Piirväärtus loeng 3 (1)

Piirväärtus Punkti ümbrus Punkti a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see punkt kuulub. Punkti a ümbruseks raadiusega > 0, nimetatakse arvtelje vahemikku arvust a - kuni a + . a- a a+ x
Ehk arv x kuulub arvu a ümbrusesse raadiusega , kui a- 0 x kuulub a ümbrusse raadiusega > 0: |x ­ a| 0: |f (x) ­ A| 8 Funktsiooni piirväärtus Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0, et kehtib võrratus | f (x) ­ A | kirjutatakse : lim f ( x) = A xa |x ­ a| A RA= | f (x) ­ A | R= 0 x a 9 Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0, et kehtib võrratus | f(x) ­ A | Näide Tõestame, et lim(3 x + 1) = 7. x2 Olgu antud suvaline > 0, et kehtiks võrratus (3 x + 1) - 7 Ehk arv 7 on antud funktsiooni piirväärtuseks, kui x 2. 10 Funktsiooni ühepoolsed piirväärtused 6
4
2
1 x 10 5 0 5 10
2
4
6
x +1 +1 1 -0 +0 1 lim =- lim =+ x 0 - x x 0 + x
11 Funktsiooni ühepoolsed piirväärtused Kui funktsioon f (x) läheneb piirväärtusele A1 argumendi x lähenemisel mingile arvule a nii, et x omandab ainult arvust a väiksemaid väärtusi, siis kirjutatakse lim f ( x) = A1 ja arvu A1 x a - nimetatakse funktsiooni f (x) vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a. y Kui x omandab ainult arvust a A2 suuremaid väärtusi, siis kirjutatakse A y = f(x) 1
lim f ( x) = A2 ja arvu A2 nimetatakse x a + funktsiooni f (x) parempoolseks 0 a x
piirväärtuseks punktis a. lim f ( x) = A siis ja ainult siis, kui lim f ( x) = lim f ( x) = A x a x a - x a +
12 Funktsiooni piirväärtuse arvutamine Kui eksisteerivad lim x a f ( x) ja lim g ( x) eksisteerib ka funktsioonide x a summa, vahe, korrutise, jagatise ja arvuga korrutatud funktsiooni piirväärtus ning lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) xa xa xa
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) xa xa xa
f ( x) lim f ( x) lim = xa , lim g ( x) 0