Võrratused

14

pdf

Jüri Afanasjev Tartu 2003 Juhendmaterjal on jätkuks TÜ Teaduskooli I kursusel läbitöötatud brosüürile E. Tamme "Algebraliste võrrandite lahendamisest". Vaadeldakse kõrgema astme võrratuste lahendamist intervallmeetodiga, absoluutväärtusi sisaldavaid võrratusi ja juurvõrratusi. Õppematerjali koostamisel kasutatud kirjandus: Abel, E. jt Aritmeetika ja algebra. Tartu, 1984 Gabovits, J. Võrratused. Tartu, 1970 Jürimäe, E., Velsker, K. Matemaatika käsiraamat IX - XI klassile. 2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse.

Matemaatika

100

pdf

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3

Matemaatika

10

doc

X klassi matemaatika lühikonspekt

kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused  Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga.  Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks.  Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks).  Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad.

Matemaatika

5

doc

X klassi matemaatika lühikonspekt

kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused  Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga.  Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks.  Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks).  Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad.

Matemaatika

40

doc

Keskkooli matemaatika raudvara

..........................................................................12 Relatiivne viga (suhteline viga)..........................................................................................12 Arvu tüvenumbrid...................................................................................................................12 Arvu standardkuju.................................................................................................................. 12 II Võrrandid ja võrratused.......................................................................................................... 12 Võrrandid................................................................................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand...........................................................................................

Matemaatika

246

pdf

Funktsiooni graafik I õpik

RUUTVÕRRATUSED Võrratust, mis esitub kujul ax2 + bx + c > 0, kus a ≠ 0, nimetatakse ühe muutujaga ruutvõrratuseks. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, ≥ või ≤. Ruutvõrratusi on üldjuhul mõistlik lahendada järgmise skeemi järgi: a) Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0 b) Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c c) Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Vaatleme mõningaid näiteid, lahendame võrratused a) x2 – 2x – 3 > 0 b) x(x + 1) ≥ 0 c) –x2 – 2x > 0 d) x2 + 2x + 3 < 0 e) x2 + 4x + 4 ≥ 0 f) x2 – 4x + 4 < 0 a) b) L   ;1  3;  L   ;1  0;  © Allar Veelmaa 2014 12 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium

Matemaatika

17

pdf

Lineaarvõrratused, ruutvõrratused ja murdvõrratused

võrratuse lahendiks hulk X (2;0) (0;1) Murdvõrratus Võrratust, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas, nimetatakse murdvõrratuseks. Murdvõrratus esitub kujul: f ( x) 0 (või 0) g ( x) f ( x) 0 (või 0) g ( x) Murdvõrratus f ( x) Vaatame võrratust kujul 0 g ( x) selline võrratus on samaväärne seostega f ( x) g ( x) 0 g ( x) 0 Murdvõrratuse lahendamisel saab kasutada intervallimeetodit. Vaatame seda täpsemalt näidete varal. Näide 4 2 Näide Lahendame võrratuse 1. x 1 Lahendus Kanname kõik liikmed võrratuse ühele poolele 2 1 0 x 1 ja viime ühisele nimetajale 2 x 1

Matemaatika

8

doc

VÕRRATUSED

a >b a+m>b+m a b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ).

Matemaatika