Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika (0)

Teooria eksami probleemid 
 
I osa Tõenäosusteooria  
 
1.  TT ja MatStat kui üksteise pöördteadused.  
Tõenäosusteooria  on   matemaatika   osa,  mis  uurib  juhuslike  nähtuste  üldisi  seaduspärasusi  sõltumatult  nende  nähtuste 
konkreetsetsest  sisust  ja  annab  meetodid  nendele  nähtustele  mõjuvate  juhuslike  mõjude  kvantitatiivseks  hindamiseks. 
Juhuslikkusel  põhinev   lähenemine   nõuab  erilisi   meetodeid ,  mida  võimaldab  tõenäosusteooria.  Matemaatiline  statistika  on 
matemaatika  osa,  mis  uurib  statistiliste  andmete  kogumise,  süstematiseerimise,  töötlemise  ja  statistiliste  järelduste  tegemise 
meetodeid. Matemaatilise statistika eesmärgiks on statistiliste seaduspärasuste avastamine ja kirjeldamine. 
 
2.  Defineerige sündmuste algebra . Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet 
Sündmuste  algebra  koos  tema  määratud  tõenäosusmõõduga  moodustavad  tõenäosusruumi.  Mõnikord  on  kasulik  sündmuste 
sigma -algebrast  mõelda  ka  kui  informatsioonist  selle  kohta,  millistesse  Ω  alamhulkadesse  kuulumist  suudab  vaateleja  temale 
antava (sageli osalise) informatsiooni põhjal kindlaks teha. Mida rohkem informatsiooni vaatelja katsetulemuse kohta saab, seda 
rohkem hulki sisaldab ka vastav sigma-algebra. 
Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 
1)  ∅,Ω ∈ F0 (Ω  Ā ∈ F0 
3)  A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 
Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} 
a.  F = {∅,Ω} 
b.  A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} 
c.  F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6},{2,4}} 
Nt2 Tihti pakub huvi väikseim sigma-algebra, mis sisaldab mingitfikseeritud sündmuste komplekti. Sel juhul öeldakse, et sigma-
algebra on industreeritud vaadeldava sündmuste komplekti poolt. Olgu Ω=[0, 1] ning A = [0, ¾), B = [1/2,1]. Siis sündmuste A ja 
B poolt indutseeritud sigma-algebraks on 
F = {∅,[0,1/2),[1/2,3/4),[3/4,1],A,B,[0,1/2)U[3/4,1],Ω} 
Punkti  juhuslikul  valimisel  lõigust  [0,1]  on  loomulik  lugeda  sündmusteks  valitud  punkti  sattumist  osalõikudesse  [a,b],  kus(a 
väiksemvõrdne b). Seega pakub suurt huvi ka vähim sigma algebra, mis sisaldab kõiki osalõike. 
 
3.  Tõenäosuse  aksiomaatiline  definitsioon.  Tõestada  aksioomide  põhjal,  et tühja  hulga  tõenäosus  on  null.  Tuletada 
liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul 
Def: Olgu Ω mingi hulk, mille element ω me  nimetame  elementaarsündmuseks. Olgu S hulga Ω mingi alamhulkade 
hulk. Hulga S elemente nimetame juhuslikeks sündmusteks ja hulka Ω elementaarsündmuste ruumiks. 
Hulka S nimetame hulga Ω hulkade algebraks, kui 1) Ω∈ S 2) A∈S ja B∈S => AUB ∈ S ja AÜB ∈S ja A/B ∈S 
Tühja hulga tõenäosuse tõestamine: 
1)  P(∅) = 0 tõestus: on ilmne, et ∅+∅=∅ ja ∅*∅=∅. Seega P(∅) = P(∅+∅) = P(∅) + P(∅) => P(∅) = 0. 
Liitmislause: on selge, et A+B = A\B + B\A + AB ja (A\B)AB = ∅; (B\A)AB = ∅; (A\B)(B\A) = ∅. A = A\B + AB 
ja B = (B\A) + AB. Seega P(A\B) = P(A) – P(AB); P(B\A) = P(B) – P(AB). 20 põhjal  same , et P(A+B) = P(AB) + 
P(A\B) + P(B\A) = P(AB) + P(A) – P(AB) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)   
2)  AB = ∅ => P(A+B) = P(A) + P(B); P(∑ ∞
∞
i=1 Ai) = ∑i=1 P(Ai) 
P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) 
 
4.  Tõenäosuse klassiklaline ja geomeetriline interpretatsioon. Nende põhimõtteline erinevus. 
Klassikaline – kasutatakse juhul, kui | Ω |  A = ∅; geomeetriline P(A) = 0 ≠> A = ∅. 
 
5.  Teoreetiline ja statistiline tõenäosus. Nende vaheline seos tuginedes Suurte Arvude Seadusele 
 ( )
Teoreetiline – tõenäosust P*(A) nimetatakse sündmuse A teoreetiliseks tõenäosuseks, kui lim    |
    ( )| = 0