Murd- ja juurvõrrand (0)

Murd - ja juurvõrrand
© T. Lepikult , 2010 Murdvõrrandi definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru nimetajas .
Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0,
mis on esialgse võrrandi järeldus ( lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0, siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on esialgse võrrandi lahendeiks või mitte.
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele murrujoonele: x 2 x 2 x 2( x 3) x2 x 6 0 0 x2 x 6 0 x 3 x 3 Saadud ruutvõrrandi lahendid on: x1 2, x2 3. Neist x1 2 on esialgse võrrandi lahend , x2 3 on aga võõrlahend ( nimetaja on x = 3 korral null).
Vastus. Võrrandi lahendiks on x = ­2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juurvõrrandi definitsioon ja lahendamine Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb juuritavas.
Näited Võrrandid 4 x 1 4 x 8 ja x 2 1 on juurvõrrandid, kuid võrrand x 7 2 3 ei ole juurvõrrand.
Juurvõrrandi lahendamiseks astendatakse enne sobivalt teisendatud võrrandi mõlemat poolt ühe ja sama astendajaga.
Lahendamisel saadud muutuja väärtusi tuleb tingimata esialgse võrrandi abil kontrollida, sest võrrandi mõlema poole astendamisel paarisarvuga on võimalus võõrlahendite tekkimiseks.
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näiteid juurvõrrandi lahendamisest (1) Näide 1 Lahendame võrrandi
x 2 3. Lahendus
Kuna x 2 | x |, (vt. juure omadusi, 5. omadus), siis on lahendatav võrrand samaväärne võrrandiga | x | 3, mille lahendid on arvu absoluutväärtuse definitsiooni kohaselt
x1 3 ja x2 3. Kontrollimisel selgub , et mõlemad lahendid (x = 3 ja x = -3) sobivad. Vastus. Võrrandi lahendid on x1 3 ja x2 3. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näiteid juurvõrrandi lahendamisest (2) Näide 2 Lahendame võrrandi
x 2 x 4. Lahendus
Viime kõik liikmed peale juure võrrandi paremale poolele. Saame samaväärse võrrandi x 2 4 x. Tõstes viimase võrrandi mõlemad pooled ruutu , saame ruutvõrrandi:
x 2 ( 4 x) 2 . Kahe arvu vahe ruudu valemi põhjal asendame selle võrrandi parema poole hulkliikmega 16 ­ 8x + x2: x 2 16 8 x x 2 . algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näiteid juurvõrrandi lahendamisest (3) Näide 2 (järg) x 2 16 8 x x 2 . Saadud ruutvõrrandi kõik liikmed viime võrrandi vasakule poolele: x 2 16 8 x x 2 0, koondame sarnased liikmed: x 2 9 x 18 0 ja korrutame viimatisaadud võrrandi mõlemad pooled arvuga ­1: x 2 9 x 18 0. Lahendame saadud ruutvõrrandi: (9) (9) 2 4 118 9 3 x1 6, 2 1 2 (9) (9) 2 4 118 9 3 x2 3. 2 1 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näiteid juurvõrrandi lahendamisest (4) Näide 2 (järg) Kontrollime saadud "lahendikandidaate", asetades nende väärtused tundmatu x asemele esialgses võrrandis x 2 x 4 :
1) 6 2 6 2 6 8 4. Lahendikandidaat x = 6 ei sobi, sest esialgse võrrandi vasak pool ei ole sel korral võrdne parema poolega. 2) 3 2 3 1 3 4. Lahendikandidaat x = 3 sobib lahendiks, sest esialgse võrrandi vasak