Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID (0)

5 VÄGA HEA
Punktid
 
Säutsu twitteris
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
§1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks.
Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1
m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks .
Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu r > 0 .
{ } Def. Hulka B( A, r ) = P R m : d (P, A) Def. Hulka B ( A, r ) = {P R m : d (P, A) r} nimetatakse kinniseks keraks ruumis R m . Punkti A nimetatakse kera keskpunktiks ning reaalarvu r kera raadiuseks .
R 1 = R - arvsirge d (P, Q ) = x - y B( A, r ) = (a - r , a + r ) - vahemik
R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) = {P R 2 : d 2 (P, A) Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu > 0 .
Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) .
Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D .
Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte.
Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks.
Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def. Hulka D R m nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte. Näited: 1) D = (a, b ) = {x : a lahtine 2) D = [a, b] = {x : a x b} D = {a, b} D hulk D on kinnine 3) D = [a, b ) = {x : a x 1 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste Def. Kui hulga D R m igale punktile P = ( x1 ,..., x m ) on vastavusse seatud kindel reaalarv z , siis öeldakse, et hulgal D on määratud m-muutuja funktsioon f . Kirjutame: z = f (P ) või z = f ( x1 ,..., x m )
Hulka D nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks.
Funktsiooni z = f (P ) loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse punktide P hulka, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet. Def. M-muutuja funktsiooni f graafikuks nimetatakse hulka { ( f ) = ( x1 ,..., x m , z ) R m +1 : ( x1 ,..., x m ) R m , z = f ( x1 ,..., x m ) . } 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus Olgu antud funktsioon z = f (P ) = f (x1 ,..., x m ) P D ja punkt A D D .
Def. Arvu nimetatakse funktsiooni z = f (P ) piirväärtuseks punktis A , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv ( ) > 0 nii, et kehtib võrratus
f (P ) - Kirjutame: lim f (P ) = või lim f (x1 ,..., x m ) = või f (P ) kui P A P A x1 ,..., xm a1 ,..., am
4. Mitme muutuja funktsiooni pidevus Olgu antud funktsioon z = f (P ) P D R m ja punkt A D D . Def. Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks punktis A , kui lim f (P ) = f ( A) ning P A
pidevaks hulgas D , kui ta on pidev selles hulga igas punktis P D . Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks kõikjal, kui ta on pidev hulgas R m .
Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse mitme muutuja elementaarfunktsiooniks.
Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad .
Def. Punkti A D D nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev selles punktis. Punkt A on funktsiooni z = f (P ) katkevuspunkt, kui kehtib üks järgmistest: 1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda; 2. ei eksisteeri piirväärtust lim f (P ) ; P A
3. ei kehti võrdus lim f (P ) = f ( A) . P A
2 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 5. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis Olgu antud funktsioon z = f ( x1 ,..., x m ) . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi .
Def. Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiseks muutuja xi (1 i m ) järgi punktis P( x1 ,..., x m ) nimetatakse piirväärtust
f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x m ) - f ( x1 ,..., x m ) f xi := lim . xi 0 x i
f z Tähistus: f xi = f xi (P ) = z xi = = xi xi
Osatuletise leidmine: Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiste leidmisel muutuja xi (1 i m ) järgi kasutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletise leidmise eeskirju, lugedes need muutujad, mille järgi parajasti osatuletist ei leita, konstantideks.
Osatuletise geomeetriline tähendus z = f(x, y) z x z = f ( x, y ) f x (a, b ) on joone x := punktis A võetud c y = b A´ puutuja tõus tasandil y = b . f x (a, b ) = tan
y=b b Analoogselt: y z = f ( x, y ) f y (a, b ) on joone y := punktis A võetud a A x = a x puutuja tõus tasandil x = a . f y (a, b ) = tan
Tõestus. Funktsiooni z = f ( x, y ) graafik on pind z = f (x, y ) ( x, y ) D . Fikseerime punkti A = (a, b ) D . Vastav punkt pinnal z = f ( x, y ) on A = (a, b, f (a, b )) .
z = f ( x, y ) Pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = b lõikejoon on x := . y = b Joon x ja tema puutuja asuvad tasandil y = b ja punktis A võetud puutuja tõus on funktsiooni f ( x, b ) - f (a, b ) z = f ( x, b ) tuletis punktis a , kuid seejuures f ( x, b ) = f x (a, b ) = lim . x =a x 0 x Seega f x (a, b ) on joone x punktis A võetud puutuja tõus tasandil y = b .
3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
6. Pinna z = f (x, y ) puutujatasand ja normaal Def. Pinna z = f ( x, y ) puutujaks punktis A = (a, b, f (a, b )) nimetatakse sellel pinnal asuva ja punkti A läbiva joone puutujat.
Väide. Kui punktis A = (a, b ) leiduvad pidevad osatuletised f x ja f y , siis pinna z = f ( x, y ) puutujad punktis A = (a, b, f (a, b )) asuvad kõik samal tasandil. Seda tasandit nimetatakse pinna z = f ( x, y ) puutujatasandiks punktis A .
Puutujatasandi võrrand: Pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) on (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) .
Tõestus. Olgu antud tasand, mis läbib punkti A = (a, b, c ) c = f (a, b ) ja mille normaal on ( r ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ n = A, B , C , siis A( x - a ) + B ( y - b ) + C ( z - c ) = 0 . Olgu C 0 . ~ ~ ~ ~ Tähistame k := - A C , l := - B C , siis (z - c ) = k ( x - a ) + l ( y - b ) . Vastavalt osatuletiste f x (x, y ) ja f y ( x, y ) geomeetrilisele tähendusele on joonte x ja y z - c = f x (a, b )( x - a ) z - c = f y (a, b )( y - b ) puutujavõrrandid vastavalt ja . y = b x = a Kuna need puutujad asuvad samuti puutujatasandil, siis võttes puutujatasandi võrrandis y = b , saame esimese puutujavõrrandi abil k = f x (a, b ) ning võttes puutujatasandi võrrandis x = a , saame teise puutujavõrrandi abil vastavalt l = f y (a, b ) . Seega on punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) .
Def. Pinna z = f ( x, y ) normaaliks punktis A = (a, b ) nimetatakse punktis A = (a, b, f (a, b )) võetud puutujatasandi normaali . Puutujatasandi võrrandist saame normaali (normaalivektori) n = (- f x ( A),- f y ( A),1) . r
x-a y -b z-c Normaali kui sirge võrrand on seega = = . - f x (a, b ) - f y (a, b ) 1
7. Kõrgemat järku osatuletised Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y ) . Vastavused P = (x, y ) f x (P ) , P = (x, y ) f y (P ) määravad taas kahe muutuja funktsioonid. Võime leida nendest osatuletised (teist järku osatuletised): ( f x ) = 2f ( f y ) = 2f ( fx ) = f (fy )= f 2 2 2 2 f xx = f yy = f xy = f yx = x x y y y xy x yx Viimaseid kahte teist järku osatuletist nimetatakse segatuletisteks. Teoreem 1 (Schwarzi teoreem). Kui funktsiooni f ( x, y ) osatuletised f xy ja f yx on pidevad punktis P = ( x, y ) , siis f xy (P ) = f yx (P ) .
4 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 8. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus , täisdiferentsiaal Olgu antud funktsioon z = f (P ) , kus P D R m . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi .
Valime punkti Q = ( x1 + x1 ,..., x m + x m ) . Siis funktsiooni muut f = f (Q ) - f (P ) .
Def. Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse punktis P diferentseeruvaks, kui tema muut avaldub kujul f = f x1 (P )x1 + ... + f xm (P )xm + 1x1 + ... + m xm , kus i 0 kui xi 0 i {1,..., m}. Seejuures avaldist df (P ) = f x1 (P )x1 + ... + f xm (P )xm nimetatakse funktsiooni f (esimest järku e. esimeseks) täisdiferentsiaaliks punktis P .
Siin = 1 x1 + ... + m x m = o( ) , kus = d (P, Q ) ehk lim = 0. 0 Olgu z = f ( x1 ,..., x m ) = xi 1 i m . Siis df = dxi = ( xi ) xi xi = 1 xi = xi .
Järelikult dxi = xi ehk argumendi diferentsiaal on võrdne argumendi muuduga.
Täisdiferentsiaali sagedasem kuju: df = f x1 (P )dx1 + ... + f xm (P )dxm .
Liidetavaid f xi (P )dxi i = 1, ..., m nimetatakse funktsiooni f osadiferentsiaalideks punktis P .
Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus Geomeetriliselt tähendab funktsiooni f täisdiferentsiaal funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (e. z-koordinaadi) muutu. Tõestus. Funktsiooni z = f (P ) diferentseeruvus kohal P = ( x0 , y 0 ) tähendab geomeetriliselt, et pinnal z = f (P ) on punktis P = (x0 , y 0 , z 0 ) z 0 = f (x0 , y 0 ) olemas z- teljega mitteparalleelne puutujatasand (z - z 0 ) = f x (P )( x - x0 ) + f y (P )( y - y 0 ) .
Et leida täisdiferentsiaali df geomeetrilist tähendust, vaatleme puutujatasandil punkti S = ( x, y, z ) , mille abtsiss on x = x0 + h ja ordinaat y = y 0 + k . Asendades need kaks koordinaati puutujatasandi võrrandisse, saame punkti S aplikaadi z jaoks: (z - z 0 ) = f x (P )h + f y (P )k = df , kus vahe z - z 0 kujutab puutujatasandi aplikaadi muutu RS . Siin R = ( x, y , z 0 ) . Niisiis , geomeetriliselt tähendab funktsiooni f täisdiferentsiaal funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi muutu.
5 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
9. Kõrgemat järku täisdiferentsiaalid Olgu antud funktsioon z = f (P ) , kus P D R m . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi .
Täisdiferentsiaal df on fikseeritud x1 ,..., x m korral funktsioon.
Def. Kui funktsioon df on diferentseeruv , siis täisdiferentsiaali d (df ) nimetatakse funktsiooni f teist järku (teiseks) täisdiferentsiaaliks.
Tähistame: d 2 f = d (df )
Üldiselt: Funktsiooni f n-järku täisdiferentsiaal avaldub kujul d n f = d d n -1 f . ( ) 2-muutuja funktsiooni 2. täisdiferentsiaal: d 2 f = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2 n n n z 2-muutuja funktsiooni n-is täisdiferentsiaal: d n z = n - k k dx n - k dy k k = 0 k x y
10. Tuletis antud suunas Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) . Fikseerime punkti P = ( x, y ) . Rakendame punktist P r vektori s = PR . Võtame vektoriga määratud kiirel punkti Q = ( x + x, y + y ) . Tähistame = PQ = d (P, Q ) .
f (P ) f (Q ) - f (P ) r Def. Piirväärtust r = lim nimetatakse funktsiooni f tuletiseks vektori s s 0 suunas punktis P .
Teoreem 2: Kui funktsioon f ( x, y ) on diferentseeruv punktis P , siis leidub f (P ) r r = f x (P ) cos + f y (P ) cos , kus s e = (cos , cos ) on vektori s suunaline ühikvektor. s Tõestus. Kuna f on diferentseeruv, siis (p. 8 põhjal).
f (Q ) - f (P ) f x (P )x + f y (P )y + 1 x + 2 y 1 x 2 y = = f x (P ) cos + f y (P ) cos + + x y Tegime asenduse = cos , = cos ( cos = sin , seega cos 2 + cos 2 = 1 ).
x x y = (x )2 + (y )2 , seega x, y 0 0 ning = 1, 1. (x ) 2 + (y ) 2
Funktsiooni f diferentseeruvuse tõttu 1 , 2 0 kui x, y 0 . x y f (Q ) - f (P ) Seega 1 +2 0 , kui 0 ning lim = f x (P ) cos + f y (P ) cos . 0
6 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
Def. Funktsiooni z = f ( x, y ) gradiendiks punktis P = ( x, y ) nimetatakse vektorit f (P ) = grad f (P ) = ( f x (P ), f y (P )) . r Seega võime funktsiooni f tuletise vektori s suunas punktis P arvutada skalaarkorrutise abil: r f (P ) s r = grad f (P ) s e , kus s e = r . s s
Analoogiliselt f ( x, y, z ) korral: s e = (cos , cos , cos ) , grad f (P ) = ( f x (P ), f y (P ), f z (P )) .
Teoreem 3: Kehtivad järgmised väited: df r 1. Tuletis r võrdub vektori grad f projektsiooniga vektori s sihile; ds df 2. Tuletis r on maksimaalne (minimaalne) kui tuletis on võetud grad f suunas ds (vastavalt vastassuunas ). Tõestus. r Olgu nurk vektorite grad f ja s vahel. 1. Skalaarkorrutise definitsiooni põhjal: f r = grad f (P ) s e =| grad f || se | cos =| grad f | cos = pr sr grad f s f f 2. r = pr sr grad f on maksimaalne kui = 0 (cos = 1) r =| grad f | s s f f r = pr sr grad f on minimaalne kui = (cos = -1) r = - | grad f | s s f r Tuletis r on seega funktsiooni f muutumise kiirus vektori s suunas: f kasvab (kahaneb) kõige s kiiremini grad f (vastavalt ­grad f ) suunas.
7 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
Ilmutamata kujul antud funktsioonid Teoreem. Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y ) = 0 ning punkt P0 = ( x, y ) .
1. F, Fy on pidevad punkti P0 ümbruses;
2. F (P0 ) = 0 ;
3. Fy (P0 ) 0 ;
4. leidub Fx , mis on pidev punkti P0 ümbruses.
Kui kehtivad väited 1 ­ 3, siis funktsioon F ( x, y ) = 0 määrab punkti P0 ümbruses pideva funktsiooni y = y ( x ) . Kui kehtivad väited 1 ­ 4, siis leidub punkti P0 ümbruses pidev funktsioon y :
Fx y = - . Fy
Teoreem. Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y, z ) = 0 ning punkt P0
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #1 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #2 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #3 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #4 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #5 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #6 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #7 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #8 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #9 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #10 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #11 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #12 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #13 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #14 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #15 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #16 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #17 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #18 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #19 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #20 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #21 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #22 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #23 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #24 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #25 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #26 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #27 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #28 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #29 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #30 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #31 Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID #32
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 32 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2012-05-31 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 156 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor cr1m Õppematerjali autor

Lisainfo

Mõisted


Meedia

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri


Sarnased materjalid

39
pdf
Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad
10
doc
Matemaatiline analüüs I konspekt - funktsioon
82
docx
Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks
26
doc
Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks
142
pdf
Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ s
55
pdf
Matemaatiline analüüs II loengukonspekt
51
pdf
Matemaatilise analüüsi konspekt
8
pdf
Matemaatiline analüüs II 2-kollokviumi spikker



Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun