Pöördkeha ruumala arvutamine

55

pdf

Matemaatiline analüüs II loengukonspekt

Ringjoone parameetrilised võrrandid on x R cos t , t 0, 2 . y R sin t Seega 2 2 s R 2 sin 2 t cos 2 t dt R dt 2 R. 0 0 3. Pöördpinna ruumala Keha, mis tekib pideva joonega y f x , x-teljega ja sirgetega x a ja x b piiratud kõvertrapetsi (vt. joonis) pöörlemisel ümber x-telje, ruumala on b 2 V fx dx a Kui sama kõvertrapets pöörleb ümber y-telje, on tekkinud keha ruumala b V 2 xf x dx a Näide 16

Matemaatiline analüüs ii

54

doc

Valemid ja mõisted

f ( x n ) , saame asjaolu, et A on f ( x ) piirväärtus kohal a, üles märkida järgmiselt: kui x n a , siis f ( x n ) A ehk kui lim x n = a , siis lim f ( x n ) = A ja lühemalt n n lim f ( x ) = A . xa Kuna funktsiooni piirväärtus on defineeritud jada piirväärtusena, siis tugineb funktsiooni piirväärtuse arvutamine jada piirväärtuse arvutamisele. 31 Funktsiooni piirväärtuse omadused Vaatleme juhtu, kus x a . Kui lim f ( x ) = A ja lim g ( x ) = B , siis xa xa 1) lim f ( x ) ± g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B ; x a xa x a 2) lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = A B ;

Matemaatika

11

pdf

Määratud integraal

ln 2 - 2 ln 1 - 22 1 = 1 1 3 = 2 ln 2 -1 + = 2 ln 2 - 4 4 MÄÄRATUD INTEGRAALI RAKENDUSI PINDALA ARVUTAMINE MÄÄRATUD INTEGRAALI ABIL Kuna määratud integraal annab kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = f ( x ) graafiku ja x telje vahel lõigu [a, b ] ulatuses. Kui trapets asub allpool x telge, on pindala märgiks miinusmärk. Näide 1: Leida kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = sin x graafiku ja x telje vahel lõigu [0,] ulatuses S = sin x dx = -cos x 0 = 0

Matemaatika

11

doc

Määratud integraal

ln 2 - 2 ln 1 - 22 1 = 1 1 3 = 2 ln 2 -1 + = 2 ln 2 - 4 4 MÄÄRATUD INTEGRAALI RAKENDUSI PINDALA ARVUTAMINE MÄÄRATUD INTEGRAALI ABIL Kuna määratud integraal annab kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = f ( x ) graafiku ja x telje vahel lõigu [a, b ] ulatuses. Kui trapets asub allpool x telge, on pindala märgiks miinusmärk. Näide 1: Leida kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = sin x graafiku ja x telje vahel lõigu [0,] ulatuses S = sin x dx = -cos x 0 = 0

Kõrgem matemaatika

11

doc

Matemaatiline analüüs - konspekt II

tõttu abd(uv)=uv ab Asendame selle v~orduse seose (5.19) vasakusse poolde. Saame: uv ab = abvdu+abudv. Viies abvdu võrduse teisele poolele tuletame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks: abudv= uv ab - abvdu. 48. Paaris- ja paaritufunktsioonide integreerimine sümmeetrilisel lõigul: Kui paarisf-n f(x) on integreeruv lõigul [-a,a], siis -aa f(x)dx = 20a f(x)dx. Kui paarituf-n f(x) on integreeruv lõigul [a,-a], siis aa f(x)dx =0. 49. Kujundi pindala arvutamine määratud integraali abil: Kui f(x) ja g(x) on integreeruvad f-nid lõigul [a,b] ning f(x) <=g(x) (x [a,b]), siis joontega y= f(x), y=g(x), x=a ja x=b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul S= ab(g(x)-f(x))dx. Olgu lõigul [a,b] pidev f-n y=f(x)>=0 antud parameetriliste võrranditega {x=(t) ja y=(t), (t[,]), kusjuures (t) on rangelt monotoonne pidevalt diferentseeruv f-n lõigul[,]. Kui ()= a ja ()= b, siis joontega y=f(x),

Matemaatiline analüüs

108

doc

MATEMAATIKA TÄIENDÕPE: Valemid

MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α  alfa Ν ν  nüü Β β  beeta Ξ ξ  ksii Γ γ  gamma Ο ο  omikron Δ δ  delta Π π  pii Ε ε  epsilon Ρ ρ  roo Ζ ζ  dzeeta Σ σ  sigma Η η  eeta Τ τ  tau Θ θ  teeta Υ υ  üpsilon Ι ι  ioota Φ φ  fii Κ κ  kap

Algebra I

142

pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ's

Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .

Matemaatiline analüüs

142

pdf

Matemaatiline analüüs I

Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio

Matemaatika