Matemaatiline analüüs teoreemid (4)

Lõik failist

Sarnased õppematerjalid

25

doc

Määratud integraal ja selle rakendused

On ju t samuti argument, samaväärne x-ga, me vahetasime ennist t x-i vastu, et seda mitte segamini ajada muutuva ülemise raja otspunkti x-ga. Sümbol x ei tähista ju konkreetset suurust, vaid kõiki suurusi, mis kaasnevad funktsiooniga... Niisiis mugavam kuju: b a b f(x) dx = F(b) ­ F(a) = F(x) a 2) Muutuja vahetus määratud integraalis TEOREEM On antud integraal b a f(x) dx , kus funktsioon f(x) on lõigul [a,b] pidev. Kuna võib juhtuda ja väga tihti juhtubki, et seda integraali ei saa otse vahetult tabeli abil leida, siis võtame kasutusele uue muutuja t, mida on lihtsam leida. Võtame muutujat x kui eraldi funktsiooni. Seega on funktsiooni f(x) puhul tegemist liitfunktsiooniga. y=f(x) x=(t) , sel juhul on dx= '(t)dt Kui () = a ja () = b ja (t) ja '(t) on lõigul [a,b] pidevad

Matemaatiline analüüs

2

pdf

Matemaailine analüüs I kollokvium III spikker

f (x)dx = F(b) -F(a) 11). (Integreeruva funktsiooni tõkestatus). Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud. 21). (Muutujavahetus määratud integraalis). Lause: Kui [, ] ja () on Näitame, et funktsioon pole integreeruv. < 0 < 1 < < = . Kuna f pole

Matemaatika analüüs i

14

doc

Kollokvium III

Tõestus: Kui on lõigu tükeldus, kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku kus 1 on lõigu tükeldus punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn. Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul põhjal saame Millest järeldub f(x)=O(1) . Et Seega on lause tõene. 15. Lebesgue'i teoreem. Konstanse funktsiooni inegreerivus. Pideva funktsiooni integreeruvus. Monotoonse funktsiooni integreeruvus. Üks lausetest tõestada. Lause (Lebesgue'i teoreem) Funktsioon f on lõigul [a; b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis kui ta on tõkestatud lõigul [a; b] ja pidev peaaegu kõikjal lõigul [a; b], st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Lause Lõigul [a; b] konstantne funktsioon on integreeruv sellel lõigul,kusjuures Lause

Matemaatiline analüüs

15

docx

Matemaatika analüüsi II Kontrolltöö

Jagame võrratuse selle negatiivse arvuga. Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust, Võrratus jääb ka siis kehtima, kui võtta temast piirväärtus piirprotsessis . Seega tuletise definitsiooni põhjal: Võtame -i -st paremalt Ja piirväärtuse Järeldub, et ja Mis tähendab, et see on võimalik ainult siis, kui 3. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a. Rolle'i teoreem ­ Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f (a) =f (b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt nii, et f`(c)=0. b. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu:

Matemaatiline analüüs 2

20

docx

Matemaatiline analüüs II kontrolltöö

2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.  b. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma Sõnastus: Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x)=0. Tõestus: b.1. b.2. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust siis leidub vahemikus (a,b) vähemaly üks punkt c nii, et .

Matemaatiline analüüs

22

doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks (ainekava järgi koostatud konspekt)

Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 ­ 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud ­ arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud ­ kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m

Matemaatiline analüüs i

36

pdf

Matemaatiline analüüs

Siis x − x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x − x1 saame f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0. Võtame piirväärtuse: F’(x1) = lim f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0. x→x1 Võrratused näitavad, et f’(x1) ≥ 0 ja f’(x1) ≤ 0. See on võimalik vaid siis, kui f’(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis

Matemaatiline analüüs 1

12

docx

Matemaatiline analüüs I 3. kollokviumi spikker

f ( φ ( x ) ) φ ( x ) dx=¿ ∫ f ( φ ( x )) dφ ( x ) . kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul S=∫ ψ ( t ) φ ' ( t ) dt f ( t ) dt=¿∫ ¿ α 3. Lebesgue’i teoreem. Erijuhud. Lause(Lebesgue’i teoreem):Funktsioon f on lõigul [a,b] ∫¿ Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis kui ta on tõkestatud lõigul [a,b] ja pideb peaaegu kõikjal lõigul [a,b],, st katkev hulgal, millel Lebesgue’i mõõt on null. Hulga D ⊂ R Lebesgue mõt on null siis

Matemaatiline analüüs 1

Kommentaarid (4)