y' x = x' y Kasutame pöördfunktsiooni fifferentseerimise reeglit: 1 1 1 1 y ' x = (arctan x )' = = = = = ( arctan x ) ' x' y ( tan y ) ' y 1 + tan y 1 + x 2 2 8. Defineerida diferentseeruva funktsiooni diferentsiaal dy . Esitada funktsiooni muudu ja diferentsiaali vaheline seos. Diferentseeruva funktsiooni f(x) muudu y pea osa f ( x) * x nimetatakse funktsiooni diferntsiaaliks ja tähistatakse dy definitsioon: dy = f ' ( x) * x Esitan funktsiooni muudu ja diferentsiaali vahelise seose. Kui y = f (x) on liitfunktsioon ,kus x = g (t ) , siis dy = f ' ( x) * x't *dt = f ' ( x ) * dx st
Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) f(x) f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Fermat' teoreem väidab, et Kui F-il f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum ja see f f(x) on diferentseeruv selles punktis, siis f-i tuletis punktis a=0 e f'(a)=0 Punkti a nim diferentseeruva f-i statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 Punkti a nim f-i kriitiliseks punktiks ,kui a on statsionaare punkt või punktis a ei leidu f-il tuletist Kui punkt a on f-i statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f-il on punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f''(a)0--lok max, f''(a)0--lok min Rolle'i teoreem. Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f'(c) = 0. Cauchy teoreem
funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel; pöördfunktsioon, selle määramis- ja muutumispiirkonna leidmine ning graafiku skitseerimine. Valemid Võrdeline sõltuvus y = ax a Pöördvõrdeline sõltuvus y x Diferentseeruva funktsiooni uurimine Nullkohtade hulk X0 : f x 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine Positiivsuspiirkond X : f x 0 Negatiivsuspiirkond X : f x 0 Kasvamisvahemikud X : f x 0 Kahanemisvahemikud X : f x 0 Maksimumkoht Kui f x 1 0 ja f x 1 0 , siis x1 on maksimumkoht
3), neist saame, et ehk Kuna koosinusfunktsioon on pidev kohal a = 0, siis ning lause 3.6 kohaselt 4.3 - Seosega määratud funktsioon f : D → R, kus D := (−1, 0)∪(0,∞) , on esitatav funktsioonide u = (1 + x)1/x ja y = ln u liitfunktsioonina. Kuna (s.t. kui x → 0, siis u → e) ja logaritmfunktsioon on pidev kohal e (s.t. siis 21. Tuletis ja diferentseeruvus. Diferentseeruva funkstiooni pidevus (*) Defineerida funktsiooni tuletis ja diferentseeruvus antud punktis. Funktsiooni f tuletiseks intervalli D punktis a nimetatakse (lõplikku või lõpmatut) piirväärtust (5.1) kui see eksisteerib. Kui piirväärtus (5.1) on lõplik (s.t. f′ (a) ∈ R), siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv punktis a ∈ D (ütleme ka diferentseeruv kohal a). Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev:
lokaalne maksimum ja f'' (a) > 0 korral on punktis a range lokaalne miinimum. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < | x| < y 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline arv > 0, et 0 < | x| < y 0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f' (a) = 0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. 12. Kõrgemat järku tuletised ja nende rakendused, joone kumerus ja nõgusus, käänupunktid. o Funktsiooni y = f (x) n- järku tuletiseks y(n) nimetatakse y(n 1) tuletist:
Täistuletise mõiste. 11. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. 13. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte
Pidevuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik)
* Punktis a nimetatakse diferentseeruva f'ni f(x) statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 * Punktis a nimetatakse f'ni f(x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a puudub sel funktsioonil tuletis * Kui punkt a on f'ni f(x) statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f'il f(x) on punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f''(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f''(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum * Kui f'ni f(x) korral f'(a)=...=f(m)(a)=0 ja f(m+1)(a)0 ning f(m+1)(x) on pidev punkis a siis 1. Juhul kui m on paaritu, siis on f'il f punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f(m+1)(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f(m+1)(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum.2. Juhul kui m on paarisarv, siis ei ole f'il f punktis a lok ekstreemumi. * Eeldame, et f f(x) on pidev lõigul [a-,a+] ning diferentseeruv vahemikel (a-,a) ja (a,a-) suvalise >0 korral. 1. Kui f'(...
2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim x→ a x−a x→a ∆ x x→ 0 ∆ x 3. Sõnastada ja tõestada teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest. Kas suvaline pidev funktsioon on diferentseeruv? Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X. Jääb veel näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et lim x→ a
tuletised. funktsiooni tuletis kui funktsioonil leidub lõplik piirväärtus: siis seda nimetatakse funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonist vaadeldavas piirkonnas. Kohal x diferentseeruva funktsiooni f (ehk y = f(x)) diferentsiaaliks kohal x muudu x korral nimetatakse korrutist f'(x)x ja tähistatakse kujul df(x) või dy. või ka nt: funktsiooni y = sin x tuletis on y' = cos x ja seega selle funktsiooni diferentsiaal on dy = (cos x) ·x avaldada saab ka kujul: Kõrgemat järku tuletised Kui piirkonnas X diferentseeruva funktsiooni f tuletisfunktsioonil
graafikule. Öeldakse, et funktsiooni graafik on kumer hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis. Öeldakse, et punkt a on fun. graafiku käänupunkt , kui leidub selline δ>0, et fun.graafik on kumer hulgal (a‒δ,a) ja nõgus (a,a+δ) v vastupidi. Tarvilik.Kui f´´(x)∈C(a₋ δ,a+δ) ja punkt a on funktsiooni käänupunkt, siis f´´(a)=0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva fun statsionaarseks punktiks, kui f´(a)=0. Punkkti a nimetatakse funktsiooni kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a ei ole funktsiooni tuletist.
kusjuures a< x 0 , siis see funktsioon lõigul [ a, b] kasvab. 1) Kui funktsioon f ( x ) lõigul [ a, b] kahaneb, siis sellel lõigul f ( x ) 0 . 2) Kui f ( x ) < 0 vahemikus ( a, b ) , siis f ( x ) kahaneb lõigul [ a, b] . 8. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi definitsioonid. Funktsiooni ekstreemumi mõiste. Ekstreemumi olemasolu tarvilik tingimus tõestuseta. Kriitilise punkti mõiste. Ekstreemumi olemasolu piisavad tingimused koos joonisega (tõestuseta). Skeem diferentseeruva funktsiooni maksimumi ja miinimumi leidmiseks esimese tuletise abil. Funktsiooni maksimumi definitsioon. Funktsioonil f ( x ) on punktis x1 maksimum, kui funktsiooni f ( x ) väärtus punktis x1 on suurem tema väärtustest mingi seda punkti sisaldava vahemiku kõigis ülejäänud punktides. Ehk teisiti, funktsioonil f ( x ) on punktis x = x1 maksimum, kui f ( x1 + x ) < f ( x1 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul.
nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ...; xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas , kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas punktis. Lause Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev omamääramispiirkonna sisepunktides 5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. Kusjuures on kõrgemat järku lõpmata väike usurus võrreldes vektori(x, y) pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0) Kui funktsioonil z = f (x; y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis P(x; y), siis funktsioon z=f(x; y) on diferentseeruv selles punktis.
Funktsiooni y = f(x) nimetatakse mingis x väärtuste vahemikus kasvavaks, kui argumendi x kasvamisel selles vahemikus kasvavad ka vastavad y väärtused ja kahanevaks, kui x väärtuste kasvamisel selles vahemikus vastavad y väärtused kahanevad. 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb
Lahendades viimase võrratuse, saame - < x < 1 ja 3 < x < + , mis annabki kasvamispiirkonna. Lahendades võrratuse y < 0 , saame 1 < x < 3 . 1 y = x 3 - 2 x 2 + 3x - 2 Seega funktsioon 3 kasvab vahemikes - < x < 1 ja 3 < x < + ning kahaneb vahemikus 1 < x < 3 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb
Teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv mingis punktis x= x0, siis on ta selles punktis pidev. Tõepoolest, kui lim(xx0) = f ' ( x ), siis = f ' ( xo ) + , kus on suurus, mis läheneb nullile, kui . Kuid siis f ' ( xo ). Siit järeldub, et See omakorda tähendab, et funktsioon f(x) on punktis x0 pidev! Järeldus: Punktis x diferentseeruv ehk omab tuletist. Funktsiooni pidevus ja diferentseeruvus on seotud: Iga diferentseeruv funktsioon on pidev! E: V: 8. Defineerida diferentseeruva funktsiooni diferentsiaal dy. Esitada funktsiooni muudu ja diferentsiaali vaheline seos. Eeldame, et funktsioon on diferentseeruv : st et on olemas tuletis. On olemas lim(xx0) = f ' ( x ), kusjuures f'(x) on lõplik suurus. Funktsiooni muut on ( võib tõlgendada kui muutujate x ja y absoluutse vea ülemmäärasid ligikaudsel arvutamisel. Näide 1: y = x3 Avaldada , kui ja x on teada. ((3+x3 =( 3x2 ) + ( 3x2 + 3 )
N. y=x4 y'=4x3 f'(0)=0 ning f'(a)=0 on selle f-ni statsionaarne punkt. Kirjutan välja Taylori valemi koos jääkliikmega: , kuna f'(a)=0, siis . F''(a)0 ja on punktis a pidev. L1. Kui tegemist on statsionaarse punktiga, kus f'(a)=0, f''(a)0 ning f''(x) on pidev, siis punktis a on fuktsioonil lokaalne ekstreemum ja kui teine tuletis punktis a on rangelt positiivne siis punktis a lokaalne miinimum ja kui f''(a) on rangelt negatiivne siis on punktis a lokaalne maksimum. Def. 1. Punkti a nim diferentseeruva f-ni f(x) statsionaarseks punktiks kui f'(x)=0 Def. 2. Punkti a nim f-ni f(x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või a'l ei ole sel funktsioonil tuletist. L1. Kui punkt a on funktsiooni f(x) statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(x)0, siis funktsioonil f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum, kusjuures f''(a)<0 korral on punktis a lokaalne maksimum ja f''(x)>0 korral on punktis a lokaalne miinimum. Tõestus
<= f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a; b]. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y
Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne ekstreemum, kui funktsioonil f(x) on punktis x kas f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). lokaalne miinimum voi lokaalne maksimum. Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x range lokaalne ekstreemum, kui funktsioonil f(x) on punktis x kas range lokaalne miinimum voi range lokaalne maksimum. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f(x) statsionaarseks punktiks, kui f'(a) = 0. Punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt voi punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist 11. Cauchy keskväärtusteoreemi tõestus. Tarvilik tingimus: Funktsioonil y = f(x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides, kus f'(x) = 0 või ei eksisteeri Piisavad:
L ( x , y )=f ( x 0 ; y 0 ) +f x ( x0 ; y 0 ) ( x−x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 )( y− y 0 ) nimetatakse orginaalse funktsiooni f(x,y) lineariseerimiseks punktis ( x0 ; y0 ; z0 ) IDEE: 12.Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi df =f x dx + f y dy+ f z dz Rakendusi: veahinnang, kujundi ruumala 13.Gradient(definitsioon, omadused ja tähistused) DEF: Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetatakse n- mõõtmelist vektorit, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised grad f =(f x , f y , f z) , ∇ f =grad f OMADUSED: Funktsiooni tuletis on maksimaalne gradiendi suunas ja võrdub gradiendi pikkusega ∥ grad f ∥=√ f 2x +f 2y + f 2z . Gradient on funktisooni nivoopinna normaaliks(risti nivoopinnaga) ja
on pidev lõigul [a, b] Lõigul pidevate funktsioonide omadusi. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0 1. Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali mõisted. Argumendi x diferentsiaal. Tuletis. Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x.
Teisest ku¨ljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Kuna antud juhul 0 j¨a¨ab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama v¨a¨artuse 0. See t¨ahendabki, et l~oigul [a,b] leidub v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on de- fineeritud j¨argmiselt: f'(a) = lim xa f(x) - f(a) /x - a Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Kui funktsioon f omab punktis a l~oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. x = x - a - argumendi muut kohal a, y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a. Siis f'(a) = lim xa f(x) - f(a)/ x a = lim xa y /x= lim x0 y /x . Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev.
iga a, b A korral. 2 Joone puutuja Monotoonselt kasvav funktsioon y y=f (x) 0 x - teravnurk (0 < < /2) f ( x) = tan > 0 või = 0 f ( x) = tan = 0 3 Diferentseeruva funktsiooni kasvamine ja kahanemine Vahemikus A X diferentseeruv funktsioon y = f (x) on 1. monotoonselt kasvav vahemikus A f (x) 0 iga x A korral, 2. monotoonselt kahanev vahemikus A f (x) 0 iga x A korral, 3. konstantne vahemikus A f (x) = 0 iga x A korral, 4. kasvav vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, 5. kahanev vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, Järeldusi teoreemist:
piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. 19.1 Joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A(a,f(a)) : y f(a)=f'(a) Joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) : Diferentseeruvuse geomeetriline sisu : Argumendi väärtusel x=a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2. 1. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on määratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud. Igale reaalarvule vastab arvteljel ainult üks koht ja vastupidi. Absoluutväärtus on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist. |a| =a kui a 0 -a kui a < 0 . Absoluutväärtuste omadused 1
8 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Kui leidub punkt * lõigult , nii, et iga teise punkti korral samalt lõigult kehtib võrratus ! * ! , siis nimetatakse arvu ! * funktsiooni ! vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul , . 14) Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni ! tuletis punktis on defineeritud: ! ! !a lim ,+ Kui funktsioon ! omab punktis lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
See tähendabki, et lõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon: Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted: Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi x = x - a - argumendi muut kohal a , y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Siis . Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus
ii. Teine omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. b. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga Kui funktsioon on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. a. Funktsiooni tuletise definitsioon Funktsiooni tuletis punktis a on defeineeritud järgmiselt f'(a)= b. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted
Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. Geomeetriliselt: Kui pideva joone üks otspunkt asub allpool x-telge ja teine pealpool x- telge, siis lõikab see joon kuskil x-telge. 18. FUNKTSIOONI TULETISE DEFINITSIOON Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: . Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu argumendi muut kohal a. funktsiooni muut kohal a. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev Teoreem: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.
1.Leiame esialgse funktsiooni f(x,y) statsionaarsed punktid. Mingi piisavalt väikese muudu (x, y) jaoks saame lokaalse maksimumi korral f(x+x,y+y) <= f(x,y) st f<=0 ja lokaalse 2.Lahendame tingliku ekstreemumi ülesande(d) piirkonna rajajoonel : st leiame vastavate Lagrange'i funktsiooni(de) (x , y miinimumi korral f(x+x,y+y) >= f(x,y) st f >=0. Kaks korda pidevalt diferentseeruva funktsiooni korral saame kirja panna , ) := f (x , y ) + F (x , y ) statsionaarsed punktid. Taylori valemi: f(x + x,y + y) = f(x,y) + fx(x,y) x + fy(x,y) y + R1(x,y). Kuna P(x,y) on statsionaarne punkt, siis saame 2f = 3
0 < x < y 0: Kui definitsioonis y < 0 -range lokaalne maksimum Kui definitsioonis y > 0 -range lokaalne miinimum Statsionaarsed ja kriitilised punktid Elnevalt me näitasime, et kui f '(a) eksisteerib ja f '(a) < 0, siis funktsioon f on punktis a rangelt kahanev ning kui f '(a) > 0, siis funktsioon f on punktis rangelt kasvav. Seega lokaalsed ekstreemumid saavad tekkida punktides, kus f ' = 0 (Fermat' teoreem) või f ' ei eksisteeri. Definitsioon (statsionaarne punkt) Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f '(a) = 0: Definitsioon (kriitiline punkt) Punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a onstatsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. 15. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f ' märgi muutus). Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalsete ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange'
lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused, siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele,siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, etlõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: . Diferentseeruv funktsioon - Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Diferentseerimine tuletise arvutamine.
29. Taylori valem, Maclaureni valem. Taylori valemi tuletamine. ............................................... 20 30. Kirjeldada Newtoni meetodit võrrandite ligikaudsel lahendamisel. ........................................21 Lähendite jada koondumine............................................................................................................21 31. Diferentseeruva funktsiooni kasvamis-, kahanemis-ja konstantsustingimused. ......................21 32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. ............................................... 22 33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. ........................... 22 34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). .................................................
· Parabool y = ax2 + bx + c D = b2 4ac Kui a < 0 ja D > 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui a > 0 ja D > 0, siis parabool avaneb ülespoole. 4. Funktsioonid ja nende graafikud Valemid · Võrdeline sõltuvus y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus y= x Diferentseeruva funktsiooni uurimine · Nullkohtade hulk X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0
lõigult kehtib võrratus f(x1) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x 1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x ja ∆y lim tähistatakse f’(x): f ’(x) = ∆ x→ 0 ∆x
lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile. 50.Joone puutuja mõiste Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M 0 T , siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 51.Funktsiooni tuletise mõiste Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. 52.Diferentseeruva funktsiooni mõiste Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. 53.Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel 54.Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletis Konstandi tuletis on null C =0 55.Liitfunktsiooni tuletis 56.Pöördfunktsiooni tuletis 57.Ilmutamata kujul oleva funktsiooni diferentseerimine 58.Kirjeldage logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? 59
ristub puutujatasandiga selles punktis
13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik
tingimus
Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
läheduses on f(x0,y0)>f(x,y), ja miinimumpunktiks, kui f(x0,y0)
funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele,siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, etlõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: . Diferentseeruv funktsioon - Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Diferentseerimine – tuletise arvutamine.
Sisearetus on nt sugulasabielud, Amishi religioosne pere, Euroopa ''siniverelised'' (kuningaperekonnad). 112. Välisaretus. Ehk autbriiding. Taime- ja loomaliikide, kes genotüübilt on suhteliselt kaugemalt seotud (võrreldes inbriidinguga), ristamine. Toimub alati liigisiseselt. Heteroosiefekt taimedel (lopsakam vegetatiivne kasv). 113. Ühiseellased. Järglaste ühine eellane. Ka tüvirakk, millest diferentseeruva kõik teised rakutüübid. 114. Suguluskoefitsient. Kui suurel määral oleme kellegagi suguluses? 115. Inbriidingukoefitsient (amishid). Sugulasaretuse osa indiviidi X genotüübis. Nt amishitel retsessiivse autonoomse tunnuse albinismi avaldumine. 116. Langetõbi. Ehk epilepsia on närvisüsteemi haigus, mille tunnuseks on korduvalt esinevad krambihood. Saab teha kindlaks aju aktiivsuse alusel. Väga palju levinud Aafrikas. 117
punktis A puutuja Üheselt määratud. Kui puutuja tõusunurk = /2 , siis on arvutatav ka puutuja tõus ehk funktsiooni tuletis f(a). Kui aga punktis A esineb graafikul murdepunkt, siis ei ole selles punktis võimalik puutujat Üheselt määrata. Lõikajad AP annavad punkti P lähenemisel punktile A erinevatest külgedest erinevad piirsirged. Sellisel juhul ei ole ka funktsiooni tuletis f(a) argumendi väärtusel x = a mAAratud. Seega võib öelda, et argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole
siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: f (a) = lim f(x) - f(a)/x-a xa
q1 q 2 p MU1 p MU1 1 1 . See tingimus vastab ka ratsionaalse valiku üldreeglile q1 p2 MU 2 p2 MU 2 (Gosseni II seadus), mida kasutasime Jaani optimaalset komplekti leides: p1 MU1 MU1 MU 2 p1MU 2 p2 MU1 . p2 MU 2 p1 p2 Kui on tegemist pideva ja diferentseeruva kasulikkusfunktsiooniga (ja käesoleval juhul nii MU 1 on), siis nimetatakse suhet hüviste asendamise piirmääraks ja see on arvutatav MU 2 majapidamisele ühepalju kasulikkust andvate komplektide hulka kirjeldava funktsiooni (samakasulikkuskõvera) tuletisena või vahetult kasulikkusfunktsiooni osatuletiste suhtena. Ja kuna hindade suhe (eelarvejoone tõus) on eelarvejoone tuletis, siis saame selle võrduse alusel
Lineaarne diferentsiaalvõrrand. Mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamine. Kui lokaalse maksimumi korral f(x+∆x, y+∆y)≤f(x,y) st ∆f ≤0 ja lokaalse miinimumi korral f(x+∆x, y+∆y)≥f(x,y), st ∆f≥ 0. Kaks korda pidevalt diferentseeruva funktsiooni korral saame kirja panna Taylori valemi f(x+∆x, − ∬𝐷 𝑋𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 2) Olgu piirkond D jaotatav y-teljega paralleelsete sirglõikudega m x-telje suhtes normaalseks y+∆y)=f(x,y) + fx(x,y) ∆x +fy(x,y) ∆y +R1(x,y). Kuna P(x,y) on statsionaarne punkt, siis saame 2∆f=2R1(x,y)=fxx(Q)( piirkonnaks Dk vastavalt rajajoontega Γk.Et iga y-teljega paralleelset sirglõiku, mis eraldab kaht normaalset
seega g`(t) = x1`(P) * (s1/|s|) + . . . + xm`(P) * (sm/|s|). Kui t = 0, siis P = A ja g`(0) = x1`(A) * (s1/|s|) + . . . + xm`(A) * (sm/|s|). Järelikult saame suunatuletise s`(A) jaoks järgmise valemi: s`(A) = (1/|s|) * (x1`(A) * s1 + . . . + xm`(A) * sm). 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. · Funktsiooni z = (x1, x2, . . . , xm) nim. diferentseeruvaks punktis A, kui selle funktsiooni täismuudu z saab esitada järgmise summana: z = C1* x1 + C2* x2 + . . . + Cm* xm + , · kus C1, C2, . . . , Cm on konstandid, mis üldiselt sõltuvad punktist A ja on on kõrgemat järku
[a,b] nimetatakse piirväärtust 6. Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. x/2=arctan t ; x=2arctan t ; dx=2/1+t 2dt 7. Teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest 2. Integraalid (tõestusega). tingimusel, et 8. Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis piirväärtus eksisteerib. (tõestusega).
seega g`(t) = x1`(P) * (s1/|s|) + . . . + xm`(P) * (sm/|s|). Kui t = 0, siis P = A ja g`(0) = x1`(A) * (s1/|s|) + . . . + xm`(A) * (sm/|s|). Järelikult saame suunatuletise s`(A) jaoks järgmise valemi: s`(A) = (1/|s|) * (x1`(A) * s1 + . . . + xm`(A) * sm). 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. · Funktsiooni z = (x1, x2, . . . , xm) nim. diferentseeruvaks punktis A, kui selle funktsiooni täismuudu z saab esitada järgmise summana: z = C1* x1 + C2* x2 + . . . + Cm* xm + , · kus C1, C2, . . . , Cm on konstandid, mis üldiselt sõltuvad punktist A ja on on kõrgemat järku
Lõigul pidevate funktsioonide omadusi. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0 2. Kollokvium 1. Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali mõisted. Argumendi x diferentsiaal. Tuletis. Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x.
ekstreemumid suureneb. *Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone saavad tekkida punktides, kus f ’ = 0 (Fermat’ teoreem) või f ’ ei eksisteeri. puutuja tõus väheneb. *Kui puutuja tõus suureneb siis joon muutub järsemaks. Seega nõgus Definitsioon (statsionaarne punkt)-Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) joon kaardub ülespoole. *Seevastu puutuja tõusu vähenedes muutub joon laugjamaks. Seega statsionaarseks punktiks, kui f ’(a) = 0. kumer joon kaardub allapoole. *Kuna joone y = f(x) puutuja tõus punktis (x, f(x)) võrdub
vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omaduselel 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldava funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0 20) · Funktsiooni tuletise definitsioon Funkts f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nim. diferentseerimiseks. · Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi i) x=xa argumendi muut kohal a,
vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omaduselel 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldava funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0 20) · Funktsiooni tuletise definitsioon Funkts f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nim. diferentseerimiseks. · Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi i) x=xa argumendi muut kohal a,
Välja jäävad hü- perboolsed funktsioonid. 5. Joone puutuja ja normaali võrrandite leidmine. 6. Diferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes. Eksamiteemad 1. Tuletise mõiste ja definitsioon. Tuletise seos kiirusega. Kõrgemat järku tuletise mõiste. 2. Tuletise definitsiooni kasutamine lihtsamal juhul. 3. Diferentseeruv funktsioon. Teoreem 5.1 diferentseeruva funktsiooni pidevuse kohta. 4. Diferentseerimise reeglid. Liitfunktsiooni tuletis. 5. Joone puutuja ja normaali võrrandid. 6. Diferentsiaali mõiste. Diferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes. PEATÜKK 5. FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL 5.1 Keskmine kiirus ja hetkkiirus Definitsioon 5.1 Suhet s vk =
annaabi.ee 
