....+ mnxn = i =1 m x i i · Korrutades funktsiooni igal lõigul esineva suurima väärtuse vastava lõigu argumendi muuduga ning liites saadud korrutised, saame suuruse, mida nimetatakse integraalseks ülemsummaks: n Sn = M1x1 + M2x2 +....+Mnxn = i =1 M x i i JA MIDA ME TÄHELDAME, KUI VAATAME HOOLEGA ALAMSUMMAT? Integraalne alamsumma annab sisuliselt alumise treppkujundi (kollase osa) pindala! VAATA JOONIST JA TAIPAD KOHE, et me liidame kokku nagu eraldi ristkülikuid, mille pindala avaldubki külgede korrutisega... Ametlikult öeldes: Kui f(x) 0 , siis integraalne alamsumma võrdub arvuliselt kõvera all oleva murdjoonega piiratud seesmise treppkujundi AC0N1C1N2Cn-1NnB pindalaga. MIDA TÄHELDAME, KUI VAATAME INTEGRAALSET ÜLEMSUMMAT?
2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja ja ning me saame defineerida Darboux’ ülemsumma: ̅ (f)=∑ ja Darboux’ alamsumma: (f)=∑ . Riemanni integraal ∫ eksisteerib parajasti siis, kui ̅ (f)) = 0. Sel juhul ∫ ̅ Näitame, et Riemanni integraali eksistreerimisest järeldub ̅ (f)) = 0. Riemanni summa lõigul [a,b] on kujul
[ f ( x ) + g ( x ) ] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx 11. Diferentsiaali märgi alla viimise võte määramata integraali leidmiseks. Ositi integreerimise valem. f ( x ) f ( x ) dx või g [ f ( x ) ] f ( x ) dx . Sel juhul tehakse muutuja vahetus (võetakse uueks muutujaks) t = f ( x ) siis dt = f ( x ) dx ja saame f ( x ) f ( x ) dx = tdt või, g [ f ( x ) ] f ( x ) dx = g ( t ) dt Ositi integreerimise valem: udv = uv - vdu 12. Integraalne alamsumma ja ülemsumma (valemid ja joonis). Integraalsumma (valem ja joonis). Määratud integraali definitsioon (sõnastus ja valem). Kõvertrapetsi pindala arvutamise valem koos joonisega. Newton-Leibnizi valem. Summat s n nimetatakse integraalseks alamsummaks, summat sn integraalseks ülemsummaks. n s n = f ( 1 ) x1 + ( 2 ) x 2 + ... + ( n ) x n = f ( i ) xi
määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse . 9.Darboux ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux' summade seos. Definitsioon Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a; b]. Siis tükelduse n igal osalõigul [xi-1; xi ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja Mi := sup f (x) ja mi := inf f (x) ning me saame defineerida x[xi-1;xi ] x[xi-1;xi ] Darboux' ülemsumma Darboux' alamsumma 10. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine (variant1 Tambergi oma) Lause Kui f (x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning f (x) g(x) ( ), siis joontega y = f (x); y = g(x), x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul Lause Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f (x) 0 antud parameetriliste võrranditega Kusjuures on rangelt monotoonne ja pidevalt diferentseeruv
Tõestus: dF(()) = (())() = () () Integreerime, kasutades Darboux' ülemsumma: (f)= =1 ja Darboux' alamsumma: limmax 0 () = lim ( 1 () + 2 () + (( ) - ()) ) = asendust t = (): F(()) = () () = () ehk F(()) = max 0
. . , xn] või lühidalt T. Suurima osalõigu pikkust nimetame alajaotuse T diameetriks, seda tähistame sümboliga λ (T), s.t. λ (T) := max {Δxk | k = 1, . . . , n} . Selgitada ideed, kuidas ristküliksummade abil defineerida kõvertrapetsi pindala. 47. Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad ja Darboux’ integral. Integreeruvad funktsioonid (*) Defineerida lõigus [a; b] tõkestatud funktsiooni Darboux' ülem- ja alamsumma lõigu antud alajaotuse T korral. Selgitada nende geomeetrilist tähendust. Olgu f lõigus [a, b] tõkestatud funktsioon. Tähistame ning Summasid S ja s nimetatakse vastavalt Darboux’ ülem- ja alamsummaks Tõestada Darboux' summade kaks omadust (laused 11.1 ja 11.2). Alajaotuse peenendamisel (s.o. jaotuspunktide lisamisel) ei saa Darboux' ülemsumma kasvada ega alamsumma kahaneda.
Muutujavahetus.Muutujate vahetus määramata integraalis, valemi tuletamine. ülemine ja alumine raja Mi := sup f (x) ja mi := inf f (x) ning me saame defineerida xϵ[xi-1;xi ] xϵ[xi-1;xi ] *Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = φ (x) on diferentseeruv, siis kehtib muutujate Darboux’ ülemsumma Darboux’ alamsumma vahetuse valem 2.Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine.Lause Kui f (x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning f (x) ≤ g(x) ( ∀ x ∈[a , b] ), siis
Analoogiliselt saame võrduse n X inf f (ξk ) ∆xk = s (T ) , ξk ∈[xk−1 ,xk ] (16k6n) k=1 niisiis, alamsumma s (T ) on integraalsumma σ (T, ξ) väärtuste alumine raja. 110 5 Integreeruvad funktsioonid Kokkuvõttes, fikseeritud alajaotuse T ∈ T korral S (T ) = sup σ (T, ξ) ja s (T ) = inf σ (T, ξ) , (5.4) kus rajad on võetud üle kõikide valikute ξ := (ξ1 , . . . , ξn ), milles ξk ∈ [xk−1 , xk ] .
~ osaloigul ~ [xi-1 , xi ] leiduvad loplikud ulemine ¨ ja alumine raja Mi := sup f (x) ja mi := inf f (x) ning me saame defineerida x[xi-1 ,xi ] x[xi-1 ,xi ] Darboux' ulemsumma ¨ n S n (f ) = Mi xi . i=1 ja Darboux' alamsumma n S n (f ) = mi xi . i=1 ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 6 / 18 Ma¨ aratud ¨ integraal Pindala Lause
annaabi.ee 
