Matemaatika mõisteid · Aarsus (inglise keeles arity) - matemaatikas tehte operandide arv, funktsiooni või operaatori argumentide arv. · Alamhulk- Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks, kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A B või A B. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkade vahelist binaarset seost nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks. · Harmooniline võnkumine- Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks: x = A sin
{#,$,%{ {%,&,'{ $ $ = $ $ = {1,2};{1,3};{2,3};{3,4};{3,5};{4,5} Paarid {1,4};{1,5};{2,4};{2,5} tulid vasakul pool juurde just nii, et üks element oli pärit esimesest ja teine teisest hulgast. Võrdus kehtib üksnes juhul, kui üks hulk on teise alamhulgaks või kui tegemist on võrdsete hulkadega. - Väide $ $ $ on TÕENE Põhjendus: Eelmises punktis on näha, et üldjuhul annab võrduse vasak pool rohkem eri paare kui parem pool, sest paremal pool ei teki selliseid kombinatsioone, kus üks element pärineb esimesest ja teine teisest hulgast. Seega on võrduse parem pool vasaku poole alamhulgaks ning mõnedel
ekvivalentsiklassiks (hulgal A). Elemendiga a ekvivalentsete elementide hulka tähistatakse [a] = {b | aRb}, kus R on ekvivalentsiseos. Teoreem 1: Ekvivalentsiseos R hulgal A. Iga elemendipaari a ja b korral kehtib seos [a] = [b] või [a] ühisosa [b] on tühihulk. Tõestus: Kuna R on sümmeetriline ja transitiivne, näitame, et kui aRb ja suvaline element [a]-st on z, siis sümmeetria tõttu bRa ja aRz transitiivsuse järgi bRz ehk siis z kuulub [b]. Siit nähtub, et [b] on alamhulgaks [a]-le. Analoogselt tõestame, et [a] on alamhulgaks [b]-le. Kui not(aRb), eeldame vastuväiteliselt, et eksisteerib y, mis kuulub korraga nii [a] kui [b]. ehk aRy ja bRy. Sümmeetria tõttu yRb, millest transitiivuse alusel aRb, mis on vasutolus esialgse väitega. Voila! Relatsiooni aste: R on seos hulgal A. R aste Rk on (aR1b = aRb; aR2b, kui aRcRb) aRkb (k>1) on selline relatsioonide järjestus, et (kui c kuulub A) aRc = cR k-1b. Suhete ahel. Tee pikkus elementide vahel graafis.
A ja B sümmeetriline vahe on C ja värvitud kollaseks. A ja C sümmeetriline vahe on B ning viirutatud,sest kui otsida A ja C sümmeetrilist vahet,siis A juba kuulub sellesse ja seega jääb järele ainult B. 3. väär,sest kahe hulga ühendist moodustatud 2-elemendilisi arve on rohkem,kui moodustades hulgast A ja B eraldi 2-elemendilised arvud ja need seejärel ühendiks võtta. tõene,sest ühisosa on osa,mis on olemas nii hulgas A kui B. tõene,sest alamhulgaks olevasse hulka kuuluvad kõik A ja B hulga elemendid. tõene,sest iga hulk on iseenda alamhulk. 4. 920=12157665459056928801 Vastuse sain sedasi,et naturaalarve on 10,aga esimesele kohale sobib 9 arvu,sest 0ga ei saa arvu alustada. Kuna kõrvuti ei tohi olla kaks ühesugust paari,siis ka teisele kohale 20ne kohalisest arvust sobib 9 (10-1) naturaalarvu. 5. 3*2*1*3(n-3) viisil saab värvida n objekti kolme värviga nii,et iga värvi kasutatakse
..} c. Ratsionaalarvude hulk - = {m/n | m, n , n > 0} d. Reaalarvude hulk - e. Kompleksarvude hulk - = {x + iy | x, y , i2 = -1} f. Reaalarvude intervallid: f.i. Lõik [a, b] = {x | x R & a x b} f.ii. Vahemik (a, b) = {x | x R & a < x < b} f.iii. Poollõik (a, b] = {x | x R & a < x b} f.iv. Poollõik [a, b) = {x | x R & a x < b} 14) a. Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A B x [x A x B] b. Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B A. c. Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse A B, kui hulk A on hulga B alamhulk ja A B. AB A B & A B. 15) a. Hulkade A ja B ühendiks e
1. N naturaalarvude hulk N={0,1,2,...}
2. Z täisarvude hulk Z={...,-2,-1,0,1,2,...}
3. Q ratsionaalarvude hulk Q={q:q=m/n, m A, n{1,2,3...}}
4. R reaalarvude hulk
5. C kompleksarvude hulk C={z:z=x+iy, x, y R, i2=-1}
Intervallid:
1. Lõik [a,b]={x:xR, axb}
2. Vahemik (a,b)= {x:xR, a
0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 G= 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 Lahendus. Joonistades välja selle suunatud graafi, näeme, et graafi tippu- de hulk jaguneb kaheks alamhulgaks {1, 4, 6} ja {2, 3, 5} nii, et esimese hulga ühestki tipust ei vii kaart teise hulga ühessegi tippu. Järelikult ei ole või- malik esimese hulga tippudest pääseda teise hulga tippudesse, st graaf ei ole tugevalt sidus. Materjal õpikus. Lk 7981 (tugev ja nõrk sidusus). Lk 85, ülesanded 611. Ülesanne 4. Puu tippude astmed on 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 ja x. Leida x. Lahendus. Puul on 12 tippu, tipuastmete summa on 19 + x. Teiselt poolt
· Hulga G sisekpunktiks nim. punkti A, kui hulk G kuulub ruumi Rm. · Hulga G rajapunktiks nim. punkti A, kui tema suvalises ümbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. · Hulka G nim. sidusaks kui selle hulga iga kahte punkti wqqb ühendada pideva murdjoonega, mille kõik punktid kuuluvad hulka G. · Hulka G nim. tõkestatuks kui leidub (kinnine või lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. · Olgu x1,x2,...,xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1,x2,...,xm moodustatud järjestatud süsteemi P = (x1,x2,...,xm) nim. m-mõõtmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m-mõõtmeliseks muutujaks. (Komponente x1,x2,...,xm nim suuruse P koordinaatideks). · Olgu antud m-mõõtmeline muutuv suurus P = (x1,x2,..
· Hulga G sisekpunktiks nim. punkti A, kui hulk G kuulub ruumi Rm. · Hulga G rajapunktiks nim. punkti A, kui tema suvalises ümbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. · Hulka G nim. sidusaks kui selle hulga iga kahte punkti wqqb ühendada pideva murdjoonega, mille kõik punktid kuuluvad hulka G. · Hulka G nim. tõkestatuks kui leidub (kinnine või lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. · Olgu x1,x2,...,xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1,x2,...,xm moodustatud järjestatud süsteemi P = (x1,x2,...,xm) nim. m-mõõtmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m-mõõtmeliseks muutujaks. (Komponente x1,x2,...,xm nim suuruse P koordinaatideks). · Olgu antud m-mõõtmeline muutuv suurus P = (x1,x2,..
nimetatakse seda hulka lahtiseks. Kui hulk sisaldab k~oiki oma rajapunkte, siis nimetatatakse seda hulka kin- niseks. Lahine kera on lahtine hulk ja kinnine kera on kinnine hulk. Sidusa hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse sidusaks, kui selle hulga iga kahte punkti saab u ¨hendada pideva murdjoonega, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. T~okestatud hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse t~okestatuks, kui leidub (kin- nine v~oi lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4)Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. Mitmem~ o~ otmelised muutuvad suurused. Olgu x1 , x2 , . . . , xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1 , x2 , . . . , xm moodustatud j¨arjestatud s¨ usteemi P = (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse m-m~ o~otmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m- m~o~ otmeliseks muutujaks. m-m~ o~otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . .
Aksiomaatilist hulgateooriat kasutatakse seal, kus on äärmiselt oluline vältida erinevaid hulgateoreetilisi paradokse või uurida teatavate matemaatiliste probleemide põhimõttelist lahenduvust/ mittelahenduvust. *Võrdsed hulgad- Kahte hulka loeme võrdseks, kui nad koosnevad täpselt samadest elementidest. Elementide järjekord hulgas ei ole oluline. *Alamhulk/ülemhulk- Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks (e. osahulgaks), kui kõik hulga A elemendid sisalduvad ka hulga B koossesisus. Sellisel juhul on hulk B ka muuseas hulga A ülemhulk. Tähistaktakse: ning . Tehted: Hulkade ühend- Kahe hulga ühendiks on ,,kõik hulga A elemendid + kõik hulga B elemendid". (Tähistatakse ) Hulkade ühisosa- Kahe hulga ühisosaks on ,,kõik elemendid, mis sisalduvad samaaegselt nii hulgas A kui ka hulgas B". (Tähistatakse )
o Q = {q | q=m/n, m∈Z, n∈N} ratsionaalarvud o R = reaalarvud o C = {z | z=x+iy; x,y∈R, i2=1 Reaalarvude intervallid 11 o lõik [a, b] = {x | x∈R, a ≤ x ≤ b}, o vahemik (a, b) = {x | x∈R, a < x < b} o poollõik (a, b] = {x | x∈R, a < x ≤ b} o poollõik [a, b) = {x | x∈R, a ≤ x < b} 14. Alamhulk. Ülemhulk. Pärisalamhulk. [3, 4, 5] Alamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A ⊆ B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A ⊆ B ⇔ ∀x[ x∈A ⇒ x∈B ] Ülemhulk o DEF: Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B ⊇ A. Pärisalamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse A ⊂ B, kui hulk A on hulga B alamhulk ja A ≠ B. 15. Hulkade ühend, ühisosa, vahe. Universaalhulk. Hulga täiend
Relatsioonialgebra operatsioonid Projektsioon - Operatsioon projektsioon defineerib relatsiooni R põhjal uue relatsiooni, mis on relatsiooni R vertikaalne alamhulk. See sisaldab vaid osade atribuutide a1,...,an väärtuseid. Piirang - Operatsioon piirang defineerib relatsiooni R põhjal uue relatsiooni, mis sisaldab vaid neid relatsiooni R kirjeid, mis vastavad teatud tingimusele (predikaat). Piirangu tulemust nimetatakse ka horisontaalseks alamhulgaks. Lõige ehk ühisosa - Operatsioon lõige annab tulemuseks relatsiooni, mis sisaldab ainult neid kirjeid, mis on nii relatsioonis R kui ka S. Lõike operatsiooni võib esitada vahe operatsiooni kaudu RUS=R-(R-S) Vahe - Operatsioon vahe annab tulemuseks relatsiooni, mis sisaldab kirjeid, mis kuuluvad relatsiooni R, kuid mis ei kuulu relatsiooni S. Vahe leidmine ei ole kommutatiivne operatsioon, st. R-S<>S-R. Hulgateoreetiline summa - Operatsioon ühend annab tulemuseks
annaabi.ee 
