Ruutvõrratuse lahendamine 1. Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0. 2. Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c. 3. Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Näide1. Lahendame võrratuse 2x2 + 7x + 3 > 0. 2x2 + 7x +3 = 0 - 7 ± 49 - 4 2 3 - 7 ± 49 - 24 - 7 ± 25 - 7 ± 5 x= = = = 22 4 4 4 -7+5 -2 - 7 - 5 - 12 x1 = = = -0,5 ja x2 = = = -3 4 4 4 4 y = 2x2 + 7x + 3 + + -3 _ - 0,5 x Vastus. Lahendihulk on (-; -3) (-0,5; ). Näide 2. Lahendame võrratuse x2 - 2x 3 < 0. Lahendame võrrandi x2 - 2x 3 = 0. Saame x1 = 3 ja x2 = -1.
RUUTVÕRRATUS LAHENDAMINE a) Viia kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki, korrastada võrratus b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool (ka siis kui nullkohti ei ole!!!) Kui x2 ees on ’pluss’, siis avaneb parabool üles Kui x2 ees on ’miinus’, siis avaneb parabool allapoole d) Viirutada Kui võrratuses on >0, siis viirutada sealt, kus parabool on ülalpool x-telge Kui võrratuses on <0, siis viirutada sealt, kus parabool on allpool x-telge e) Kirjutada võrratuse lahend (see, mida viirutasid, see ongi lahend)
Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid ning parabool puudutab x telge punktis x1= x2. ax2 + bx + c > 0 L = ( ; x12) (x12; ) ax2 + bx + c >0 Lahendid puuduvad: L = Ø. C) Kui diskriminant D < 0, siis ruutvõrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid. Parabool ei lõika ega puuduta x telge. 2 ax2 + bx + c > 0
Sellel võrrandil on kaks võrdset lahendit x1 = x2 = 2,5. Näide 4. Lahendame ruutvõrrandi 2x2 + 3x + 20 = 0. Selles võrrandis a = 2, b = 3 ja c = 20. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 3 ± 9 - 4 2 20 - 3 ± 9 -160 - 3 ± - 151 x= = = . 22 4 4 Sellel võrrandil puuduvad lahendid, sest negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt leida. Kui a on negatiivne arv, on kasulik enne lahendivalemisse asendamist võrrandi mõlemaid pooli -1-ga jagada (või korrutada). Näide 5. Lahendame ruutvõrrandi -3x2 - 5x + 2 = 0. -3x2 - 5x + 2 = 0 : (-1) 3x2 + 5x - 2= 0 a = 3, b = 5 ja c = -2 - 5 ± 25 - 4 3 (-2) - 5 ± 25 + 24 - 5 ± 49 - 5 ± 7 x= = = =
koordinaadid. 5) Joonestage funktsiooni y x 3 3 x graafik. 6) Kirjutage välja antud funktsiooni positiivsuspiirkond. 18. (2003) Antud on funktsioon f(x) = sin 2x lõigul 0;2 . 1 1) lahendage võrrand f x . 2 2) Joonestage funktsooni y = sin 2x graafik ja kandke eelmises punktis leitud lahendid joonisele. 3) Kolmnurgas ABC olgu C 90, A ja AB = 2. Tõestage, et kolmnurga ABC pindala võrdub väärtusega f( ). 4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala väärtus oleks 1. 19. On antud funktsioon f ( x) x 2 bx (b > 0) ja g ( x) 8 2 x 2 x 9 . 1) Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse täisnurkne kolmnurk, mille üks tipp on
ülesande tingimusi 2) Kui x = 5, siis 5 + 5² = 5 + 25 = 30 ka lahend x 2 = 5 rahuldab ülesande tingimusi (lühidalt võib öelda ka, et x 2 = 5 sobib) Vastus: see arv on 6 või 5 NB! Valem (1) - antud juhul taandatud ruutvõrrandi lahendivalem kirjuta eksamiülesannet lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata. 270 Olgu I naturaalarv x , siis II on x +1 . Saame võrrandi x ( x +1) = 240 Lahendus: x ( x +1) = 240 x 2 + x - 240 = 0
Funktsiooni väärtuse Funktsiooni väärtus Andmete arvutamise koht kohal x ARVUTA sisestamine x1= y1= a= x2= y2= Nupu "ARVUTA" vajutamisel b= x3= y3= lahendatud võrrandi vastus: n= x4= y4= h= x5= y5= 2,6242658837 x6= y6= x7= y7= x8= y8= Gr x9= y9= x10= y10= x11= y11= 12 x12= y12= x13= y13= x14= y14= 10
4x2 = –21, millest x2 = – . Sellel võrrandil reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest 4 negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt. © Allar Veelmaa 2014 6 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDAMINE Võrrandisüsteemil a1x b1y c1 a2 x b2y c2 on üheselt määratud lahendid puuduvad, kui on lõpmata palju lahendeid, lahendipaar (x0; y0), kui a1 b c kui 1 1 a1 b1 c1 a1 b a2 b2 c2 1 a2 b2 a2 b2 c2 Võrrandisüsteemi võib lahendada asendusvõttega, liitmisvõttega, graafiliselt ning ka determinantide abil. Ülesanne
Kõik kommentaarid