37. Sirge võrrand antud tõusu ja algordinaadiga. y = k x + b 38. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud normaalvektoriga n = ( A: B ) A A ( x xA ) +B (y yA ) = 0, kus sirge tõus k = tan = B A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b = B B 40. Sirge üldvõrrandi uurimine: a) C = 0 , sirge läbib koordinaatide alguspunkti Ax+By=0 b) B = 0 , sirge on paralleelne y teljega Ax+C=0 x=a c) A = 0 , sirge on paralleelne x teljega By+C=0 y=b d) B = C = 0 , y telje võrrand x=0
37. Sirge võrrand antud tõusu ja algordinaadiga. y = k x + b 38. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud normaalvektoriga n = ( A: B ) A A ( x xA ) +B (y yA ) = 0, kus sirge tõus k = tan = B A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b = B B 40. Sirge üldvõrrandi uurimine: a) C = 0 , sirge läbib koordinaatide alguspunkti Ax+By=0 b) B = 0 , sirge on paralleelne y teljega Ax+C=0 x=a c) A = 0 , sirge on paralleelne x teljega By+C=0 y=b d) B = C = 0 , y telje võrrand x=0
........................................25 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised seosed...........................................................25 Kahe nurga summa ja vahe siinus...................................................................................... 25 Kahe nurga summa ja vahe koosinus................................................................................. 26 Kahe nurga summa ja vahe tangens................................................................................... 26 Taandamisvalemid..................................................................................................................26 Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid............................................................... 27 Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid............................................................................ 27
Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon
Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0 I ühtivad: a1/a2=b1/b2=c1/c2 II paralleelsed: a1/a2=b1/b2 III lõikuvad a1/a2 cos(fii)=s*t/|s|*|t| = s1*t1+s2*t2/(ruutjuur s12 + s22) + (ruutjuur t12 + t22)
A(4;-3) ning sirge tõus on k=-2 y 3 2( x 4) y 2 x 5 Tõusu ja algordinaadiga sirge võrrand y kx b y=2x- 3 algordinaat sirge tõus 2 1 Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib y-telge punktis -3 ning sirge tõus on k=4 y 4x 3 y 4x 3 Kahe punktiga määratud sirge võrrand y P(x;y) B(x2;y2) y y1 x x1 A(x1;y1) x y2 y1 x2 x1 s y y1 Lõigu AP tõus on x x1 y2 y1 y y1 y2 y1 x2 x1 x x1 Lõigu AB tõus on x2 x1 Näide.
· vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga arvutamine; · ringjoone ja parabooli võrrandite koostamine; · sirgete, ringjoonte ja paraboolide (kui selle telg on y-telg või y-teljega paralleelne sirge) joonestamine nende võrrandite järgi; · mistahes joone (ka funktsiooni graafiku) skitseerimine selle võrrandi järgi; · kahe joone lõikepunktide leidmine. Valemid · Lineaartehted vektoritega
Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge vektorvõrrand ja sirge kanoonilised võrrandid Kui vektor r-r1 on paralleelne vektoriga s ja paralleelsete vektorite vektorkorrutis on 0, siis s(r- r1)=0, so sirge vektorvõrrand. Võrrandeid x-x1/s1= y-y1/s2= z-z1/s3 nim sirge kanoonilisteks võrranditeks ruumis. X-x1/s1=y-y1/s2 on sirge kanoonilinr võrrand tasandil. Kahe antud punkti läbiva sirge võrrand
180o = rad ; 1o = rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a
- Sirge tõus ja tõusunurk x 2 - x1 y - y1 = k ( x - x1 ) - Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y = kx + b - Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand x - x1 y - y1 - Kahe punktiga määratud sirge võrrand = x 2 - x1 y 2 - y1 x - x1 y - y1 = - Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand sx sy Ax + By + C = 0 , A, B, C Z - Sirge üldvõrrand
cos sin(90 ) 1 tan cot(90 ) tan(90 ) © Allar Veelmaa 2014 16 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium TAANDAMISVALEMID Taandamisvalemid on valemid, mis võimaldavad mistahes nurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmise taandada teravnurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmisele. Taandamisvalemeid ei tule pähe õppida, kasulik on meelde jätta skeem Selle skeemi järgi on näha, et siinuse väärtus on positiivne esimese ja teise veerandi nurga korral, koosinuse väärtus on positiivne esimese ja neljanda veerandi nurga korral ning tangensi väärtus on positiivne esimese ja kolmanda veerandi nurga korral. Näited skeemi kasutamise kohta (vaata ka skeemi)
DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a NEGATIIVSE NURGA SIINUS,KOOSINUS,TANGENS JA KOOTANGENS. sin (- a) = -sin a cos (- a) = cos a tan (- a) = -tan a cot (- a) = -cot a KAHEKORDSE NURGA SIINUS, KOOSINUS, TANGENS JA KOOTANGENS. sin 2a =2sin a cos a cos 2a =cos2 a - sin2 a cos 2a = 2 cos2 a -1 cos 2a = 1- 2 sin2 a tan 2a = 2 tan a/ (1 - tan2 a) cot 2a = cot2 a - 1/ (2cot a) NURKADE TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE VÄÄRTUSED. 0 30 45 60 90 sin 0 0.5 1 cos 1 0,5 0 tan 0 1 puudub
2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse
1o rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus ; sin , sin hüpotenuus c c lähiskaatet b a
x y ( z1 + z 2 ) = x yz1 + x yz 2 (x ) yz = x(y) z = xy(z) =( xyz) Segakorrutise koordinaadid parema käe ristkoordinaatide kaudu: SIRGE VÕRRAND:Sirge võrrandid: Poolus suvaline punkt O E Punkti kohavektor pooluse O suhtes - nimetatakse vektorit OX Joonis: Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt OX =OA +AX. Tähistame sirge s fikseeritud punkti A ning suvalise punkti X kohavektoreid edaspidi lühemalt: a :=OA, :=OX. Sirge sihivektor Sirge sihivektoriks nimetatakse sirge suvalise 2 erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on s. Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingi sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t. s = , kus AB s. Joonis: Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1,A2) nimetatakse sirge s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks
paralleelseteks nimetatakse vektoreid, mis asetsevad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. Vektorid on võrdsed, siis kui nad on võrdsete pikkustega, kollineaarsed ja samasuunalised. Vastandvektorid on vektorid, mis on võrdse pikkusega, samasihilised kuid vastassuunalised. Vektorit tasandil saab esitada arvupaari abil, milles olevaid arve nimetatakse koordinaatideks. Esimene koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda x-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Teine koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda y-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Vektoreid saab liita algebraliselt ja geomeetriliselt. Kahe vektori liitmisel algebraliselt tuleb vektorite vastavad koordinaadid liita, tulemuseks saadakse vektor. a + b ( ax + bx ; ay + by ) Geomeetrilisel liitmisel kasutatakse kolmnurgareeglit ja rööpkülikureeglit. Rööpkülikureegel: Vektorid rakendatakse ühisesse alguspunkti. Ehitame rööpküliku mille
pikkus vôivad olla erinevad). 14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). Vektori korrutamine arvuga vektori korrutamisel arvuga suureneb tema pikkus vôrdeliselt (siht ei muutu). Samasuunaline kui arv > 0, vastassuunaline kui arv <0. Vektorite liitmine ja lahutamine: 1) Liitmine: a) Kolmurgareegel liidetavat vektorid ühendada järjest summavektor tômmata esimese alguspunktist viimase lôppunkti; b) Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. 2) Lahutamine alguspunktid on samad; vahevektor tômmata teise lôpp-punktist (lahutatav vektor) esimese lôpp-punkti. 15. Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori projektsioonid. Vektori koordinaadid. Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks: nim. antud vektori esitamine telgedesuunaliste
sirge langeks? Kuidas joonestatakse sirget, kui Nimetaja näitab liikumist x- tõus on murd? teljel ja lugeja y-teljel Millise nurga moodustab langev Nurga, mis on suurem kui 90º sirge? Kuidas koostatakse sirge Y=kx+b B=3;k=2 võrrand, kui teada on b=algordinaat y=2x+b algordinaat ja tõus? k=tõus Milline on kahe punktiga X-x1 = y-y1 määratud sirge võrrand? x2-x1 y2-y1 Kuidas koostatakse sirge y-y1=k(x-x1) A(3;2) k=5 võrrand, kui teada on üks punkt k=tõus y-2=5x-15 ja tõus? y=5x-13 y1; x1= punktid Milline on sirge võrrand X _ Y =1 telglõikudes
u v uv · Kahe punkti vaheline kaugus tasandil d = AB = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 , kui A ( x 1 ; y1 ), B( x 2 ; y 2 ) Sirge tasandil · Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0 s = ( - B; A ) · Tõusuga k ja algkordinaadiga b määratud sirge y = kx + b · Tõusuga k ja punktiga (x1; y1) määratud sirge y y1 = k(x x1) x - x1 y - y1 = s = ( x 2 - x 1 ; y 2 - y1 ) x 2 - x 1 y 2 - y1
14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). Korrutamine arvuga: vektrori korrutamisel arvuga, suureneb tema pikkus võrdeliselt (siht ei muutu). Samasuunaline kui arv > 0, vastassuunaline kui arv < 0. Liitmine: (liites vektorile selle vastand vektori, saame alati nullvektori.) vektorite summaks nim vektorit · Kolmurgareegel liidetavad vektorid ühendada järjest summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti; · Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. Lahutamine: Kahe vektori x ja y vahe defineeritakse kui vektori x ja vektori y vastandvektori y summa st: 15. Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori koordinaadid (mõiste, leidmine). Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks - st antud vektori esitamine
Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist aga ordinaatteljeks ehk y-teljeks. Ristkoordinaadistik tasandil: Kaks ristuvat suunaga arvsirget Alguspunktid ühtivad Ühikud on võrdsed punkti ristkoordinaadid sirgel on selle punkti kaugus null/alguspunktist. Koordinaatteljel asuva punkti P asukoht määratakse üheselt kindlaks ühe reaalarvuga x (nn punkti P koordinaadiga), mis on võrdne punkti P kaugusega |OP| telje alguspunktist O, kas neg või pos suunal. punkti ristkoordinaadid tasandil on selle punkti ristprojektsioonid abstsiss- ja ordinaatteljel. P(x;y) Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x-teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed.
Koosinusteoreem lahendada kaks kolmnurka. a2=b2+c2-2bc*cos Nürinurgast on b2=a2+c2-2ac*cos miinusega. Kõige suuremale küljele vastab kõik pikem külg jne. c2=a2+b2-2ab*cos 30o 45o 60o 90o Siinus on + I ja II veerandis sin 1/2 2/3 3/2 1 Koosinus on + I ja IV veerandis Tangens on + I ja III veerandis cos 3/2 2/2 1/2 0 tan 3/3 1 3 - II veerand: 180o antud nurk III veerand: antud nurk - 180o cot 3 1 3/3 - IV veerand: 360o antud nurk sin(± ) = sincos±cos sin cos(± ) = coscos sinsin tan(± ) = tan+tan/1 tantan sin2 = 2sincos cos2 = cos2-sin2 tan2 = 2tan/1-tan2
S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) , S= 4R kus r on kolmnurga siseringjoone raadius ja R ümberringjoone raadius. SIRGE VÕRRANDID 51. Üldvõrrand ax+by=c või ax+by+c = 0. 52. x-teljega paralleelne sirge y=a. 53. y-teljega paralleelne sirge x=b. 54. Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y= -x. 55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 57. Punktidega >A(a;0) ja B(0; b) ehk telgiõikudes määratud sirge x y + =1 a b 58. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja tõusuga k määratud sirge y - y1 = k ( x - x1 ) 59. Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y = kx + b 60
S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) , S= 4R kus r on kolmnurga siseringjoone raadius ja R ümberringjoone raadius. SIRGE VÕRRANDID 51. Üldvõrrand ax+by=c või ax+by+c = 0. 52. x-teljega paralleelne sirge y=a. 53. y-teljega paralleelne sirge x=b. 54. Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y= -x. 55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 57. Punktidega >A(a;0) ja B(0; b) ehk telgiõikudes määratud sirge x y + =1 a b 58. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja tõusuga k määratud sirge y - y1 = k ( x - x1 ) 59. Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y = kx + b 60
abc A1x + B1y + C1 = 0 S= L( x 0 ; y 0 ) 4R 34. Vekor tasandil. Joone võrrand. Punkti koordinaadid tasandil A2x + B2 y + C2 = 0 y-telg ordinaat x-telg abstsiss 35. Kahe punkti vaheline kaugus d = ( x 2 - x1 ) + ( y 2 - y1 ) 48. Ringjoone võrrand 2 2 36. Vektor. Tehted vektoritega a b ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R2 49. Fn-ide graafikud 37
B( x 2 ; y 2 ; z 2 ) : x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1 Antud on 1 sirge punkt A( x1 ; y1 ; z1 ) ja x - x1 y - y1 z - z1 = = sx sy sz s = (sx ; s y ; sz ) sihivektor : Sirge parameetrilised võrrandid: Antud on 1 sirge punkt A( x1 ; y1 ; z1 ) ja sihivektor x = x1 + ts x s = (sx ; s y ; sz ) y = y1 + ts y : z = z1 + ts z
Tõestamine vastuväiteliselt öeldakse, et esitatud väide ei kehti. Eeldusest ja väite eitusest lähtudes teisendatakse võrratust seni, kuni jõutakse vastuoluni eeldusega või mõne muu matemaatikast tuntud tõega. Sellest järeldatakse, et tehtud oletus väite mittekehtivusest oli väär ning seega peab väide olema tõene. 4.10 Nurga mõõtmine Nuri mõõdetakse nurgakraadides. Nurk 1 on 1/90 täisnurgast e 1/360 osa täispöördest. 1=60 ja 1=60=3600 4.11 Teravnurga siinus, koosinus ja tangens Nurga sin võrdub täiendusnurga koosinusega, nurga koosinus võrdub täiendusnurga sin, nurga tan võrdub täiendusnurga tan pöördväärtusega. Nurga a kasvades sin a väärtused kasvavad, cos a kahanevad ja tan a kasvavad. 4.12 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmine 4.13 Teravnurkse kolmnurga lahendamine Iseloomustades treppi, mäenõlva jne tõusu seisukohalt kasutatakse tõusunurka e nurka objekti ja horisondi vahel või siis
v(AP) = t mingi tR korral} uP <=> tR ... v(AP) = t = (ts1; ...; tsn) <=> parameetrilised võrrandid: x1 = a1 + s1t; ...; xn = an + snt elimineerime parameetrilisest võrrandist t: kanooniline võrrand (x 1 - a1) / sn = ... = (xn - an) / sn (=t) Vaatame juhtu n=2. x1 = x; x2 = y; a1 = x0; a2 = y0; s1 = sx; s2 = sy parameetrilised võrrandid x = x0 + sxt; y = y0 + syt kanooniline võrrand (x - x0) / sx = (y - y0) / sy -> sy(x-x0) = sxy-sxy0 -> syx - sxy + (-syx0 + sxy0) = 0 -> sirge üldvõrrand ax + by+c=0 y - y0 = k(x - x0); k = tan = sy/sx 31. Hüpertasand, selle normaalvektor, omadusi. Hüpertasandi erijuhud. E = (V,P) - eukleidiline ruum; R = (O; 1; ...; n) - reeper Hüpertasandiks eukleidilises ruumis E nimetatakse kõigi selliste punktide P(x1; ...; xn) hulka, mille koordinaadid x1, ..., xn rahuldavad lineaarset võrrandit a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b = 0, kus a1, ..., an ja b on fkseeritud reaalarvud ning arvude a1, ..
Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t[a,b]. Pmst sama ruumis. Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus tR. Lõigu parameetrilised võrrandid erinevad ainult parameetri t väärtustelt: need muutuvad kõigi reaalarvude asemel teatud lõigu [a,b]. Pmst sama ruumis. Kanooniline võrrand x-xo/sx=y-yo/sy. y=k(x-xo)+yo, kus k=sy/sx nim. Sirge tõusuks. See on sirge ja x-telje vahelise nurga tangens, st. k=tan. Sirge võrrand esitatakse tavaliselt üldvõrrandina. See näitab, et sirge tasandil on kahe muutuja lineaarne võrrand. Tasandi võrrandid Fikseeritud punkt ja kaks nullist erinevat mittekollineaarset vektorit määravad tasandi. Neid tasandi suunalisi vektoreid nimetatakse tasandi suunavektoriteks.Tasandi üldvõrrand A(x-xo)+B(y-yo) +C(z-zo)=0. Kahe tasandi vahelise nurga arvutamiseks piisab nende normaalvektorite vahelise tervanurga arvutamisest
tema maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Teoreem LVS-i lahendite arvust Olgu LVS-i maatriksiks A ja süsteemi laiendatud maatriksiks B ja olgu LVSis tundmatute arvuks n. 1. Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes
Joone võrrand © T. Lepikult, 2010 Joone võrrand Joone C võrrandiks ristkoordinaatides nimetame niisugust seost F(x, y) = 0 kahe muutuja x ja y vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need. Sirge, mille Parabool, mille võrrandiks on y võrrandiks on b d y + x -b = 0 y - 2 ( x - c) 2 = 0 c c d Ringjoon, mille võrrandiks on r b ( x - a) 2 + + ( y - b) 2 - r 2 = 0 a 0 c x Joone konstrueerimine tema võrrandi järgi Ülesandeks on konstrueerida joon (või funktsiooni graafik), kui on teada tema võrrand F(x, y) = 0 . Ülesande lahendami
Antud hulgas vastab parameetri väärtusele t = 0 punkt A ja parameetri väärtusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|. · Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1-a1, b2-a2, . . . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. x1 = (b1 - a1)t x2 = (b2 - a2)t ... xm = (bm - am)t , t [0, 1] · Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, ... , um) ja v = (v1, v2, ... , vm) siis on
Antud hulgas vastab parameetri väärtusele t = 0 punkt A ja parameetri väärtusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|. · Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1-a1, b2-a2, . . . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. x1 = (b1 - a1)t x2 = (b2 - a2)t ... xm = (bm - am)t , t [0, 1] · Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, ... , um) ja v = (v1, v2, ... , vm) siis on
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
