Definitsioon 1 Kui on antud eeskiri, mis hulga X R igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1
suurus P = (x1 , x2 , . . . , xm ) muutumispiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuv suurus z. m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale v¨a¨ artusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z u ¨he kindla v¨a¨ artuse. Muutujat P nimetatakse seejuures s~ oltumatuks muutujaks ehk argu- mendiks, muutujat z s~ oltuvaks muutujaks ja hulka D m¨ a¨ aramispiirkonnaks. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline tähendus ja omadusi. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Olgu z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) m-muutuja funktsioon m¨a¨aramispiirkonnaga D. Selle funktsiooni graafikuks nimetatakse argmist ruumi Rm+1 alamhulka: j¨ = {(x1 , x2 , . . . , xm , f (x1 , x2 , . . . , xm )) || P = (x1 , x2 , . . . , xm ) D} . Teiste s~onadega, graafik koosneb k~oigist sellistest ruumi Rm+1 punktidest, mille
Selles punktis k¨asitletakse funktsionaalse s~ oltuvusega seonduvaid m~oisteid. Definitsioon 1. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud (¨ uhene) funktsioon f ja seda vastavust f t¨ahistatakse kas y = f (x) (x X) v~oi x - y. Hulka X nimetatakse funktsiooni f m¨ a¨ aramispiirkonnaks ja hulka f (X) = {y| x X y = f (x)} Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk s~ oltumatuks muutujaks ja elementi y s~ oltuvaks muutujaks. Kasutatakse ka t¨ahistust y = y(x) r~ohutamaks fakti, et suurus y on suuruse x funkt- argnevalt piirdume juhuga X R ja Y R. Muutuvaks suuruseks nimetatakse sioon. J¨ suurust, mis v~oib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi v¨a¨artusi. Nende v¨a¨artuste
(b) Eeldame, et f′ (x) > 0 iga sisepunkti x ∈ Do korral. Siis seose (7.1) põhjal f (z) − f (y) = f′ (c) (z − y) > 0 ehk f (y) < f (z), seega on f rangelt kasvav. Analoogiliselt saame võrratuse f (y) ≤ f (z), kui eeldada, et f′ (x) ≥ 0. (c) Iseseisvalt! Tuua näiteid selle lause rakenduste kohta: Leiame seosega f (x) := x ln x määratud funktsiooni f kasvamise ja kahanemise piirkonnad. Funktsiooni f m¨a¨aramispiirkonnaks on intervall D := (0,∞), suvalise x ∈ D korral eksisteerib l˜oplik tuletis f′ (x) = ln x + 1. Seega f′ (x) > 0 parajasti siis, kui x > 1/e , ning f′ (x) < 0 parajasti siis, kui x < 1/e Lause 7.1 väidete (b) ja (c) kohaselt on f rangelt kasvav intervallis (0, 1/e] ning rangelt kahanev intervallis [1/e ,∞) 30. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid (*) Selgitada lokaalse ja globaalse ekstreemumi mõisteid:
tabeli teises reas (veerus). On v~oimalik vaid siis, kui funktsiooni argu- mendil on l~oplik arv v¨a¨artusi. 2. Anal¨ uu¨tiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisa- takse ka m¨a¨aramispiirkonna kirjeldus. N¨aiteks avaldis y = x2 , x [0, 1] 4 kirjeldab funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik [0, 1] ja iga x kor- ral sellelt l~oigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨a¨artused f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on t¨aielikult m¨a¨ ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei aratud. N¨aiteks u
tabeli teises reas (veerus). On v~oimalik vaid siis, kui funktsiooni argu- mendil on l~oplik arv v¨a¨artusi. 2. Anal¨ uu¨tiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisa- takse ka m¨a¨aramispiirkonna kirjeldus. N¨aiteks avaldis y = x2 , x [0, 1] 4 kirjeldab funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik [0, 1] ja iga x kor- ral sellelt l~oigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨a¨artused f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei on t¨aielikult m¨a¨aratud. N¨aiteks u
¨ hulgast Y , siis oeldakse, et hulgal X on ma¨ aratud ¨ (uhene) ¨ funktsioon f f ¨ ja seda vastavust tahistatakse kas y = f (x) (x X ) voi ~ x - y . Hulka X nimetatakse funktsiooni f ma¨ aramispiirkonnaks ¨ ja hulka f (X ) = {y| x X y = f (x)} Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni ~ f argumendiks ehk soltumatuks ~ muutujaks ja elementi y soltuvaks muutujaks ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
y 2a x Joonis 1.4: Ts¨ ukloid asendis asub koordinaatide alguspunktis, kui panna ringjoon veerema m¨o¨oda x-telge. Sellisel juhul on funktsiooni parameetrilises esitusviisis parameetriks t selle ringjoone p¨o¨ordenurk algasendi suhtes. 4 Definitsioon 1.2. Funktsiooni y = f (x) m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse niisugust argumendi x v¨a¨artuste hulka, millele anntud eeskirja kohaselt saab vastavusse seada muutuja y v¨a¨artuse. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on kas funktsiooni definitsiooniga ette an- tud v~oi funktsiooni enda poolt m¨a¨aratud. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga X. N¨ aide 1.5. Funktsiooni x, kui 0 x 1 f (x) =
annaabi.ee 
