{1,2,3,4},{1,3,4,5},{1,2,4,5}, {2,4,5},{1,2,4,5} {1,2,3,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5} Panen tähele, et W = W + W + W Eelnevas tabelis olen näidanud, et seos kehtib 1 3 J 3 5 korral. Nüüd näitan, et seos kehtib ükskõik missuguse n-i korral. Vaatan, missugused hulgad sisalduvad -s. Iga n-nda alamhulga puhul on 3 võimalust, kuidas tagada, et alamhulgas ei leiduks 3 järjestikust arvu, kusjuures iga n-i puhul peab vähemalt üks tingimus olema täidetud. Tähistan J-ga mingit -s sisalduvat alamhulka ja Mi-ga -i alamhulka, mis sisaldab ainult hulkasid, mis rahuldavad i-ndat tingimust. 1) Kui J ei sisalda n-i(st on {1,...,n-1} alamhulk), siis M1 = Sn-1, kus Sn-1 on hulga {1,...,n-1} alamhulk, milles ei leidu kolme järjestikust arvu. Sellisel juhul saame kokku moodustada 2n-1 alamhulka ning jättes välja need alamhulgad, kus leiduvad 3
3. Funktsioon on paarisfunktsioon kui kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsioon on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsioon on paaritu kui kehtib võrdus f(-x)=-f(x) Paaritu funktsioon on sümmeetriline 0-punkti suhtes. Funktsiooni f nim perioodiliseks, kui leidub konstant C>0 nii, et iga xX korral kehtib võrdlus f(x+C)=f(x). Väiksemat sellist konstanti C nim funkt f perioodiks. Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb. Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv, siis X=R Y=(0; ). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ).
esimene koordinaat x jookseb läbi kogu maaramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funktsiooni f graafikuks. 1. Funktsioon on paarisfunktsioon kui kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsioon on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsioon on paaritu kui kehtib võrdus f(-x)=-f(x) Paaritu funktsioon on sümmeetriline 0-punkti suhtes. Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb. Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv, siis X=R Y=(0; ). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ).
Seejuures võib tingimuse (ii) esitada temaga samaväärsel kujul (ii′) iga ε > 0 korral leidub selline x0 ∈ X, et b − ε < x0. Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Võrdus inf X = a kehtib parajasti siis, kui (i) x ≥ a iga x ∈ X korral ja (ii) iga d ∈ R korral, mis rahuldab võrratust d > a, leidub selline x 0 ∈ X, et x0 < d. Tingimuse (ii) võib esitada temaga samaväärsel kujul (ii′) iga positiivse ε > 0 korral leidub selline x 0 ∈ X, et x0 < a + ε. Tõestada, et kui alamhulgas on suurim (vähim) element, siis see on hulga ülemine (alumine) raja (lause 1.4) Kui hulgas X eksisteerib suurim element, siis see on hulga X ülemine raja, s.t. supX = maxX. Analoogiliselt, kui minX eksisteerib, siis inf X = minX. Pidevuse aksioom. Nagu me eelpool veendusime , ei pruugi ülalt tõkestatud alamhulgal olla maksimaalset ega alt tõkestatud hulgal minimaalset elementi. Selge ei ole ka ülemise ja alumise raja olemasolu, seda ei ole aritmeetika ja
26 Märgime, et kuna f0 on ühte mittesäilitav, f15 nulli mittesäilitav ning mõlemad funktsioonid on iseendaga mitteduaalsed, siis muutub nõrgalt täielik süsteem (sisaldab mittelineaarset ja mittemonotoonset funktsiooni) täielikuks f0 ja f15 lisamisel. Baassüsteemid Vaatleme kõigi kahe muutuja funktsioonide hulga alamhulka: { f0, f1, f6, f7, f8, f12, f13, f14, f15 } . Toodud alamhulgas on esindatud kõik tähtsamad funktsioonid. Järgnevas toome välja kõik baassüsteemid, mis on võimalik moodustada nimetatud alamhulga funktsioonidest. Funktsioonid f8 (Pierce'i funktsioon) ja f14 (Shefferi funktsioon) ei kuulu ühtegi eelpool vaadeldud viiest funktsioonide klassist. Järelikult on võimalik moodustada kaks ühe funktsioonilist baassüsteemi: · Pierce'i baas B1 ={ f8 } · Shefferi baas B2 ={ f14 }
funktsiooni, mittemonotoonset funktsiooni ja iseendaga mitteduaalset funktsiooni. Märgime, et kuna f0 on ühte mittesäilitav, f15 nulli mittesäilitav ning mõlemad funktsioonid on iseendaga mitteduaalsed, siis muutub nõrgalt täielik süsteem (sisaldab mittelineaarset ja mittemonotoonset funktsiooni) täielikuks f0 ja f15 lisamisel. Baassüsteemid Vaatleme kõigi kahe muutuja funktsioonide hulga alamhulka: { f0, f1, f6, f7, f8, f12, f13, f14, f15 } . Toodud alamhulgas on esindatud kõik tähtsamad funktsioonid. Järgnevas toome välja kõik baassüsteemid, mis on võimalik moodustada nimetatud alamhulga funktsioonidest. Funktsioonid f8 (Pierce'i funktsioon) ja f14 (Shefferi funktsioon) ei kuulu ühtegi eelpool vaadeldud viiest funktsioonide klassist. Järelikult on võimalik moodustada kaks ühe funktsioonilist baassüsteemi: Pierce'i baas B1 ={ f8 } Shefferi baas B2 ={ f14 }
Lucas' arvud avalduvad seega võrrandist: Ln = Ln-1 + Ln-2 , kus algtingimusteks L1= 1 ning L2= 3 *Lucas' arvujada leiab rakendust näiteks graafiteoorias, kuna tema abil on võimalik leida n- tipulise graafi kõikvõimalike aluspuude arvu. Täpsemalt kehtib seos T(Wn) = L2n 2, kus n on esialgse graafi tippude arv. *Rakendusi leidub aga ka hulgateoorias: on avastatud, et mingi hulga A alamhulka suvalisel heuristilisel valikul on täpselt Ln sellist võimalust, mille korral valitud alamhulgas ei sisaldu kaht järjestikust arvu. *Arvuteoorias: selgub, et kui n on algarv, siis kehtib alati kongruents Ln 1 (mod n). *Lucas' arvujada on oma nime saanud prantsuse matemaatiku F.E.A.Lucas' järgi, kes muuseas on väga tuntud selle poolest, et ta pani kirja valemi arvutamaks Fibonacci jada n'indat väärtust. Kirjanduses mainitakse veel, et ta oli ka ühe algarvulisuse testi autoriks. [18]. Catalani arvud.
Selleks rakendame veel kord lemmat 1.13, mille kohaselt m − (n + 1) = (m − n) − 1 ∈ N. Väide on tõestatud. Järeldus 1.15 Kui m, n ∈ N ning m > n, siis m > n + 1. Tõestus. Rahuldagu naturaalarvud m ja n võrratust m > n, siis omaduse 1.14 põhjal m − n ∈ N. Nüüd jääb üle rakendada omadust 1.12 (iseseisvalt!z). Induktsioonimeetodiga saab veel lihtsalt tõestada (iseseisvalt!)z, et järjestatud korpuse igas lõplikus alamhulgas on olemas suurim ja vähim element. Lõpmatute hulkade puhul see üldjuhul nii ei ole, küll aga kehtib järgmine väide. Omadus 1.16 Igas naturaalarvude hulga mittetühjas alamhulgas on vähim element. Tõestus. Tõestuseks näitame induktsioonimeetodil, et väide P (n) : igas alamhulgas M ⊆ N, mis sisaldab arvu n, on vähim element kehtib iga n ∈ N korral. Väide P (1) on õige: kuna arv 1 on hulga N vähim element, siis on ta vähim ka igas teda sisaldavas alamhulgas M ⊆ N.
annaabi.ee 
