Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Valemid ja mõisted (11)

3 KEHV
Punktid
 
Säutsu twitteris





MATEMAATIKA TÄIENDÕPE


VALEMID JA MÕISTED





KOOSTANUD LEA PALLAS



















SAATEKS


Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid , mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud..











KREEKA TÄHESTIK


Α α alfa Ν ν nüü
Β β beeta Ξ ξ ksii
Γ γ gamma Ο ο omikron
Δ δ delta Π π pii
Ε ε epsilon Ρ ρ roo
Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma
Η η eeta Τ τ tau
Θ θ teeta Υ υ üpsilon
Ι ι ioota Φ φ fii
Κ κ kapa Χ χ hii
Λ λ lambda Ψ ψ psii
Μ μ müü Ω ω oomega



  • ARITMEETIKA
  • Mõningate arvude kõrgemad astmed

  • Hariliku murru põhiomadus
    Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.
    Kui , siis
    (murru laiendamine),
    (murru taandamine ).
  • Tehetevahelised seosed





  • Tehted harilike murdudega
  • Tehete põhiomadused

    Vahetuvus ehk kommutatiivsus :


    Ühenduvus ehk assotsiatiivsus :
    Jaotuvus ehk distributiivsus:
    Sulgude avamine :
    1.6 Protsent ja promill
    Üks protsent
    on üks sajandik osa tervikust (arvust).
    Üks promill
    on üks tuhandik osa tervikust (arvust).
    Arvude a ja b suhe protsentides on .
    Kui
    arvust a on m, siis

    1.7 Arvu absoluutväärtus


    Arvu a absoluutväärtus
    on arvteljel sellele arvule vastava punkti kaugus nullpunktist .



  • ALGEBRA
  • Astmed
    Astmeks
    nimetatakse korrutist, mille kõik tegurid on võrdsed arvuga a (astme alus) ja tegurite arv on n ( astendaja ):
    , ,
    kus
    on naturaalarvude hulk alates arvust 1:
    Astendaja 0 defineeritakse võrdusega , milles .
    Negatiivse astendaja korral sisaldab astendamine ka jagamise:
    , kui
    ja
    või kui
    ja ,
    kus
    on täisarvude hulk ja
    on ratsionaalarvude hulk:
    , .
    Murrulise astendaja korral sisaldab astendamine juurimise:
    , kui ,
    kus
    on naturaalarvude hulk alates arvust 2:
    Tehted astmetega


  • Juured
    Arvu a n-ndaks juureks nimetatakse arvu (tähistatakse ), mille astendamisel arvuga n saadakse arv a:
    Arv a on juuritav ja arv n on juurija.

    Juure omadused


  • Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur .
  • Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt.
  • Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne.
  • Iga n korral .
  • .
  • .

    Tehted juurtega


    , kui
    (või kitsendusteta, kui )
    , kui
    ja
    (või kitsendusteta, kui )
    , kui
    ja
    , kui
    ja
    (või kitsendusteta, kui )
    , kui
    või kui
    ja
    , kui
    või kui
    ja
    , kui
    ja
    või kui
  • Korrutamise abivalemid







  • Hulkliikme lahutamine teguriteks








  • Ruutvõrrand

    Mittetäielikud ruutvõrrandid


    Täielikud ruutvõrrandid
    (Viète´i valemid)
    Biruutvõrrand
    Biruutvõrrandi üldkuju on . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat . Saadakse uus võrrand , mille lahendid on
    ja. Paigutades y positiivsed väärtused võrdusesse , saame
    1) , millest
    2) , millest .
  • Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine
    milles
    on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi
    lahendid).
    milles
    on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi
    lahendid).
  • Determinandid
    Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri :
    Kolmandat järku determinandi arvutamise eeskiri:
    Skeemi kolmandat järku determinandi arvutamiseks nimetatakse Sarrus`i reegliks:


  • Lineaarvõrrandisüsteem

    Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem


    Kui süsteemi determinant , siis
    kus
    Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem
    Kui süsteemi determinant , siis
    kus
  • Võrratus


    Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk (), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks.
    Võrratuse omadused
  • Kui , siis .
  • Kui ja , siis .
  • Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu):
    kui , siis .
  • Võrratuse märk jääb samapidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga:
    kui
    ja , siis .
  • Võrratuse märk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga:
    kui
    ja , siis .
    Võrratust, mis sisaldab muutujat, saab lahendada.
    Võrratuste lahendamisel on järgmised reeglid:
  • liikme märk muutub vastupidiseks, kui kanda ta võrratuse ühelt poolelt teisele;
  • võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama positiivse arvuga jääb võrratuse märk endiseks;
  • võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama negatiivse arvuga muutub võrratuse märk vastupidiseks;
  • võrratuse pooli ei tohi korrutada ega jagada muutujat sisaldava avaldisega, mille märk pole teada, sest siis võime saada esialgse võrratusega mittesamaväärse võrratuse.
  • Lineaarvõrratus
    Lineaarvõrratuseks ehk esimese astme võrratuseks nimetatakse võrratust, millele saab anda ühe kujudest . Kaht esimest nimetatakse rangeteks, kaht viimast aga mitterangeteks võrratusteks.
    Kui
    ja , siis .
    Kui
    ja , siis .
    Teised lineaarvõrratused lahendatakse analoogselt.
    Kui , siis saadakse arvvõrratus (see ei ole lineaarvõrratus). Tõese arvvõrratuse lahenditeks on kõik reaalarvud. Mittetõese arvvõrratuse puhul lahendid puuduvad.
  • Ruutvõrratus


    Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust


    või
    ( ka ).
    Näiteks ruutvõrratuse
    lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni
    positiivsuspiirkonna leidmist . Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi
    lahendid
    ja . Esineda võivad järgmised kolm juhtu.
  • . Ruutvõrrandil on kaks erinevat lahendit ja . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on võrratusel järgmised lahendid:

    Lahendid: .
    Lahendid: .

  • , siis . Graafik puudutab x-telge:
    Lahendid:
    Lahendid puuduvad

  • . Nullkohad puuduvad. Graafik ei lõika x-telge, on terves ulatuses ülal- või allpool x-telge:
    Lahendid .
    Lahendid puuduvad

    Võrratusi
    ja
    saab lahendada ka järgmiselt:
  • Kõrgema astme võrratus


    Olgu
    algebraline hulkliige (polünoom), mille pealiikme (kõrgeima astmega liikme) kordaja on :
    Kõrgema astme võrratuseks nimetatakse võrratust
    või
    ( ka ).
    Kõrgema astme võrratuse lahendamiseks leiame vastava hulkliikme nullkohad. Kandes need nullkohad arvsirgele (x-teljele), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ja ülalt, kui pealiikme kordaja
    ning paremalt ja alt, kui . Seejuures mingit nullkohta läbime x-telge lõigates, kui selle nullkoha järk on paaritu arv, ning puutudes, kui nullkoha järk on paarisarv .
    Joonisel on esitatud näide, kus nullkohtade
    ja
    järgud on paarisarvud , nullkohtade
    ja
    järgud aga paaritud . Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni
    skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid.

  • Murdvõrratus
    Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust kujul
    ( või ).
    Selline võrratus on samaväärne võrratusega
    ( või ).
    Seega taandub murdvõrratuse lahendamine kõrgema astme võrratuse lahendamisele.
    Mitterangete võrratuste ( ) korral kuuluvad lahendite hulka ka lugejas oleva polünoomi nullkohad.
    Murdvõrratuse lahendite hulka ei kuulu nimetajas oleva polünoomi nullkohad.
  • Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused


    Absoluutväärtuse definitsioon:
    Vastavalt absoluutväärtuse definitsioonile:
  • võrratuse lahendihulk on ;
  • võrratuse lahendihulk on ;
  • võrratuse lahendihulk on ;
  • võrratuse lahendihulk on .
    Nende nn. põhivõrratuste abil on võimalik leida keerukamate võrratuste lahendihulgad.
  • Aritmeetiline jada
    Aritmeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on kontantne.
    Jada vahe:
    Üldliige: .
    Esimese n liikme summa:
    või .
  • Geomeetriline jada


    Geomeetiline jada on arvude jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on kontantne.
    Jada tegur: .
    Üldliige: .
    Esimese n liikme summa:
    ehk .
  • Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada


    Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus .
    Jada summa: .
    Üldliige: .


  • Logaritmid
    Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b.
    Asendades teises võrduses c, saame samasuse
    Vastav samasus kümnendlogaritmide korral:
    Naturaallogaritmide korral:
    Logaritmide omadused
  • .
  • .
  • , kui .
  • , kui .
  • , kui .
  • , kui .
  • 80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
    Vasakule Paremale
    Valemid ja mõisted #1 Valemid ja mõisted #2 Valemid ja mõisted #3 Valemid ja mõisted #4 Valemid ja mõisted #5 Valemid ja mõisted #6 Valemid ja mõisted #7 Valemid ja mõisted #8 Valemid ja mõisted #9 Valemid ja mõisted #10 Valemid ja mõisted #11 Valemid ja mõisted #12 Valemid ja mõisted #13 Valemid ja mõisted #14 Valemid ja mõisted #15 Valemid ja mõisted #16 Valemid ja mõisted #17 Valemid ja mõisted #18 Valemid ja mõisted #19 Valemid ja mõisted #20 Valemid ja mõisted #21 Valemid ja mõisted #22 Valemid ja mõisted #23 Valemid ja mõisted #24 Valemid ja mõisted #25 Valemid ja mõisted #26 Valemid ja mõisted #27 Valemid ja mõisted #28 Valemid ja mõisted #29 Valemid ja mõisted #30 Valemid ja mõisted #31 Valemid ja mõisted #32 Valemid ja mõisted #33 Valemid ja mõisted #34 Valemid ja mõisted #35 Valemid ja mõisted #36 Valemid ja mõisted #37 Valemid ja mõisted #38 Valemid ja mõisted #39 Valemid ja mõisted #40 Valemid ja mõisted #41 Valemid ja mõisted #42 Valemid ja mõisted #43 Valemid ja mõisted #44 Valemid ja mõisted #45 Valemid ja mõisted #46 Valemid ja mõisted #47 Valemid ja mõisted #48 Valemid ja mõisted #49 Valemid ja mõisted #50 Valemid ja mõisted #51 Valemid ja mõisted #52 Valemid ja mõisted #53 Valemid ja mõisted #54
    Punktid 5 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 5 punkti.
    Leheküljed ~ 54 lehte Lehekülgede arv dokumendis
    Aeg2008-09-30 Kuupäev, millal dokument üles laeti
    Allalaadimisi 966 laadimist Kokku alla laetud
    Kommentaarid 11 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
    Autor Hunter Õppematerjali autor

    Lisainfo

    Teemad:
    Aritmeetika
    Algebra
    Trigonomeetria
    Matemaatiline analüüs
    Planimeetria
    Stereomeetria
    Vektorid
    Analüütiline geomeetria
    Kombinatoorika ja tõenäosusteooria

    valemid+mõisted

    Mõisted


    Kommentaarid (11)

    rasmusk2 profiilipilt
    Rasmus K2: väga hea ja põhjalik
    20:45 20-11-2009
    reinart1 profiilipilt
    Reinart Loidap: vääga hea!! tänud:D
    20:36 28-09-2010
    pillmann123 profiilipilt
    Hendrik Pillmann: aitas... väga hea (Y)
    23:24 17-01-2011


    Sarnased materjalid

    17
    doc
    Valemid ja Mõisted
    4
    doc
    Matemaatika mõisted
    816
    pdf
    Matemaatika - Õhtuõpik
    108
    doc
    MATEMAATIKA TÄIENDÕPE-Valemid
    156
    pdf
    Kõrgem matemaatika
    273
    pdf
    Lembit Pallase materjalid
    32
    doc
    Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega
    246
    pdf
    Funktsiooni graafik I õpik





    Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
    Kasutajanimi / Email
    Parool

    Unustasid parooli?

    UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
    Pole kasutajat?

    Tee tasuta konto

    Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun