Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse Registreeri konto
Ega pea pole prügikast! Tõsta enda õppeedukust ja õpi targalt. Telli VIP ja lae alla päris inimeste tehtu õppematerjale LOE EDASI Sulge

Matemaatilise analüüsi kollokvium III spikker(2LK) - sarnased materjalid

astmes, kusjuures, erijuhud, katkevuspunkte, riemanni
thumbnail
4
pdf

Matemaatilise analüüsi kollokvium II spikker(2LK)

. Lause: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad 𝑑𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑓(𝑥) vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures = ∗ = 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Matemaatiline analüüs i
73 allalaadimist
thumbnail
26
pdf

Matemaatilise analüüsi kollokvium nr.1

1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest

Matemaatiline analüüs 2
114 allalaadimist
thumbnail
12
docx

Matemaatiline analüüs I 3. kollokviumi spikker

on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud b ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ja/või ∫ cf ( x ) dx =c integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ f ( x ) dx . ∫ f ( x ) dx (c ∈R ). a Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a; b]. Siis tükelduse пn igal osalõigul [xi-1; xi ] leiduvad lõplikud 5

Matemaatiline analüüs 1
24 allalaadimist
thumbnail
20
pdf

Matemaatilise analüüsi kollokvium nr.3

Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c ϵ R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P ϵ D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2

Matemaatiline analüüs 2
98 allalaadimist
thumbnail
2
pdf

Matemaailine analüüs I kollokvium III spikker

integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. () Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust [, ] selle lõigu tükeldus, kusjuures [-1 , ]. Kuna g(x) = O(1) (x[a,b]) F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus ja g(x)f(x) vaid punktis c ning () [, ] () = (1)( [, ]), siis

Matemaatika analüüs I
139 allalaadimist
thumbnail
5
doc

Matemaatilise analüüsi 2.kollokviumi

..., /xn). Seega grad f = f. f(x1,...,xn) / xj := lim (xj0) (xj u) / xj .Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xj järgi võetakse selle Kasutades gradienti saame suunatuletise esitada skalaarkorrutisea df/ds(a) = (k=1, n)fxk(a)sk/s2 = f(a), s / s2. muutuja järgi tavaline tuletis, kusjuures selle funktsiooni teisi muutujaid käsitletakse kui konstante. Kui tegemist on kahe muutuja Ilmselt on suunatuletis df/ds(a) = f(a)2. Seega näitab gradiendi suund funktsiooni kiireima kasvu suunda ja gradiendi pikkus funktsiooniga z = f(x,y), siis

Matemaatiline analüüs 2
37 allalaadimist
thumbnail
32
pdf

Matemaatilise analüüsi kollokvium nr.2

1. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome 2. puudu  || x ||1:  k | xk | 3. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on

Matemaatiline analüüs 2
78 allalaadimist
thumbnail
6
pdf

Matemaatilise analüüsi I kollokviumi vastused

1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ), kus > 0.

Matemaatika analüüs I
136 allalaadimist
thumbnail
51
pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt

Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l

Matemaatiline analüüs
11 allalaadimist
thumbnail
1080
pdf

Matemaatiline analüüs terve konspekt

|x| = x sgn x. Absoluutva¨ artuse ¨ tuletis (|x|) = sgn x. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 9 / 25 Reaalarvud ¨ Umbrused Definitsioon (Norm) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u V seab vastavusse skalaari u R, kusjuures on taidetud ¨ ¨ jargmised tingimused: 1 u V u 0; u = 0 u = 2 u V , R u = || u 3 u, v V u+v u + v Reaalarvu x R korral sobib normiks absoluutva¨ artus ¨ x, x 0 |x| :=

Matemaatiline analüüs 1
136 allalaadimist
thumbnail
12
odt

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v ∈V seab vastavusse skalaari d(u,v) ∈R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 ∀u,v∈V d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0⇔v = u 2 ∀u,v∈V d(u,v) = d(v,u) 3 ∀u,v,w∈V d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1)∀u ∈ V ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇔ u = 0, 2)∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α| ||u||, 3)∀u, v ∈ V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

Matemaatiline analüüs 1
65 allalaadimist
thumbnail
142
pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ's

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 iv Peat¨ ukk 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu m~oiste k¨asitlemist toome sisse m~oned hulkadega seotud t¨ahised. Hulk (tavalises m~ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami- seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega. N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}.

Matemaatiline analüüs
47 allalaadimist
thumbnail
26
doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks

selles Punktis. Pidevus ja diferentseeruvus: iga punktis x diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. 2.Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Teoreem 9. Kui funktsioonidel u = u (x) ja v = v (x) eksisteerivad lõplikud tuletised u punktis x ,siis ka funktsioonidel u+v, u­v, uv, eksisteerivad lõplikud tuletised v punktis x, kusjuures 10 (u ± v) =u ± v, 20 (uv) =u v+ vu, 30 (cv) = cu, c=const u u v - v u 40 ( ) = , v( x) 0. v v2 3. Liitfunktsiooni tuletis Teoreem 10. Kui funktsioonidel u = (x) ja y = f (u ) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt punktides x ja u = (x) , siis ka liitfunktsioonil y = F(x) = f[(x)] eksistee- rib lõplik tuletis punktis x, kusjuures F'(x) = f (u ) ( x). 4. Pöördfunktsiooni tuletis Teoreem 11

Matemaatiline analüüs i
687 allalaadimist
thumbnail
39
pdf

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad

Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) .

Matemaatiline analüüs I
73 allalaadimist
thumbnail
6
docx

Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine

katkevuspunktiks, kui või on lõppmatu 5. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. Teoreem: Olgu f (x) ja g (x) pidevad funktsioonid kohal a, siis ka funktsioonid f ( x) f ( x ) + g ( x ), f ( x ) - g ( x ), f ( x ) * g ( x ), g ( x) on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame, et g(a) 0. NT: Funktsioon y = 2 x - e on pidev piirkonnas R, sest 2 x u = 2, v = x2 , z = e x on pidevad selles piirkonnas. Liitfunktsiooni pidevus Liitfunktsioon f [g (x)] on pidev kohal a, kui g (x) on pidev kohal a ja f [g (x)] on pidev kohal g (a). Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad on pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. x

Matemaatiline analüüs
136 allalaadimist
thumbnail
3
doc

MATEMAATILINE ANALÜÜS I

keskmise põhjal: AK = (KT1 + KT2 + T1 + T2) / 4, kus: AK ­ aritmeetiline keskmine; KT1 ­ esimese kontrolltöö (diferentsiaalarvutus kuni rakendusteni) hinne; KT2 ­ teise kontrolltöö (diferentsiaalarvutuse rakendused ja integraalarvutus) hinne; T1 ­ esimese osa (diferentsiaalarvutus) teooriahinne; T2 ­ teise osa (integraalarvutus) teooriahinne. Hinded T1 ja T2 on võimalik saada ka semestri jooksul teooriatööde (kollokviumide) põhjal, kusjuures nii T1 kui ka T2 on omakorda vastavate kollokviumihinnete KOi (i=1;2;3;4;5) aritmeetilised keskmised: T1=(KO1+KO2+KO3)/3, T2=(KO4+KO5)/2, kus KO1 ­ esimese kollokviumi (põhilise õpiku punktide 1.1--1.9 kohta) hinne; KO2 ­ teise kollokviumi (1.10--1.16) hinne; KO3 ­ kolmanda kollokviumi (1.17--1.25) hinne; KO4 ­ neljanda kollokviumi (2.1--2.11) hinne; KO5 ­ viienda kollokviumi (2.12--2.21) hinne.

Matemaatika analüüs I
210 allalaadimist
thumbnail
2
doc

Matemaatilise analüüsi kt 1

I 1 6 o 1 V1 1. , , . : 1 f ( x ) = arccos ( 4 x - 8) + . 2 2 2 x - 3x - 4 2 - x -3 tan ( x ) 2. xlim . 3. lim . 4. lim . 4 2 x +1 x7 x 2 - 49 x -2 x + 2 x +2 lg(1 + 10 x ) 5. lim x . 6. lim

Matemaatiline analüüs
168 allalaadimist
thumbnail
37
docx

Matemaatiline analüüs l.

Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks(ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja

Matemaatiline analüüs
484 allalaadimist
thumbnail
1
docx

Matemaatiline analüüs I teooria

kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a|/2 5. Funktsiooni põhilised esitusviisid (loetleda, selgitada, tuua näiteid). 4) Kui jada {Xn} koondub ja selle jada piirväärtuseks on arv a, siis koondub ka *Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse jada {|Xn|}, kusjuures selle jada piirväärtuseks on |a| st Xn-> a -> |Xn| ->|a| tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas 16. F-ni piirväärtuse mõiste.Arvu A nim F-i piirväärtuseks punktis a, kui iga arvu (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. >0 korral leidub *Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul

Matemaatiline analüüs
10 allalaadimist
thumbnail
2
docx

Matemaatilise analüüsi kaugõpe, 1 osa

Def. Muutuva suuruse kõigi väärtuste hulka nimetatakse selle muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse kasvavaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast suurem. Muutuvat suurust nimetatakse kahanevaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast väiksem. Vastavalt definitsioonile on funktsioon antud, kui on teada : a) funktsiooni määramispiirkond X, b) eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna. Funktsiooni esitusviise: I Analüütiline esitus valemi abil II Geomeetriline esitus graafiku abil III Numbriline esitus tabeli abil Tabelilisel esitamisel kirjutatakse kindlas järjekorras argumendi väärtused 1 2, , ... ,n x x x ja neile vastavad funktsiooni väärtused 1 2 , , ... ,n y y y . 7. Funktsioonide liike Paaris- ja paaritud funktsioonid: Def. Niisugust fun

Matemaatiline analüüs
70 allalaadimist
thumbnail
7
doc

Matemaatilise analüüsi eksamikordamine

Tõestamisülesanded (1) 1. Osata tõestada, et mingi antud funktsioon on pidev etteantud piirkonnas (loengus näide e funktsiooni y = sin x kohta). 2. Tuletada funktsiooni y = sin x tuletise valem. 3. Tuletada funktsiooni y = cos x tuletise valem. Valem 1: + - cos - cos = -2 sin sin 2 2 y= cos (x+x) ­ cos x= (kasutad nüüd valemit 1) : = - 2 sin (x+x+x / 2) * sin (x+x ­x / 2) = -2 sin (2x/2 + x/2) * sin x/2= =-2 sin (x + x/2) * sin x/2 y/x= - 2 sin (x + x/2) * sin x/2 = - sin x/2 * sin (x+ x/2) x x/2 y'= lim - sin x/2 * sin (x+ x/2) = lim - sin x/2 * lim sin (x+ x/2) = - sin x x -> 0 x/2 -> 0 x -> 0 x/2 x/2 See ringi sees = -1 4. Tuletada funktsiooni y = arc sin x tuletise valem. 5. Tuletada funktsiooni y =

Matemaatiline analüüs
75 allalaadimist
thumbnail
13
docx

Matemaatiline analüüs I KT

Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutame sümbolit X. Hulka Y=f(x) || x X nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust. Funktsiooni esitusviisid: 1) Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2) Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka

Matemaatiline analüüs
136 allalaadimist
thumbnail
15
docx

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö

f ja g vahe y=(f-g)(x)=f(x)-g(x). f ja g korrutis y=f(x)*g(x). f ja g jagatis y=f(x)/g(x), g(x)0 Summa vahe ja korrutise korral X=R b. Liitfunktsiooni mõiste Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga X ja z=g(y) määramispiirkonnaga . Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline soes on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsiooni sümboliga g o f. f ja g liitfunktsioon z=(g o f)(x)=g[f(x)] c. Liitfunktsiooni määramispiirkond Liitfunktsiooni g o f määramispiirkond ei tarvitse ühtida f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g o f on määratud x-i väärtustel hulgas , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Ainult sel juhul saab

Matemaatiline analüüs
51 allalaadimist
thumbnail
23
doc

Matemaatiline analüüs KT1 vastused

lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis y = x2 , x kuulub [0, 1] kirjeldab funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on lõik [0, 1] ja iga x korral sellelt lõigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni väärtused f(x) vastavalt valemile f(x) = x2. Funktsiooni graafiku mõiste- G = {P = (x, f(x)) || x X} . Graafiku mõiste Esitatkse ristkordinaadistikus.Kanname tasandile riistuvad x ja y teljed.Vaatleme selles teljestikus joont G mis koosneb punktidest P=(x;f(x)) kusjuures P esimene kordinaad x jookesb läbi kogu määramispirkonda X .Seda joont nimetataksegi funktsiooni f graafikuks. Graafiku omadused Punkt P teist kordinaadi f(x) võib tõlgendada P ,,kõrgusena" x telje suhtes.Kui f(x)>0 ;siis on graafiku kõrgus positiivne,kui aga f(x) < 0 siis negatiivne. X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) .

Matemaatiline analüüs I
104 allalaadimist
thumbnail
55
pdf

Matemaatiline analüüs II loengukonspekt

2 xy ID dy dx. 0 1 2x x 2 2 x Arvutame kõigepealt sisemise integraali 1 2x x 2 xy dy. 1 2x x 2 2 x Selles integraalis on integreerimismuutujaks y, kusjuures muutujat x vaatleme konstandina 1 2x x 2 xy x 1 2x x 2 x y2 1 2x x 2 dy ydy 2 1 2x x2 2 x 2 x 1 2x x2 2 x 1 2x x 2

Matemaatiline analüüs II
69 allalaadimist
thumbnail
3
pdf

Matemaatiline analüüs II, I teooriakusimused 2013

Matemaatilise analüüsi (II) I osaeksami teooriaküsimused 2013 1. Kahe muutuja funktsiooni väärtuspaaride (x; y) hulka, mille puhul definitsioon. Määramispiirkond. funktsioon z = f (x; y) on määratud, Kahe muutuja funktsiooni nimetatakse selle funktsiooni geomeetriline kujutamine. määramispiirkonnaks. Kui kahe teineteisest sõltumatu muutuva suuruse x ja y igale väärtuspaarile (x; y) mingisugusest nende muutumispiirkonnast D vastab suuruse z väärtus, siis öeldakse, et z on kahe sõltumatu muutuja x ja y funktsioon, mis on määratud piirkonnas D. Argumentide x ja y 2. Kahe muutuja funktsiooni , saame z uue muudu z, mida osamuudu ja täismuudu mõisted nimetatakse funktsiooni z (kujutada ka joonisel). täismuuduks ja mis on määratud Et y väärtus sellel tasandil on v

Matemaatiline analüüs 2
310 allalaadimist
thumbnail
4
pdf

Matemaatiline analüüs II, II teooriaküsimused 2013

Kordamisküsimused matemaatilise analüüsi (II) II osaeksamiks 2013 1. Kahekordne integraal (integraalsumma, kahekordse integraali definitsioon, kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkoonas si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y) kahekordseks integraaliks üle

Matemaatiline analüüs II
161 allalaadimist
thumbnail
10
pdf

Matemaatiline analüüs I 1.teooria

Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused  1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide.  Definitsioon:​ Hulka​  X ​ nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui ​ X ​on ülalt ja alt tõkestatud.  Definitsioon​ :Kui  leidub  niisugune  reaalarv  ​ M​,  et  hulga  ​ X  ​ iga  elemendi  ​ x  ​puhul  kehtib  võrratus  x​ ≤  M,  siis  öeldakse, et hulk ​ X ​on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu ​ M ​ nimetatakse hulga​  X​  ülemiseks tõkkeks.  Definitsioon​ :Kui  leidub  niisugune  reaalarv  ​ m​,  et  hulga  X  ​ iga  elemendi  x  ​ puhul  kehtib  võrratus  ​ x​≥m,  siis  öeldakse, et hulk ​ X ​on alt tõkestatud, kusjuures arvu ​ m ​ nimetata

Matemaatiline analüüs
37 allalaadimist
thumbnail
14
docx

Matemaatilise analüüsi teine teooria KT

Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaals

Algebra I
36 allalaadimist
thumbnail
28
pdf

Kolmas kollokvium

Teooria 3 1.Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑ . Kui eksisteerib piirväärtus = ∑ , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja ja ning me saame defineerida Darboux’ ülemsumma: ̅ (f)=∑ ja

Matemaatika
24 allalaadimist
thumbnail
2
docx

Matemaatilise analüüsi teoreeme ja definitsioone

a) [f(x)+g(x)]', b) [f(x)-g(x)]', c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval kohal u = (x ), siis on ka liitfunktsioonil F olemas tuletis kohal x, kusjuures kehtib seos F' (x ) = f' (u)' (x ). T4. Kui piirkonnas X rangelt monotoonsel ja pideval funktsioonil f on kohal x olemas nullist erinev tuletis f'(x ), siis on pöördfunktsioonil olemas tuletis '(y) vastaval kohal y = f(x), kusjuures kehtib seos ' (y) =1/F'(x). Def2. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) on diferentseeruv kohal x, kui tema muut sellel kohal omab kuju y=A x + , kus A on (x -st sõltumatu) konstant ja rahuldab tingimust lim x0/x=0. T5

Matemaatika
32 allalaadimist
thumbnail
22
doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks (ainekava järgi koostatud konspekt)

Kuna nüüd on vaadeldavaks protsessiks nullile lähenemine paremalt, siis võime piirduda vaatlusel määramispiirkonna alamhulgaga 0; . Illustreerimie olukorda järgmisel joonisel: 4 Vaatleme ringi raadiusega 1. Ringi kaarel on fikseeritud punkt P nii, et nurk kusjuures mõõtühikuks on ringi radius. Seega punkti ordinaat P'P kujutab suurust sinx ja lõik AQ kujutab suurust tanx. Paneme tähele, et kolmnurga OAP pindala on väiksem kui ringi sektori OAP pindala ja viimane omakorda väiksem kui kolmnurga OAQ pindala. Järelikult vastavate pindalate arvutusvalemite kohaselt: 1 1 1 sin x < x < tan x , 2 2 2 Millest sin x < x < tan x Jagame selle võrratuse iga liikme läbi arvuga sin x, tulemuseks saame:

Matemaatiline analüüs i
774 allalaadimist


Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun