Loogika aine ja ajalugu
saab loogikareeglite abil tuletada G-st? Kui jah, siis on G aritmeetika jaoks täielik aksioomide kogu. Kui ei, siis ilmselt
on G-st midagi vajalikku puudu.
Kolmekümnendatel aastatel tõestas Kurt Gödel enamikule selleaja loogikutele ootamatult ühe praeguseks kuulsaima
loogikateoreemi üldse: teoreemi mittetäielikkusest. Nimetatud teoreem näitab, et aritmeetikat ei saa taandada loogikale.
Konkreetselt: ei ole olemas lõplikku baasväidete kogu G, millest saaks tuletada kõiki aritmeetikateoreeme. Ükskõik kui
palju baasväiteid aritmeetika kohta me ka G-sse ei võtaks, alati leidub matemaatiliselt õigeid aritmeetikateoreeme, mida
sellest G-st tuletada ei saa: nende jaoks tuleb hulk uusi tõeseid baasväiteid S lihtsalt juurde võtta. Seda saab muidugi
teha: võtame uue baasväidete hulga S lisaks, ning nüüd saame vajaliku teoreemi tuletada. Paraku aga leidub seejärel
ikkagi aritmeetikateoreeme, mille jaoks ei piisa ka uuest täiendatud baasväidete hulgast
annaabi.ee 
