ja X ∈ T , st T rahuldab topoloogia n˜ouet 10 . Oletame, et Aj ∈ T , j ∈ J. Siis Aj ∈ Ti iga i ja j korral. Kuna Ti rahuldab n˜ouet 20 , siis ∪j∈J Aj ∈ Ti iga i korral, st ∪j∈J Aj ∈ T ja T rahuldab topoloogia n˜ouet 20 . Analoogiliselt n¨aidatakse, et T rahuldab topoloogia n˜ouet 30 . Seega T on topoloogia hulgal X. Hulga X k˜oigi alamhulkade hulga P(X) mis tahes alam- hulga U jaoks leidub teda alamhulgana sisaldavaid topoloo- ¨ giaid hulgal X. Uheks selliseks topoloogiaks on n¨aiteks P(X) ise. V˜ottes k˜oigi hulka U alamhulgana sisaldavate hulga X topoloogiate u ¨hisosa, saadakse teoreemi 1.1 p˜ohjal topoloogia, mis on ilmselt v¨ahim hulga X alamhulkade hulka U sisal- dav topoloogia hulgal X. Saadud topoloogiat nimetatakse U poolt tekitatud (v˜oi indutseeritud) topoloogiaks hulgal X. N¨aide 1.3 Kui A ⊂ X ja U = {A}, siis U poolt tekitatud
ega antisümmeetriline. Mittetransitiivne funktsioon pole transitiivne ega antitransitiivne. 28. Mis on relatsiooni kaugus mingi konkreetse omaduseni? Relatsiooni kaugus omaduseni on järjestatud paaride arv, mis tuleb relatsiooni lisada või sellest eemaldada, et omadus kehtima hakkaks. 29. Mis on relatsiooni transitiivne sulund? Milline on tema tähis? Relatsiooni transitiivne sulund on vähima paaridearvuga transitiivne relatsioon, mis sisaldab endas alamhulgana relatsiooni. 30. Millega osutub võrdseks transitiivse relatsiooni transitiivne sulund? Transitiivse relatsiooni transitiivne sulund on võrdne transitiivse relatsiooni endaga. Tükeldused 1. Milliste omadustega relatsioon on ekvivalentsisuhe? Relatsiooni nimetatakse ekvivalentsisuhteks, kui ta on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. 2. Mis on ekvivalentsiklass? Ekvivalentsiklassiks nimetatakse ekvivalentsisuhte sellist osahulka, mille kõik
^ Kui R on transitiivne, siis R • R ⊂ R Relatsiooni R transitiivseks sulundiks R nimetatakse vähima paaridearvuga transitiivset relatsiooni, mis sisaldab endas alamhulgana 6. antitransitiivsus ( α6 ) : relatsiooni R . ∀a,,b,,c∈ ∈M [(a ≠ b) ∧ (b ≠ c) ∧ (a ≠ c) ∧ (a R b) ∧ (b R c) → ¯ ¯ c)] (a R Transitiivne sulund avaldub R astmete ühendina: Kui alushulgas |M| = n siis
Element sup A ∈ F on kindlasti hulga A ülemine tõke, sest B $ {A : A ∈ A} iga B ∈ A korral. Teisalt, iga C < sup A puhul saab leida ratsionaalarvu a0 omadusega S a0 ∈ sup A C. Seejuures on a0 mingi hulga A0 ∈ A element, mistõttu A0 > C. Järelikult on sup A tõepoolest hulga A vähim ülemine tõke. 1.3 Ratsionaalarvud järjestatud korpuses Käesoleva alapeatüki eesmärk on näidata, et igas järjestatud korpuses on (isomorfismi täp- suseni) alamhulgana olemas ratsionaalarvude korpus. Selleks „leiame“ kõigepealt „üles“ igas järjestatud korpuses naturaalarvude hulga. 1.3.1 Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod Naturaalarvude identifitseerimisel lähtume järgmisest ideest. Korpuse F ühikelemendi 1 ∈ F põhjal määrame ülejäänud elemendid seostega 2 := 1 + 1, 3 := 1 + 1 + 1, 4 := 1 + 1 + 1 + 1 jne.
annaabi.ee 
