on defineeritud tehte suhtes kinniseks. · Seda tehet f nim kas liitimiseks või korrutamiseks. f liitmine- aditiivne- f(a+b)=a+b f korrutamine- multiplikatiivne- f(a*b)=a*b · Arvude vallas etendavad tähtsat osa arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted võime üle kanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralistesele süsteemile. · Eeldame, et lisaks vaadeldav arvutusoperatsioon rahuldab nn assotsiatiivsuse seadust. Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c) · Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks. Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus, lubatud liita (a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised:
tehe. Def2 Hulka, kus on määratud vähemalt üks arvutusoperatsioon nimetatakse algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a, b korral hulgast M järeldub, et ka tehte tulemus on hulgast M st hulk on kinni. Arvude vallas etendavad tähtsat rolli arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted saame ülekanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga algebralisele süsteemile. Eeldame, et hulgas defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust: a + (b + c) = (a + b) + c. Def3 Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nimetatakse poolrühmaks. Aditiivne poolrühm- hulgas on defineeritud liitmine. a + (b + c) = (a + b) + c Multiplikatiivne poolrühm - hulgas on defineeritud korrutamine. ( a b ) c = a ( b c) Def4 Algebralises süsteemis, milles defineeritud arvutusoperatsioon
Algebralised süsteemid Hulk on määratud, kui on teada eeskiri elementide leidmiseks DEF 1: kui hulgas M on igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile ( a ; b ) seatud vastavusse mingi eeskirja f alusel teatav element f( a ; b ), siis öeldakse, et selles hulgas M on määratud arvutusoperatsioon e tehe DEF 2: hulka M milles on def vähemalt 1 arvutusop/tehe nim algebraliseks süsteemiks DEF 3: alg süst M milles def a.o. rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks · + adiktiivne poolrühm · * multiplikatiivne poolrühm DEF 4: alg süst M milles def a.o. rahuldab nii assotsiatiivsuse kui ka kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks DEF 5: elementi e hulgast M mis iga a hulgast M korral rahuldab tingimust e * a = a ja a * e = a nim hulga M ühikelemendiks Kui süsteemis M leidub ühikelement, siis sellist elementi a -1 hulgast M, mis teatava a hulgast
tehe, nim. algebraliseks süsteemiks. Kui determinandis on mingid 2 rida/veergu võrdsed või võrdelised, siis determinant võrdub nulliga. Algebralist süsteemi M, millest defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust, nim. poolrühmaks. Aditiivne poolrühm:kehtib ainult (a+b)+c=a+(b+c) 1. Eksisteerib vähemalt üks punkt 5. Kui determinandis mingi rea/veeru iga
Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest. Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1. Arvu 10 tegurid on 1, 2, 5 ja 10, sest arv 10 jagub nende arvudega. 10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1 Näide 2. Arvude ühistegur : Arvutamisseadused : Liitmise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Liitmise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Korrutamise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise jaotuvusseadus (distributiivsuse seadus) , Korrutise jagamise seadus, Summa jagamise seadus, Jagatise põhiomadus . Nt. 1 Liitmise vahetuvusseadus : Summa ei muutu, kui muudame liidetavate järjekorda. 2+3=3+2=5 a+b=b+a Nt. 2 Korrutamise jaotuvusseadus : Summa korrutamiseks mingi arvuga võib korrutada selle arvuga iga liidetava ja tulemused liita.
· Iga samaselt tõene valem on kehtestatav · Kui valem ei ole kehtestatav, siis on ta samaselt väär Samaväärsed valemid - Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeid esinevate muutujate väärtustel. Lausearvutuse põhisamaväärsused: 1. Idempotentsuse seadused a. F&FF FvFF 2. Kommutatiivsuse omadused a. F&GG&F FvGGvF 3. Assotsiatiivsuse seadused a. (F&G)&HF&(G&H) (FvG)vHFv(GvH) 4. Distributiivsuse seadused a. F&(GvH)F&GvF&H FvG&H(FvG)&(FvH) 5. Neelamisseadused a. F&(FvG)F FvF&GF 1 6. De Morgani seadused a. (F&G)=FvG (FvG)=F&G 7. Kahekordse eituse seadus a. FF 8
Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid, siis ei saa rääkida maatriksite jagamisest, kuid teatud juhtudel leidub maatriksil pöördmaatriks. Def. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist matrx B, mis rahuldab tingimust AB=I=BA. Teoreem. Kui matrx on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt.Tõestus: olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmtx, st AB=I=BA ja AC=I=CA, siis mtxkorrutise assotsiatiivsuse tõttu B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C Olgu A ruutmtx. Kui mtx-l A eksisteerib pöördmtx, siis nim mtx regulaarseks ja pöördmtxit tähistatakse A-1. AA-1=I=A-1A. Kui ruutmtxi A korral ei ole võimalik leida sellist mtx B, et AB=I=BA, siis nim mtx A singulaarseks. Omadused: 1)iga regulaarse mtx korral kehtib (A-1)-1=A 2)ühikmtx on iseenda pöördmtx I-1=I 3)kui A ja B on sama järku regulaarsed ruutmtxid siis on regulaarne ka AB kusjuures (AB)-1=B-1A-1. 4)Kui mtx A on regulaarne ja c=/0, siis
vektorit, tuleb esimese vektori ( a ) lõpust tõmmata teine vektor ( b ), vektori b lõpust kolmas vektor ( c ) jne. Liitmise tulemuseks on vektor, mis on tõmmatud vektori a algusest viimase vektori lõppu. Vektorite liitmisel pole liidetavate järjekord oluline (kommutatiivsuse seadus ). Kui vektoreid on rohkem kui kaks, võime neid rühmitada suvalisel moel (assotsiatiivsuse seadus) Oluline on vektorite jaotamine komponentideks. Vektori komponent on selle vektori projektsioon teljele. Projektsiooni leidmiseks kasutatakse täisnurkset kolmnurka ax = a cos α ay = a sinα Praktikas kasutatakse sageli jõu vektori ( F ) jaotamist komponentideks. Näiteks kaldpinnal asuvale kehale mõjuvate jõudude arvutamisel, konstruktsiooni eri osadele
· Vektori esitamist kahe erisihilise vektori summana nimetatakse vektori lahutamiseks komponentideks. · Mitme vektori korraga liitmiseks moodustame liidetavatest vektoritest murdjooni nii, et eelmise vektori lõpppunkt on järgmise vektori alguspunktiks; vektor, mis on suunatud murdjoone alguspunktist lõpppunkti on antud vektorite summa. See on hulknurgareegel vektorite liitmiseks. · Liitmisel kehtib assotsiatiivsuse seadus 6.5 Vektori lahutamine · Sama sihi, pikkuse, kuid erineva suunaga vektorid on vastandvektorid. · Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks, tähistatakse sümboliga 0. · Kahe vektori lahutamise saab asendada lahutatava vektori vastandvektori liitmisega. 6.6 Vektori korrutamine arvuga · Vektor, mille pikkus on 1, on ühikvektor. · Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes · distributiivsus arvude liitmise suhtes
Valime selles valemis esinevatele muutujatele suvalise väärtustuse. Etekvivalents on tõene, siis kas F = 1, G = 1 või F = 0, G = 0. See tähendab, valemite F ja G tõeväärtused on suvalisel väärtustusel samad. Vastavalt definitsioonile on valemid F ja G samaväärsed. Lausearvutuse põhisamaväärused o Idempotentsuse seadused: F&F≡F, F∨F≡F. o Kommutatiivsuse seadused: F&G≡G&F, F∨G≡G∨F. o Assotsiatiivsuse seadused: 5 (F & G) & H ≡ F & (G & H ), (F ∨ G) ∨ H ≡ F ∨ (G ∨ H ). o Distributiivsuse seadused: F & (G ∨ H ) ≡ F & G ∨ F & H , F ∨ G & H ≡ (F ∨ G) & (F ∨ H ). o Neelamisseadused: F & (F ∨ G) ≡ F , F∨F&G≡F. o De Morgani seadused: ¬(F & G) ≡ ¬F ∨ ¬G, ¬(F ∨ G) ≡ ¬F & ¬G. o Kahekordse eituse seadus: ¬¬F ≡ F .
ühendatud iga Si korteežiga, jagamine nt leida töötajate ja osakondade vastavuse tabelist töötajad, kes töötavad osakondades 2 ja 3. • Relatsioonialgebra operatsioonide kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse omadus. (Hulgateoreetilise vahe operatsioon ei ole kommutatiivne ja assotsiatiivne, kõik teised on mõlemat) • Unaarsed ja binaarsed relatsioonialgebra operatsioonid. Unaarsed spetsiaaloperatsioonid: Piirang ja Projektsioon Binaarsed spetsiaaloperatsioonid: Ühendamine ja Jagamine Unaarsed hulgateoreetilised operatsioonid: Ümbernimetamine Binaarsed hulgateoreetilised operatsioonid: Hulgateoreetiline summa, Hulgateoreetiline
o. X = (xij ), Y = (yij ), Z = (zij ), i Nm , j Nn . Valemite (1.17) ja (1.18) abil saame X + Y = (uij ), (X + Y ) + Z = (vij ), 11 kus uij = xij + yij , vij = uij + zij = (xij + yij ) + zij . Analoogiliselt saame Y + Z = (wij ), X + (Y + Z) = (pij ), kus wij = yij + zij , pij = xij + wij = xij + (yij + zij ). Reaalarvude liitmise assotsiatiivsuse (1.12) t~ottu (xij + yij ) + zij = xij + (yij + zij ) vij = pij iga i Nm ja j Nn korral. Maatriksite v~orduse definitsiooni 1.7 kohaselt saame (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). 2 Iga X = (xij ) ja = (oij ), kus oij = 0, korral X + = (xij + oij ) = (xij + 0) = (xij ) = X = X + = X ja + X = (oij + xij ) = (0 + xij ) = (xij ) = X = + X = X. 3 Iga X = (xij ) korral hulgast M at(m, n) valemi (1.5) kohaselt tema
o. X = (xij ), Y = (yij ), Z = (zij ), ∀ i ∈ Nm , ∀ j ∈ Nn . Valemite (1.17) ja (1.18) abil saame X + Y = (uij ), (X + Y ) + Z = (vij ), 11 kus uij = xij + yij , vij = uij + zij = (xij + yij ) + zij . Analoogiliselt saame Y + Z = (wij ), X + (Y + Z) = (pij ), kus wij = yij + zij , pij = xij + wij = xij + (yij + zij ). Reaalarvude liitmise assotsiatiivsuse (1.12) t˜ottu (xij + yij ) + zij = xij + (yij + zij ) ⇐⇒ vij = pij iga i ∈ Nm ja j ∈ Nn korral. Maatriksite v˜orduse definitsiooni 1.7 kohaselt saame (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). ♠ 2◦ Iga X = (xij ) ja θ = (oij ), kus oij = 0, korral X + θ = (xij + oij ) = (xij + 0) = (xij ) = X =⇒ X + θ = X ja θ + X = (oij + xij ) = (0 + xij ) = (xij ) = X =⇒ θ + X = X. ♠
Definitsioon 1. Maatriksit A nimetatakse regulaarseks, kui detA 0. Definitsioon 2. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit A-1 , mille korral A -1 A = AA -1 = E . Teoreem. Kui maatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. Tõestus. Olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmaatriksid, st AB = E = BA ja AC = E= CA. Siis maatrikskorrutise assotsiatiivsuse tõttu B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. Lause. Kui maatriksil A on pöördmaatriks A-1 olemas, siis maatriks A on regulaarne. Tõestus. Eelduse kohaselt A -1 nii et AA-1 = E . Kuna maatriksite korrutise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega (omadus 8), siis det E = det( AA-1 ) = det A det A-1 = 1. Siit järeldub, et det A-1 = 1 / det A = (det A) -1 0. Muuhulgas saime lause tõestamisel järgmise omaduse:
kirjete hulka relatsioonist R, mis vastavad kõikidele kirjetele relatsioonis S. Kõige põhilisemad relatsiooni operatsioonid on: - piirang; - projektsioon; - otsekorrutis; - hulgateoreetiline summa; - hulgateoreetiline vahe. Nende kaudu saab avaldada kõik teised relatsioonioperatsioonid. 8 Relatsioonialgebra operatsioonide kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse omadus. Vahe leidmise operatsioon ei ole kommutatiivne ja assotsiatiivne. Unaarsed ja binaarsed relatsioonialgebra operatsioonid 1.Unaarsed spetsiaaloperatsioonid Piirang (ingl. k. restriction või selection) Projektsioon (ingl. k. projection) 2.Binaarsed hulgateoreetilised operatsioonid Hulgateoreetiline summa (ingl. k. union) Hulgateoreetiline vahe (ingl. k. difference) Lõige või ühisosa (ingl
annaabi.ee 
