Sirge võrrand ruumis (3)

Sarnased õppematerjalid

24

doc

ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID

mass, töö). Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel.   Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse   AB  AB , a  a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1.

Matemaatika

10

doc

Analüütilise geomeetria valemid

26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand x ­ xA y ­ yA z ­ zA = = l m n x ­ xA y ­ yA z ­ zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB ­ x A yB ­ y A z B ­ z A

Analüütiline geomeetria

10

doc

Analüütilise geomeetria valemid

26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand x ­ xA y ­ yA z ­ zA = = l m n x ­ xA y ­ yA z ­ zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB ­ x A yB ­ y A z B ­ z A

Analüütiline geomeetria

5

doc

algebra konspekt

kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuldavad joone L kõikide punktide koordinaadid ja ainult need. Näiteks ringjoon raadiusega r ja keskpunktiga C(a,b) on niisuguste

Algebra ja analüütiline geomeetria

54

doc

Valemid ja mõisted

2 p p x + px + q = 0 2 x1, 2 = - ± - q 2 2 x 2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p ja x1 x2 = q (Viète´i valemid) 9  Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) ,

Matemaatika

4

doc

Lineaar algebra teooria kokkuvõte

Def. Öeldakse, et kaks lvs-i on ekvivalentsed, kui neil on samad lahendihulgad. Eesmärgiks on saada selline lvs, kust lahend oleks kohe välja loetav. Uus lvs saadakse tundmatute järk-järgulise süstemaatilise elimineerimise teel. Selleks kasutatakse kolme liiki teisendusi, mida nim lvs elementaarteisendusteks: 1)süsteemi mistahes võrrandit korrutada nullist erineva arvuga 2)vahetada süsteemi kaks võrrandit omavahel 3)süsteemi mistahes võrrandile liita juurde mingi arv kordne teine võrrand samast süsteemist. Teo.51. lvsi elementaarteisendused ei muda lvsi lahendihulka. Märkus: Võrrsüs laiendatud maatriksi väljakirjutamisel peavad igas võrrandis esinema tundmatud samas järjekorras ja vabaliikmed peavad olema paremal. Igale võrrandile lvsis vastab süsteemi laiendatud maatriksi üks kindel rida. Teostades ülalkirjeldatud teisendusi lvsi võrranditega, saame ka uuele süsteemile välaj kirjutada laiendatud maatriksi

Lineaaralgebra

26

docx

Lineaaralgebra eksami kordamisküsimused vastused

25.Rakendused: jõu moment punkti suhtes- Oletame, et meil on vaadeldavale massipunktile P rakendatud jõud F ja me tahame leida selle momendi punkti A suhtes. Jõu moment punkti A suhte on võrdne vektorkorrutisega M A ( F )= AP × F masspunkti liikumishulga moment- massipunkti liikumishulga momendiks mingi tsentri suhtes nimetatakse vektorkorrutist L=r × K =r ×(mv) 26.Segakorrutis-Segakorrutamine on antav ainult kolmemõõtmelises ruumis. Kolme vektori x , y , z ∈ E 3 segakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse xyz abil ja mis antakse valemiga xyz=(x × y ) ∙ z 27.segakorrutamise omadused-  xyz= yzx =zxy=− yxz=−zyx=−xzy  Vektorite a,b,c segakottutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga |abc|=V rt (a , b , c)

Matemaatiline analüüs 1

108

doc

MATEMAATIKA TÄIENDÕPE: Valemid

p  p x  px  q  0 2  x1, 2       q 2  2 x 2  px  q  0  x1  x2   p ja x1  x2  q (Viète´i valemid) 9  Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4  bx 2  c  0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x  y . Saadakse uus võrrand ay 2  by  c  0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2  y , saame 1) x 2  y1 , millest x1,2   y1 ; 2) x 2  y2 , millest x3,4   y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2  px  q   x  x1   x  x2  , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2  px  q  0 lahendid). ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x2  ,

Algebra I

Kommentaarid (3)