresooned tekivad lõpusekaare arteritest?
T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Vähimat positiivset arvu T , mille korral f(x + T) = f(x) ∀x ∈ X, Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x jareldub selle nimetatakse funktsiooni f(x) perioodiks. antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral. funktsiooni pidevus punktis x, st f(x) ∈ D(x) ⇒ f(x) ∈ C(x). Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f ^ −1(y), mis igale Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja c ∈ R on konstant, siis selles punktis arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x), st y f (−1→) x ⇔ x (f→) y. on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x), f(x) + g(x), f(x)g(x) ja taiendaval eeldusel g(x) =/= 0 ka Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on f(x)/g(x), kusjuures mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon)
..,y0(n-1)є(-∞,∞),siis võrrandil(1) leidub parajasti üks lahend y=y(x),mis rahuldab tingimusi(2).Aditiivsuse tõestus:L(y1+y2)=p0(x)(y1+y2)(n)+p1(x)(y1+y2)(n-1)+..+pn(x) (y1+y2)=p0(x)(y1 +y2 )+p1(x)(y1 +y2 )+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)y1(n)+p1(x)y1(n-1) +..+pn(x)y1+p0(x)y2(n)+p1(x)y2(n- (n) (n) (n-1) (n-1) 1) +..+pn(x)y2=Ly1+Ly2. Lahendite vahelised seosed-seame igale vahemikus (a;b) n-korda pidevalt diferentseeruvad fn y=y(x) vastavusse fn Ly järgmisse eeskirja. Siis saame lineaarse DV p 0(x)y(n)+p1(x)y(n-1)+... +pny=f(x) lühidalt kirjutada Ly=f (1) ning vastav homogeenne võrrand on siis kujul Ly=0 (1 h) Omadus1:Kui y1,y2,...,yn on võrrandi(1h) lahendid,siis on ka y=C 1y1+C2y2+...+Cnyn võrrandi(1h) lahend.Tõestuseks on vaja näidata,et kui Ly1≡0,...,Lyn≡0,siis L(C1y1+...+ Cnyn)≡0. L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C2y2)+...+L(Cnyn)= C1Ly1+C2Ly2+...+ CnLyn=C10+...+Cn0=0. Omadus2:Kui y1,y2,..
Tõestus. Kui funktsioon x = (t) (rangelt monotoonne), siis . Lause3 (muutujate vahetus määramata integraaliks). Kui funktsioon x = ( t ) on rangelt monotoonne hulgal T, kusjuures ( T ) = X ja ( t ) D ( t ), siis . Lause4 Lause 3 eeldustel peab paika algoritm, mis kannab diferentsiaali märgi alla viimise võtte nime. Tõestuseks piisab seosest muutuja t asendamist muutujaga x. Lause5 Ositi integreerimine. Olgu u(x) ja v(x) diferentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna (uv)' = u'v + v'u, siis uv'=(uv)' u'v. eeldusel, et eksisteerib , on võimalik võtta viimase seose mõlemast määramata integraal. Et , siis eksisteerib ka ja saame tulemuseks , kusjuures suvalise konstandi C võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise konstandi summa on suvaline konstant. Kuna dv = v'dx ja du = u'dx, siis eelnev seos on esitatav kujul . Polünoomid P(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ... + b
muudab ka emased homoseksuaalseteks 254. Viljatusgeenid: mutatsioonid fru-geenis põhjustavad mõningaid mutusi kärbeste kesknärvisüsteemi arengus, mille tulemusel muutuvad vastavad kärbsed isaslembelisteks, puudub huvi emaste vastu 255. Hermafrodiitsus: individiit, kellel on nii emas- kui isassuguorgaid, põhjustab HER-1 valgu kui signaalmolekli sünteesi puudumine 256. Sümmeetriatelgi määravad geenid: Selgmise-kõhtmise teljestiku geneetiline määramine: oogeneesi ajal diferentseeruvad folliikulid dorsaalseteks ja ventraalseteks, ventraalsetes folliikulites geeni dorsal poolt kodeeritud transkriptsioonifaktor siseneb embrüo kõhtmisele küljele (moodustub gradient), Spätzle-valk on kõikjal muna tsütoplasmas. Easter-proteaas muudab spätzle- valgu aktiivseks polüpeptiidiks, mis interakteerub embrüo plasmamembraanil ühtlaselt asetseva Toll-retseptorvalguga,
gonaadid lahknevad ühisest eellasest - bipotentsiaalsest gonaadist. Isasgonaadi e. testiste areng (tulevaste sugurakkude paiknemine gonaadi alges, Sertoli ja Leydigi rakkude diferentseerumine, AMH, testosteroon) Inimestel on Y-kromosoomi lühikeses õlas Sry-geen, mis vastutab testise formatsiooni eest. Sox9 geen indutseerib testise arengut. Esmased sugurakud migreeruvad gonaadidesse 6.arengunädala jooksul. Kui organism on XY fenotüübiga, siis 8.arengunädalal diferentseeruvad somaatilised rakud gonaadides Sertoli rakkudeks. 8.arengunädala jooksul arenevad Sertoli rakud ümbritsevad gonaadidesse saabuvad sugurakud ning organiseerivad endid testise juhadeks. Sertoli rakud toodavad AMFi (surub alla Mülleri juha arengu) ning hiljem toetab spermi arengut (spermatogenees). Loote arengu jooksul interstitsiaalne mesenhüüm (testises) diferentseerub Leydigi rakkudeks, mis toodavad testosterooni. AMF (anti-Mülleri faktor) põhjustab Mülleri
täidavad koed samaaegselt mitut ülesannet. Sageli muutuvad kudede funktsioonid taime ontogeneesi käigus. Algkoed ehk meristeemid Tipmine meristeem Külgmine meristeem e kambium Vahemeristeem Haavameristeem e kallus Algkude koosneb pidevalt jagunevatest, piiramatu jagunemisvõimega initsiaalrakkudest Histogenees - initsiaalrakkudest püsikudede moodustumine Organogenees - uute organite teke diferentseerumata algkoest ehk meristeemist Osad pooldunud algkoe rakud jäävad meristeemi, osad diferentseeruvad teisteks kudedeks Rakud on väikesed ja õhukese kestaga, asuvad tihedasti üksteise kõrval · Tipmine meristeem pungades, varte ja juurte tipus, paiknevad kasvukuhikutena, mille ümber on lehealged (pikkuskasv) · Külgmine meristeem e kambium varte ja juurte jämenemine, ühes suunas moodustuvad puidu, teises suunas niine rakud, nn teiskasv (aastarõngaste teke) · Vahemeristeem kõrreliste kõrresõlmedes (pikkuskasv)
eksisteerib ka integraal (f(x)+g(x))dx, kus (f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx * Olgu f(x)dx=F(x)+C, x=(t)(tT), kus (T)=X, D(T) ja (t) on rangelt monotoonne hulgal T. (t) rangest monotoonsusest järeldub pöördfunktsiooni t=-1(x) olemasolu E * Muutujate vahetus. Kui f x=(t) on rangelt monotoonne hulgal T, kus (T)=X ja (t)D(T), siis f(x)dx=f((t))'(t)dt * Diferentsiaali märgi alla viimine. f(x)dx=F(x)+C f((x))d(x)=F((x))+C * Ositi integreerimine. Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad f'id hulgal X ja eksisteerib määramata integraal uv'dx, siis eksisteerib ka määramata integraal udv=uv-vdu * Iga nullist erinev täisarv n on esitatav algarvude p astmete korrutisena n=(-1) (n)p1v1pkvk * Iga kahe täisarvu a ja b>0 korral leiduvad täisarvud q ja r, et a=qb+r, kus 0<=r
Selline tähistus y' on pärit prantsuse matemaatikult Lagrange'ilt, kasutatakse ka pikemat tähistust , dx dx viimast soovitas saksa matemaatik Leibniz. See esitusviis on küll ülevaatlikum, kuid lühiduse tõttu kasutame enamasti esimest tähistust. 13. Nimetage diferentseerimise reeglid seoses aritmeetilise tehetega. Olgu y=f(x) ja y=g(x) diferentseeruvad funktsioonid, siis ( )] ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )] ( ) 14
dx tuleitse Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda sümbolit vaadelda kui harilkku murdu. Null-järku diferentsiaali all mõeldakse funktsiooni ennast, s.o. d 0 y = f ( x ) . 15. Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid (Lagrange'i teoreem, selle geomeetriline tähendus, Cauchy teoreem) Cauchy teoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a, b ] ja diferentseeruvad vahemikus ( a, b ) , kusjuures funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus ( a, b ) , siis leidub vähemalt üks punkt ( a, b ) nii, et kehtib võrdus f ( b ) - f ( a ) f ( ) = g ( b ) - g ( a ) g ( ) Lagrange'i teoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b ] ja diferentseeruvad vahemikus ( a, b ) , siis leidub punkt ( a, b ) nii, et kehtib võrdus f ( b ) - f ( a ) = f ( ) ( b - a )
Mitoosis toimub vaid üks nn jagunemine, neljas faasis. Meioosis ehk sugurakkude valmimisel toimub kaks jagunemist, kokku kaheksa faasi. Meioosi ekvatsioonjagunemine järgneb reduktsioonjagunemisele. KÜSIMUS Paljunemine 8. Reastage sündmused õigesse ajalisse järjekorda: a) Toimub ovulatsioon; b) Rebenenud folliikulist tekib kollakeha; c) Moodustub blastotsüst; d) Munajuhas algab sügoodi jagunemine; e) Ovogoonist tekivad muuhulgas ka kolm polotsüüti; f) Rakud diferentseeruvad; g) Embrüo kinnitub emakaseinale; h) Moodustub platsenta; Kommentaar Paljunemine 8. (e a b d c g h f ) Ovogoonist tekivad muuhulgas ka kolm polotsüüti (e) Rebenenud folliikulist tekib kollakeha (b) Toimub ovulatsioon (a) Munajuhas algab sügoodi jagunemine (d) Moodustub blastotsüst (c) Embrüo kinnitub emakaseinale (g) Moodustub platsenta (h) Rakud diferentseeruvad (f) KÜSIMUS Paljunemine 9. Reastage sündmused õigesse ajalisse järjekorda:
läbiva lõikaja piirseis protsessis x → a, • tuletis f′ (a) on võrdne puutuja tõusuga, s.t. tõusunurga tangensiga. 23. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid (*) Teada funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletiste valemeid. (f ± g)′ (a) = f′ (a) ± g′ (a) (fg)′ (a) = f (a) g′ (a) + f′ (a) g (a) Tõestada summa ja korrutise valemid (laused 5.2 ja 5.4). Summa tõestus: Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a ∈ D diferentseeruvad, siis ka funktsioonid f + g ja f − g on selles punktis diferentseeruvad ning (f ± g)′ (a) = f′ (a) ± g′ (a) Eeldame, et mõlemad funktsioonid f ja g on punktis a diferentseeruvad, s.t. eksisteerivad lõplikud piirväärtused Suvalise arvust a erineva argumendi väärtuse x korral moodustame avaldise piirprotsessis x → a saame, et Korrutise tõestus: Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a ∈ D diferentseeruvad, siis ka
nende laialihajumisele. Rakkude eraldumist põhjustavad välised häiringud nagu näiteks voolukiiruse suurenemine või biofilmi sisemised protsessid nagu näiteks endogeenne ensümaatiline degradatsioon ja EPS'de eraldumine. Eristatakse kolme biofilmi hajumise strateegiat: 1. swarming/seeding üksikud rakud eralduvad mikrokolooniast. Sellist strateegiat on kirjeldatud Pseudomonas aeruginosa'l. Peale esialgset biofilmi kasvu mikrokolooniad diferentseeruvad välimiseks ,,seinaks" ja sisemine regioon muutub vedelaks. Sisemine vedel regioon võimaldab liikuvatel rakkudel mikrokolooniast välja ,,ujuda", jättes selle seest õõnsaks. 2. clumping rakkude agregaadid eralduvad klombina. Agregaadid koosnevad EPS'ga ümbritsetud biofilmi rakkudest. Sellist strateegiat kasutab inimese patogeen Staphylococcus aureus. 3. surface biofilmi struktuurid liiguvad mööda pinda. Laboratoorselt on uuritud P
Saimegi, et on täidetud pidevuse tingimus ∆ x→ 0 Järelikult nendes punktides kus funktsioon ei ole diferentseeruv, funktsioon katkeb. Näitame ühe näite najal, et funktsiooni pidevusest ei järeldu alati tema diferentseerumine. Võtame y=√3 x ja näitame, et tal puudub tuletis, kui x 0=0. Kui x0=0, siis y=√3 x on pidev küll. Joonis 13. Liitfunktsiooni tuletis Olgu y=f(u) ja u=g(x) diferentseeruvad funkt.-d vastaval kohtadel u=g(x) ja x. Näitame, et sel juhul liitfunktsiooni F(x)=f(g(x)) tuletis järgmine: F´(x)= fu´(u) *gx´(x) Joonis 14. Kuna funkt. u=g(x) on diferentseeruv, järeldub, et ∆u→0 Saame ∆y ∆u F ´ (x )= lim ∗ lim =f ´ u (u)∗g ´ x ( x ) ∆u→0 ∆ u ∆ x→ 0 ∆ x m.o.t.t Logaritmi omadusi lna b=blna ln ( ab )=lna+lnb a ln =lna−lnb b
Rolle'i teoreem kui funktsiooni f (x) on pidev lõigul [a;b] ja diferentseeruv vahemikus (a;b) ning f (a) = f (b), siis vahemikus (a; b) leidub selline c, et f' (c) = 0, st f(x) C[a;b] D (a; b) ^ f (a) = f (b) c (a; b) : f' (c) = 0. Cauchy keskväärtusteoreem kui funktsioonid (x) ja (x) on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures '2 (x) + '2 (x) 0 ning vahemikus (b) (a), siis leidub vahemikus (a; b) selline punkt c, et [ (b) (a)] / [ (b) (a)] = ' (c)/ ' (c). Langrange'i keskväärtusteoreem kui funktsioon f (x) on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis
x korral: y + y = (u + u) + (v + v) + (w + w), kus u , v , w , y on funktsioonide y, u, v, w muudud, mis vastavad argumendi x muudule x. Järelikult y = u + v + w, y' = lim(xx0) ehk y' = u'(x) + v' (x) + w' (x) m.o.t.t. Näide 1: 5. Tuletada parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimise reegel. Olgu argumendi x funktsioon y antud parameetriliste võrranditega t0 t T (1) Eeldame, et funktsioonid x(t) ja y(t) on diferentseeruvad ja et funktsioonil x = x(t) on olemas pöördfunktsioon t = X (x), mis on samuti diferentseeruv. Parameetriliste võrranditega määratud funktsiooni y = f(x) võib siis vaadelda liitfunktsioonina y= y(t), t=X(x), kus t on vahelmine argument. Liitfunktsiooni diferentseerimise eeskirja järgi: y' x = y't t'x = y't ( t ) X'x(x) (2) Pöördfunktsiooni diferentseerimise eeskirja järgi Asetades viimase avaldise võrdusesse, saame
Kasvu ja arengu mõiste. Absoluutne ja suhteline juurdekasv. Arengu all mõistetakse organismi diferentseerumist ja kujunemist lihtsamatelt keerukamate struktuuride ja funktsioonide suunas. Seega on areng organismi kvalitatiivne ümberkujunemine. Diferentseeruminse all tuleb mõista organismi morfoloogiliste,füsioloogiliste ja biokeemiliste erinevuste teket arenguprotsessis. Arengu käigus rakud, koed ja organid diferentseeruvad ning neil tekivad uude funkt-id. Arengu intensiivsus on ontogeneesi erinevatel perioodidel väga erinev. Kasv on looma organismi kvantitatiivne muutumine, mis avaldub massi, kudede ja organite suurenemises. Selle aluskes on rakkude pidev pooldumine ja rakkudevahelise massi suurenemine. Kasvu määratakse organismi massi ja mahu mõõtmete järgi. Kasvukiirus: absoluutne juurdek(on looma kehamassi mõõtmete suurenemine mingis ajaühikus) ja suhteline juurdek(näitab mingi
telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x-teljega. Teisel juhul on graafikul kaks punkti c ja c. (JOONIS 3.7) c. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem Sõnastus: Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a,b] pidevad, vahemikus (a,b) diferentseeruvad ja iga x(a,b) korral kehtib võrratus g'(x)0, siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus: Seega F(a)=F(b). d. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus: Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. e. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu
(M.O.T.T) Lagrange'i keskvaartusteoreem: Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, 4. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. b), siis leidub punkt c (a, b), et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad loigul [a, b] ja diferentseeruvad liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures Tõestus: Tähistame u=f(x). Siis y=g(u). Kui vahemikus (a, b), kusjuures g'(x) =/= 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et u0, siis g pidevuse tõttu y=0 ning seega Kuna u0, siis g diferentseeruvuse tõttu on tõkestatud. Seega valem kehtib
Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a,f(a)) ja B = (b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel. Teoreem v¨aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ja g on l~oigul [a,b] pidevad, vahemikus (a,b) diferentseeruvad ja iga x (a,b) korral kehtib v~orratus g'(x) 0, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f(b) - f(a) /g(b) - g(a)=f'(c)/ g'(c) T~oestus. Defineerime j¨argmise funktsiooni: Arvutame: F(a) = f(a) (f(b)-f(a)/ g(b)-g(a))* (g(a) - g(a)) = f(a), F(b) = f(b) - f(b)-f(a)/ g(b)-g(a) *(g(b) - g(a)) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a). Seega F(a) = F(b). ¨Uhtlasi on F(x) pidev l~oigul [a,b] ja diferentseeruv va- hemikus (a,b). J¨arelikult rahuldab F(x) Rolle'i teoreemi eeldusi
x 0 2 2 17MOTT 20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. 0 Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on diferentseeruvad punktis x0 , siis ka f f + g, f - g, f * g, g (kui g(x0) 0) 1 on diferentseeruvad selles punktis ja ( f + g )' ( x0 ) = f ' ( x0 ) + g ' ( x0 ); ( f - g )' ( x0 ) = f ' ( x0 ) - g ' ( x0 ); 2 ( f * g )' ( x0 ) = f ' ( x0 ) * g ( x0 ) + f ( x0 ) * g ' ( x0 ); '
annaabi.ee 
