1. Kahekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne). Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas
f ( P)dS = f ( A) dS 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu
muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn Def: nivoopinnad on MP-a niisuguste punktide hulk, kus funktsiooni väärtus on konstantne. f(P)=const. Lause1. nivoojoonad ei lõiku, aga iga punkti läbib kindlasti nivoopind. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Def: PKA lim K x Kii = i ; P(xki), A(ai), i=1,...,n Def: arv on funktsiooni f(P) piirväärtuseks protsessis, kus PKA, sel korral kui vastavalt igale epsiloni väärtusele leidub delta epsilon, et funktsiooni |f(P) | on väiksem kui delta epsilon, niipea kui punktide,|PK A| < epsilonist, vaheline kaugus on väiksem kui epsilon. lim K f ( PK ) = Kordne piirväärtus! Def: funktsioon f(P) on pidev sel korral, kui funktsiooni piirväärtus,protsessis PA, on võrdne f(A).
Olgu antud funktsioon (x,y) 0. Vaatleme pinna z = (x,y) ja tasandi z=0 vahel paiknevat keha Q ruumalaga V. Üks võimalus on eelnevates teadmistest saadud valem V = (x,y)dxdy Järgnevalt käsitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme keha Q, mis on alt pinnaga z= 1(x,y) ja ülalt pinnaga z= 2(x,y). Olgu Q projektsioon xy-tasandil tähistatud D-ga. Meid huvitab Q ruumala. Näitame, et V saab esitada 1 ja 2 vahe integraalina, st V= [ 2(x,y) 2(x,y)] dxdy D 8. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordne integraal (x,y)dxdy ja kaks funktsiooni u= u(x,y) ja v=v(x,y), mis on määratud piirkonnas D. Eesmärgiks on sooritada muutuja vahetus, mille tulemusl asendatakse x ja y u ja v-ga. Kuna funktsioonid u ja v on ühesed kujutsied, siis seavad nad igale punktile P=(x,y) hulgastt D vastavusse ühe kindla punkti P'=(u,v) uv-tasandil. Kui P jookseb läbi kogu
2f 2f 2f 2f x2 2y x y 2x y x 2x y2 6y Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib Teoreem 1. Kui funktsioon z f x, y ja selle osatuletised z x , z y , z xy ja z yx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t. 2z 2z x y y x (z xy z yx ) Osatuletise rakendused. 1. Ekstreemumi leidmine. Funktsiooni z f x, y maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks. 2 2 Näide 7
Kirjutame: z = f (P ) või z = f ( x1 ,..., x m ) Hulka D nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni z = f (P ) loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse punktide P hulka, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet. Def. M-muutuja funktsiooni f graafikuks nimetatakse hulka { ( f ) = ( x1 ,..., x m , z ) R m +1 : ( x1 ,..., x m ) R m , z = f ( x1 ,..., x m ) . } 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus Olgu antud funktsioon z = f (P ) = f (x1 ,..., x m ) P D ja punkt A D D . Def. Arvu nimetatakse funktsiooni z = f (P ) piirväärtuseks punktis A , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv ( ) > 0 nii, et kehtib võrratus f (P ) - < alati kui 0 < d (P, A) < . Kirjutame: lim f (P ) = või lim f (x1 ,..., x m ) = või f (P ) kui P A
ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahuldab tingimust PA, funktsiooni väärtus f(P) läheneb arvule b Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA
Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3
1.Kordse integraali mõiste. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj ϵ Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon
Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne................................................................................ 5 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand.
Muutuja vahetus kahekordses integraalis x = x(u; v) f ( x, y )dxdy 1)need on ühesed; 2)võrrandisüst. On üheselt avaldatav u ja v suhtes; 3)f-nid y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos f ( x; y )dxdy = f ( cos; sin ) dd
(xj)u:=f(x1,...,xj-1,xj +xj,xj+1,...,xn)- f(x1,...,xj-1,xj,xj+1,...,xn) . Funktsiooni u=f(x1, ..., xn) gradiendiks punktis P(x1, ..., xn) nimetatakse selle funktsiooni osatuletistest koosnevad vektorit (grad f) Kui eksisteerib piirväärtus lim ((xj)-->0) (xj)u / xj ,siis seda piirväärtust (P) = (f/x1(P), f/x2(P), ..., f/xn(P)). Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatakse operaatorit := (/x1, nimetatakse funktsiooni u = f (x1 , . . . , xn ) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xj (j 1,...,n) järgi ja tähistatakse fxj (P)
koondub Arvrea tingimisi Kui rida koondub, aga ei koondu absoluutselt, siis nimetatakse seda rida koonduvus tingimisi koonduvaks D'Alambert'i |u ( n+1 )| { ¿1, siis rida koondub absoluutselt koonduvustunnus Kui leidub piirväärtus ¿ u ( n )¿ ¿ 1, siis rida hajub lim ¿ ¿1, siis ei saa otsustada n Cauchy { ¿1, siis rida koondub absoluutselt
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39
Kahekordse 𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ cosφ punktil leidub niisugune ümbrus Uε (x2,y2), et iga P(x, y) ∈ Uε(x2, y2) on f(x, y) > f(x1, y1). Näide 1. Definitsioon 2 järgi on kahe muutuja funktisoonil z = x2 + y2 punktis P0(0; 0) lokaalne miinimum, sest f(0; 0) = 0 ja mis tahes integraali omadused: Omadus 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdne nende 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ sinφ punktist P0 erineva punkti P(x, y) korral f(x, y) = x2 + y2 > 0.Näide 2. Funktsioonil z = x2 − y2 ei ole punktis P0(0; 0) funktsioonide kahekordsete integraalide summaga ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠ψ
o Kui piirkonna D igas punktis f 0; siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa. o Kui funktsioon f(x; y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatu kasvamisel piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x; y) kahekordseks integraaliks üle piirkonda D ja tähistatakse sümboliga f (x , y)dxdy D Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) o Tasandilise kujundi pindala. Olgu xy-tasandil asetsev kujund D kinnine ja mõõtuv
DEF: Kolme muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvukolmikule (x,y,z) ∈ D vastavusse ühese reaalarvu w=f(x,y,z) Näide: Temperatuur maapinnal sõltub asukoha pikkusest (x) ja laiusest (y) ja ajast (z) T=f(x,y,z) Üldiselt on funktsiooni graafikuks n-mõõtmeline pind (n+1)- mõõtmelises ruumis 4. Kuidas näidata, et kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ei eksisteeri? 2 2 x −y Näita, et piirväärtus lim 2 2 ei eksisteeri. Läheneme (x , y)→(0.0 ) x + y x2 mööda x-telge (x,y) → (0,0) siis y=0 seega f(x,0)= x 2 = 1, see
monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13
5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Kõrgemat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Pöördmaatriks. Lineaarvõrrandisüsteemid 15 2.1 Maatriksi pöördmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D nimetatakse selle osa, mis on piiratud mingi pinnaga rajapinnaga. Def 1.3. Punkt P on piirkonna sisemine punkt, kui leidub selline P ümbrus U ( P ) D , mis sisaldub täielikult D-s. Punkt Q on piirkonnaväline punkt, kui leidub selline ümbrus U ( Q ) D , mis ei sisaldu D-s. Punkt R on piirkonna D rajapunkt, kui selle mis tahes ümbrus U ( R ) sisaldab nii piirkonna D punkte, kui ka punkte väljaspool D-d. Piirkonna D kõik rajapunktid moodustavad selle rajajoone (rajapinna). Def. 1
Skeemi kolmandat järku determinandi arvutamiseks nimetatakse Sarrus`i reegliks: 2.8 Lineaarvõrrandisüsteem 10 Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem a1 x + b1 y = d1 a2 x + b2 y = d 2 a1 b1 Kui süsteemi determinant D = 0 , siis a2 b2 Dx Dy x= , y= , D D kus d1 b1 a d1 Dx = , Dy = 1 .
Siis x − x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x − x1 saame f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0. Võtame piirväärtuse: F’(x1) = lim f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0. x→x1 Võrratused näitavad, et f’(x1) ≥ 0 ja f’(x1) ≤ 0. See on võimalik vaid siis, kui f’(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis
2.8 Lineaarvõrrandisüsteem 10 Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem a1 x b1 y d1 a2 x b2 y d 2 a1 b1 Kui süsteemi determinant D 0 , siis a2 b2 Dx Dy x , y , D D kus d1 b1 a d1 Dx , Dy 1 .
f ( a) f ' '(a) 2 f ' ' ' ( a) Pn(x) = f(a) + 1 ! (x-a) + 2! (x-a ¿ + 3! (x-a)3 f (n ) (a) + n! (x-a)n Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f’(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f’(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b) 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi).
1 2 x asub punktist x1 paremal. f ( x )-f ( x ) 0 lim f ( x )-f ( x 1 ) x> x1 1 x-x > 0 ' f ( x 1 )= xx 1 0 f ' ( x1) 0 f ' ( x 1 )=0 x-x 1 25.Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a)=f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemaly üks punkt c nii, et f '(c)=0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul
Areakootangens y = arcth x X = (- ,1) (1, ) Y = (- ,0 ) (0, ) y = arsh x y = arch x y = arth x y = arcth x 6 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a II PIIRVÄÄRTUS Piirväärtuse mõiste Jada piirväärtus Jada ( x n ) võib vaadelda kui funktsioni f , mis on antud valemiga f (n ) = x n , kus n N , s.o. kui funktsiooni f , mille määramispiirkond X = N. 1. Jada (lõplik) piirväärtus Definitsioon: Arvu a nimetatakse jada ( x n ) piirväärtuseks, kui iga arvu > 0 korral leidub selline arv N = N ( ) , et kehtib võrratus x n - a < , alati kui n > N , ja kirjutatakse lim x n = a
t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x, x 0 mx m k
. . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5
. . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus, n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5
niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) - A < , alati kui 0 < x -a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = A xa ehk f ( x ) A , kui x a või lim f ( x ) = A , kui x a. lim x a f (x) = ± definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus punktis a , kui iga arvu N > 0 korral leidub selline arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) > N ( < -N ) , alati kui 0 < x -a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = ( - ) xa ehk f ( x ) ( - ) , kui x a. Funktsiooni piirväärtuse tehete omadsued:
Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks. Omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e Arv e=2,71828... on irratsionaalarv, selle väärtust ei saa täpselt esitada. Logaritm alusel e, st logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx. Piirväärtuse arvutamine
järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a- Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab
(f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x+ f(x)/x ^ b= lim x+(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1.1 järelduse 1 abil, et ( [ f ( x ) +g ( x )]dx ) = f ( x ) +g ( x ) . Paremalt poolt tuletist võttes kasutame sama järeldust ja tuletise vastavat omadust:
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
