Tartu Ülikool Teaduskool
VÕRRATUSED
Metoodiline juhend TÜ Teaduskooli õpilastele
Koostanud Hilja Afanasjeva Jüri Afanasjev
Tartu 2003 Juhendmaterjal on jätkuks TÜ Teaduskooli I kursusel läbitöötatud brosüürile E.
Tamme "Algebraliste võrrandite lahendamisest". Vaadeldakse kõrgema astme
võrratuste lahendamist intervallmeetodiga, absoluutväärtusi sisaldavaid võrratusi ja
juurvõrratusi. Õppematerjali koostamisel kasutatud kirjandus: Abel, E. jt Aritmeetika ja algebra. Tartu, 1984 Gabovits, J. Võrratused. Tartu, 1970 Jürimäe, E., Velsker , K. Matemaatika käsiraamat IX - XI klassile. 2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva , 1984 (vene keeles).
2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist , mis on omavahel seotud märkidega >, või Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse
tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse
tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida
selle kõik lahendid . Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad
moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende
võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle
süsteemi kõiki võrratusi. Harilikult moodustab võrratuse (või võrratuste süsteemi) lahendite hulk ühe
või mitu arvpiirkonda. Arvpiirkond võib olla : 1) vahemik ] a, b [ - kõigi ahelvõrratust a reaalarvude hulk, kus a ja b on mingid kindlad arvud; näiteks a = -2, b = 5 korral vahemik ] -2,5 [
on reaalarvude hulk -2 ja 5 vahel, arvud -2 ja 5 ei kuulu ise sellesse vahemikku; 2) lõik [ a, b ] - kõigi ahelvõrratust a x b rahuldavate reaalarvude hulk
(seega lõik sisaldab oma otspunkte); 3) poollõik [ a, b [ , mille määrab ahelvõrratus a x Kõigi reaalarvude hulk (kogu arvtelg) moodustab vahemiku ] - , [ , mille
määrab ahelvõrratus - a. Arvust a väiksemate reaalarvude hulk on vahemik ]-, a[, mille
määrab võrratus x Niisiis : lahendada võrratus (võrratuste süsteem) tähendab leida arvpiirkonnad
milles võrratus (süsteem) on rahuldatud. Märgime, et võrratusel võivad lahendid
üldse puududa , seda võivad rahuldada kõik reaalarvud või ainult üksikud arvud. Et
arvpiirkond ise on määratud võrratustega, mida nende lihtsuse tõttu nimetame elementaarvõrratusteks, siis tähendab võrratuse (süsteemi) lahendamine sellele
vastavate elementaarvõrratuste väljaselgitamist. Võrratuse (süsteemi) lahendamisel asendatakse see järkjärgult lihtsamate
võrratustega (süsteemidega), kuni jõutakse elementaarvõrratusteni. Sellises
. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3
märk vastupidiseks.
Näiteks: Kui 3<7, siis 7>3.
Võrratuse liikmeid võib viia ühelt võrratuse poolelt
teisele, muutes üleviidava liikme märki.
Näiteks: Kui 8>3, siis 8-3>0.
Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada)
nullist erineva arvuga. Negatiivse arvuga jagades
võrratuse märk muutub! Positiivse arvuga jääb
samaks.
Näiteks: Kui 5<7 |·3, siis 15<21.
Aga 5< 7 |·(-3), siis -15>-21.
Võrratuse lahend
Kui võrratus sisaldab muutujat, siis
saame rääkida võrratuse
lahendamisest.
Võrratuse neid muutuja väärtusi, mille
korral võrratus osutub tõeseks nim.
võrratuse lahendeiks ja kõiki koos
võrratuse lahendihulgaks.
Võrratuse lahendid on
enamasti reaalarvude
piirkonnad.
Reaalarvude piirkondade märkimiseks
kasutatakse järgnevaid sümboleid:
Lõik axb
x[a;b]
Vahemik a
a >b a+m>b+m a b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ).
Lahendus. (x 2)(x + 1) > 0 X0 x 2 = 0 või x + 1 = 0 x1 = 2 x2 = 1 5 Joonise tegemiseks teeme kindlaks x2 ees oleva märgi, selleks korrutame võrratuses x-ga liikmed omavahel. Praeguses näites x · x = x2. Kuna x2 ees on positiivne arv, avaneb parabool üles. Vastu s. L = ( ;1) (2; ). Ülesanne 4. Lahenda võrratus. 1) (3x 4) (7 2x) 0 2) (5 2x)(1 5x) 0 3) (9 2x)(3 x) < 0 4) (5x + 10)(2 3x) > 0 5) (2x + 1)(x 2) 0 6) (4x 5) (1 x) < 0 7) (x 1)(3 x) 0 8) (2x 5)(3x + 2) 0 1 1 1 1 1 2 1 - ;1 3 ; - ; 2 ; 3;4 - 2; - ;2 Vastused. 3 2 ; 5 2 ; 2; 3; 2 ; ( - ;1) 1 1 ; 2 1
Lineaarsete võrratuste süsteemid © T. Lepikult, 2003 Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendamine Võrratuste süsteemi lahendamisel tuleb lahendada iga süsteemi kuuluv võrratus eraldi. Süsteemi lahediks on saadud arvuhulkade ühisosa. Näide x > 3 Võrratuste süsteemi x < 6 lahendiks on vahemik (3; 6), kuna vaid sellesse vahemikku kuuluvad arvud rahuldavad mõlemat süsteemi kuuluvat võrratust. Vastuse võib esitada kujul x (3; 6) või 3 < x < 6. Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3)
võrratuse lahendiks hulk X (2;0) (0;1) Murdvõrratus Võrratust, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas, nimetatakse murdvõrratuseks. Murdvõrratus esitub kujul: f ( x) 0 (või 0) g ( x) f ( x) 0 (või 0) g ( x) Murdvõrratus f ( x) Vaatame võrratust kujul 0 g ( x) selline võrratus on samaväärne seostega f ( x) g ( x) 0 g ( x) 0 Murdvõrratuse lahendamisel saab kasutada intervallimeetodit. Vaatame seda täpsemalt näidete varal. Näide 4 2 Näide Lahendame võrratuse 1. x 1 Lahendus Kanname kõik liikmed võrratuse ühele poolele 2 1 0 x 1 ja viime ühisele nimetajale 2 x 1
Juhul, kui väärtus on positiivne, märke ei muudeta. Antud juhul: Piirkond: ]-;-1] Võrrand: -x+2-x=2-x-1 -> x=1 (EI SOBI PIIRKONDA) Piirkond: ]-1;0] Võrrand: -x+2-x=2+x+1 -> x1=-1/3 Piirkond: ]0;2] Võrrand: -x+2+x=2+x+1 -> x=-1 (EI SOBI P.K) Piirkond: ]2;[ Võrrand: x-2+x=2+x+1 -> x2=5 Seega võrrandi lahendid on -1/3 ja 5. 4. Võrratused ja võrratussüsteemid Lineaarvõrratus Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 3(x-1)+5>2x-6 -> 3x-3>4x-6 -> -x>-3|:(-1) -> x<3 Juhul, kui jagad võrratust negatiivse arvuga, muutub võrratuse märk! Ruutvõrratus Ruutvõrratust on kõige kergem lahendada intervallmeetodiga. Selleks tuleb esimesena võrdustada võrratus nulliga ning lahendada ruutvõrrand.
RUUTVÕRRATUSED Võrratust, mis esitub kujul ax2 + bx + c > 0, kus a ≠ 0, nimetatakse ühe muutujaga ruutvõrratuseks. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, ≥ või ≤. Ruutvõrratusi on üldjuhul mõistlik lahendada järgmise skeemi järgi: a) Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0 b) Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c c) Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Vaatleme mõningaid näiteid, lahendame võrratused a) x2 – 2x – 3 > 0 b) x(x + 1) ≥ 0 c) –x2 – 2x > 0 d) x2 + 2x + 3 < 0 e) x2 + 4x + 4 ≥ 0 f) x2 – 4x + 4 < 0 a) b) L ;1 3; L ;1 0; © Allar Veelmaa 2014 12 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium
Kõik kommentaarid