Põhikooli matemaatika kordamine (0)

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Kui raadius suureneb 2 korda 6 korda väheneb 3 korda 5 korda?
Kui suur oli mängitud partiide arv y?
Millistes punktides lõikab parabool x telge millistes y telge?
Millist x telje punkti läbib selle parabooli telg?
Millist punkti x-teljel läbib parabooli y 2x2 6x telg?
Kui pleki kulu valtsimiseks mitte arvestada?
Kui valtsimiseks kulub 10 materjalist?
Kui pikk on telglõike diagonaal?
Kui diameeter on 76 cm?
Palju pinnast tuleb välja kaevata?
Kui ühte koormasse pannakse 2 m3 pinnast?

Lõik failist

Ruutfunktsioon
Sissejuhatav kordamine

Teosta tehted . Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest.
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:

Lihtsusta avaldis .
a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 – 2xy – y2)
Lahendus:
xy(x + 3y) + (x + y)(x2 – 2xy – y2) =
= x2y + 3xy2 + x3 – 2x2y – xy2 + x2y – 2xy2 – y3 =
= x3 – y3 =
= (x – y)(x2 + xy + y2)
b) (3a – 2)2 + (2 + 3a)(2 – 3a)
Lahendus:
(3a – 2)2 + (2 + 3a)(2 – 3a) = 9a2 – 12a + 4 + 4 – 9a2 =
= 8 – 12a

Lahenda võrrand.
a) 24x2 + 5x – 1 – (24x2 – 6x – 12x + 3) = 111
Lahendus:
24x2 + 5x – 1 – (24x2 – 6x – 12x + 3) = 111;
24x2 + 5x – 1 – 24x2 + 6x + 12x – 3 = 111;
23x – 115 = 0;
23x = 115 ;
x = 5.
Kontroll:
Võrrandi vasak pool:
24 . 52 + 5 . 5 – 1 – (24 . 52 – 6 . 5 – 12 . 5 + 3) =
= 600 + 25 – 1 – 600 + 30 + 60 – 3 = 111.
Parem pool: 111
Võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x = 5
b) (2y + 1)(5 – 2y)2 – (2y – 3)3 = 4
Lahendus:
(2y + 1)(5 – 2y)2 – (2y – 3)3 = 4
(2y + 1)(25 – 20y + 4y2) – (8y3 – 3 . (2y)2 . 3 + 3 . 2y . 32 – 33) = 4;
50y – 40y2 + 8y3 + 25 – 20y + 4y2 – 8y3 + 36y2 – 54y + 27 – 4 = 0;
– 24y + 48 = 0;
– 24y = – 48 ;
y = 2.
Kontroll:
Võrrandi vasak pool:
(2 . 2 + 1)(5 – 2 . 2)2 – (2 . 2 – 3)3 = 5 . 12 – 13 = 4.
Parem pool: 4
Võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: y = 2

Lahenda võrrandisüsteem.
a)
Lahendus:
;
u – v – 4 = 0;
u = 4 + v;
– 4(4 + v) + 3v + 9 = 0;
– 16 – 4v + 3v + 9 = 0;
– v – 7 = 0;
v = – 7;
u = 4 – 7 = – 3;
Kontroll:
Esimese võrrandi vasak pool:
(– 3 + 4)( – 7 + 5) = 1 . (– 2) = – 2,
Esimese võrrandi parem pool:
– 3 . (– 7) + 8 . (– 3) – 7 + 8 = 21 – 24 + 1 = – 2.
Esimese võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Teise võrrandi vasak pool:
2(5 . (– 3) – 6)( – 7 + 1) = 2 . (– 21) . (– 6) = 252,
Teise võrrandi parem pool:
10 . (– 3) . (– 7) + 14 . (– 3) – 15 . (– 7) – 21 =
= 210 – 42 + 105 – 21 = 252.
Teise võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus:
b)
-2x + 4y + 5 = 0;
x = 2y + 2,5;
6(2y + 2,5) – 2y – 25 = 0;
12y + 15 – 2y – 25 = 0;
10y – 10 = 0;
y = 1;
x = 2 . 1 + 2,5 = 4,5.
Kontroll:
Esimese võrrandi vasak pool:
Esimese võrrandi parem pool: 2.
Esimese võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Teise võrrandi vasak pool:
Teise võrrandi parem pool: 2.
Teise võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus:

Leia ring pindala, kui raadius on
a) 5,36 m. Vastus ümarda sajandikeni.
Lahendus:
r = 5,36 m
S = πr2
S = π . 5,362 = 3,14 . 28,7296 ~ 90,21 (m2)
b) 51,24 m. Vastus ümarda sajandikeni.
Lahendus:
r = 51,24 m
S = πr2
S = π . 51,242 = 3,14 . 2625,54 ~ 824419 (m2)

Leia arvuti abil arvu ruutjuur . Vastus ümarda sajandikeni.
a)
Lahendus:
b)
Lahendus:
c)
Lahendus:
d)
Lahendus:

Leia ringi raadius, kui ringi pindala on
a) 38,67 cm2. Vastus ümarda kümnendikeni.
Lahendus:
S = 38,67 cm2
S = πr2;
(cm)
b) 0,98 cm2. Vastus ümarda kümnendikeni.
Lahendus:
S = 0,98 cm2
S = πr2,
(cm)

Arvuta.
a)
Lahendus:

b)
Lahendus:
c)
Lahendus:

Lihtsusta.
a)

Lahendus:

b)
Lahendus:

Lahenda võrrand.
a) x2 + 11x + 30 = 0
Lahendus:
;
Kontroll:
x1 = – 5
(– 5)2 +11 . (– 5) + 30 = 25 – 55 + 30 = 0;
x2 = – 6
(– 6)2 +11 . (– 6) + 30 = 36 – 66 + 30 = 0;
Vastus: x1 = – 5, x2 = – 6
b) (3y + 1)2 = (2y + 5)2 – 33
Lahendus:
9y2 + 6y + 1 – 4y2 – 20y – 25 + 33 = 0;
5y2 – 14y + 9 = 0;
Kontroll:
x1 = 1,8
vasak pool:
(3 . 1,8 + 1)2 = 6,42 = 40,96
parem pool:
(2 . 1,8 + 5)2 – 33 = 8,62 – 33 = 40,96
Vasak pool on võrdne parema poolega.
x2 = 1
vasak pool:
(3 . 1 + 1)2 = 42 = 16
parem pool:
(2 . 1 + 5)2 – 33 = 72 – 33 = 16
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x1 = 1,8; x2 = 1
c) (2x + 3)3 – 316 = (2x – 1)3
Lahendus:
8x3 + 3 . (2x)2 . 3 + 2x . 3 . 32 + 33 – 316 = (2x)3 – 3 . (2x)2 . 1 + 3 . 2x . 1 – 13
8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 316 = 8x3 – 12x2 + 6x + 1
8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 316 – 8x3 + 12x2 – 6x – 1 = 0
x2 + x – 6 = 0
x1 = – 0,5 + 2,5 = 2
x2 = – 0,5 – 2,5 = – 3
Kontroll:
x1 = 2
vasak pool:
(2 . 2 + 3)3 – 316 = 73 – 316 = 27
parem pool:
(2 . 2 – 1)3 = 33 = 27
Vasak pool on võrdne parema poolega.
x2 = – 3
vasak pool:
(2 . (– 3) + 3)3 – 316 = (– 3)3 – 316 = – 343
parem pool:
(2 . (– 3) – 1)3 = (– 7)3 = – 343
Vasak pool on võrdne parema poolega.
Vastus: x1 = 2 ja x2 = – 3
Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni
Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos
ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = ax + b. Kordame neid seoseid .
Edasi vaatame ülesandeid.

Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui
Lahendus:
Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on
y = 1,5 . 0 = 0.
Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis
y = 1,5 . 2 = 3.
Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame.
Vaatame ainult kahte punkti, kui x = –2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks.
Kui x = – 2, siis otsime x-teljelt üles väärtuse –2. Tõmbame vertikaalselt (ülevalt alla) sirge nii kaugele, kuni tuleb vastu funktsiooni graafik. Seejärel tõmbame horisontaalse (ristipidi) sirge, kuni tuleb vastu y- telg . Punkt y- teljel ongi muutuja y väärtus antud x-i korral. Ehk siis antud juhul –3. Saime punkti, mille koordinaadid on (–2; –3).
Muutuja y väärtust on lihtne kontrollida. Paneme võrdelisse seosesse y = 1,5x muutuja x asemele –2 ja saame y = 1,5 . (–2) = –3.
Kui y = 3, siis otsime y-teljelt üles väärtuse 3. Tõmbame horisontaalselt (ristipidi) joone niikaugele, kuni tuleb vastu funktsiooni graafik. Seejärel tõmbame vertikaalselt (ülevalt alla) sirge, kuni tuleb vastu x-telg. Punkt x-teljel ongi muutuja x väärtus antud y-i korral. Ehk siis antud juhul 2. Punkti koordinaadid on (2; 3).
Muutuja x väärtust on lihtne kontrollida. Paneme võrdelisse seosesse y = 1,5x muutuja y asemele 3 ja saame
3 = 1,5 . x;
x = 2.
NB! Sageli läheb inimestel segamini, mis on vertikaalne ja mis horisontaalne. Hea on meelde jätta nii... Lähete armsamaga õhtul mere äärde päikeseloojangut vaatama. Päike ‘’ kukub ’’ horisondi kohal merre. Meri laiub paremalt vasemale (J mõningatel juhtudel ka vastupidi). Järelikult, horisontaalne joon on ka paremalt vasemale. Vertikaalne aga risti vastupidi. See tähendab, et vertikaalne on ülevalt alla.

Otsusta, missuguseid koordinaattasandi veerandeid läbib antud seose graafik.
1) y = 1,2x
2) y = – 0,6x
Lahendus:
Nende seoste puhul kehtib alati reegel: kui x = 0, siis on ka y = 0. See tähendab, et kõik graafikud läbivad koordinaatide alguspunkti. Kui muutuja x ees olev kordaja on positiivne, siis graafik läbib I ja III veerandit. Kui muutuja x ees olev kordaja on negatiivne, siis graafik läbib II ja IV veerandit.
Seega, kui
1) y = 1,2x, siis läbib antud seose graafik I ja III veerandit;
2) y = – 0,6x, siis läbib antud seose graafik II ja IV veerandit.
Joonestame kontrolli mõttes graafikud.

Joonesta pöördvõrdelise seose graafik. Leia graafiku abil

Lahendus:
Joonestame graafiku. Selleks tuleb teha väärtuste tabel. Mida rohkem muutujale x väärtusi annate, seda täpsem tulemus tuleb.
Koostame nüüd väärtuste tabeli. Võtame näiteks needsamad punktid, mida küsitakse ja lisaks veel mõned. Peame arvestama ka sellega, et nulliga jagada ei saa. Seega x-i väärtuseks ei saa nulli võtta.
x
–2
–1,2
–0,5
0,4
0,8
2
3
y
1,2
–2
–4,8
6
3
1,2
0,8
Kui x = –2, siis y = 2,4 : (–2) = –1,2;
kui

Lae alla, et näha rohkem ▪ ▪ ▪

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 63 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2018-04-09 Kuupäev, millal dokument üles laeti

91 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

kaspar99 Õppematerjali autor

Põhikooli matemaatika kordamine matemaatika

Sarnased õppematerjalid

100

pdf

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�

Matemaatika

pdf

Geomeetria stereomeetria

STEREOMEETRIA Risttahukas S  2ab  bc  ac  c V  S p  H  abc d d  a2  b2  c2 b a Kuup S  6a 2 d a V  a3 d a 3 a a Püstprisma S t  2S p  S k H= l Kü lg pindala S k  P  H V  Sp  H A B C Kaldprisma S t  2S p  S k Ris

Geomeetria

docx

VÕRRANDID (mõisted)

VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole

Matemaatika

doc

Mõisted matemaatikas

Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vaba

Matemaatika

246

pdf

Funktsiooni graafik I õpik

1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene

Matemaatika

pdf

Keskkooli lõpueksam (2008)

2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)

Algebra ja analüütiline geomeetria

doc

Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid

Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kog

Algebra I