Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Matemaatiline analüüs I (0)

5 VÄGA HEA
Punktid
 
Säutsu twitteris
Matemaatiline anal¨ uu¨s I
Jaan Janno ii Sisukord
1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg . Absoluutv¨a¨artuse m~ oiste . Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent - ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon . Arkusfunktsioonid . 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon . Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22
2 Piirv ¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad , l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨ artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨ artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk - tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel . Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa . Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid . Fermat ' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨ artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l' Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid . . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus , n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton - Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.11 M¨a¨aratud integraali rakendusi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
iv Peat¨ ukk 1
Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted
1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu m~oiste k¨asitlemist toome sisse m~oned hulkadega seotud t¨ahised. Hulk (tavalises m~ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami- seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega . N¨aiteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne.
Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
1 ratsionaal - kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨ hisosa , st Q I = . Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulga t¨ahis on R. Seega R = Q I.
Arvtelje m~ oiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt , pikkus¨ uhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. T~oepoolest, nullpunktist u ¨he u¨ hiku v~ orra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole u ¨hiku v~orra negatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule -1/2 jne. V~oib v¨aita, et igale arvtelje punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab u ¨ks ja ainult u ¨ ¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge , mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ ahistatakse tavaliselt u ¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest.
Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: { a kui a 0 |a| = -a kui a Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel . ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|.
Absoluutv¨ a¨ artuse omadused:
1. | - a| = |a|
2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| |a| + |b|
4. |a - b| | |a| - |b| |
Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse u ¨mbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse u ¨mbrusesse [a, a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| 0. Arv x kuulub l~opmatuse u ¨mbrusesse (M, ) siis ja ainult siis, kui x > M. Suuruse miinus l~opmatus u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-, -M ), kus M > 0. Arv x kuulub miinus l~opmatuse u ¨mbrusesse (-, -M ) siis ja ainult siis, kui x raadiusega . Suurus x l¨ aheneb l~ opmatusele, kui ta asub j¨ arjest l¨ ahemal l~ opmatusele, st satub l~ opmatuse u ¨mbrusesse j¨ arjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨ apsemalt tuleb sellest juttu j¨ argmises peat¨ ukis.
T~okestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t~okestatuks, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). T~okestatud hulgad on n¨aiteks k~oik l~oplikud vahemikud (a, b), l~oigud [a, b] ja pooll~oigud [a, b), (a, b]. T~okestamata hulgad on aga n¨aiteks l~opmatud va- hemikud (-, a), (a, ) ja l~opmatud pooll~oigud (-, a], [a, ).
1.2 J¨ a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v~oib omandada erinevaid arvulisi v¨a¨ artusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline v¨a¨ artus ei muutu, nimetatakse j¨a¨avaks suuruseks. N¨aiteks u¨ htlase liikumise korral on kiirus j¨a¨av suurus ja l¨abitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitte¨ uhtlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Seega v~oib konkreetne suurus olla u ¨hes protsessis j¨a¨av kuid teises protsessis muutuv. Nii matemaatikas kui f¨ uu ¨sikas on olemas ka suurusi, mis igas olukorras on j¨a¨avad. Neid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. Absoluutsed konstan- did on n¨aiteks ringjoone u¨ mberm ~ o~odu ja l¨abim~o~odu suhe , valguse kiirus c jne.
Muutumispiirkonna m~ oiste. Muutuva suuruse k~oigi v~oimalike v¨a¨artuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨aiteks keha tempe- ratuur v~oib teoreetiliselt omada k~oiki v¨a¨artusi, mis on suuremad v~oi v~ordsemad kui absoluutne miinimum -273.15 C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond l~opmatu pooll~oik [-273.15; ).
3 Funktsiooni m~ oiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk u ¨heseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y u ¨he kindla v¨a¨artuse. Muutujat x nimetatakse seejuures s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y s~oltuvaks muutujaks.
Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨ahised f, g, u, v, , jne.
Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨ artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose
y = f (x) , (1.1)
mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks. M~onikord kasutatakse funktsiooni ja s~oltuva muutuja t¨ahistamiseks u ¨hte ja sama s¨umbolit. Sellisel juhul omab v~orrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramispiirkon- naks . M¨a¨aramispiirkonna t¨ahisena kasutame edaspidi s¨umbolit X. Hulka
Y = {f (x) || x X}
nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuste hulgaks.
Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y v¨a¨artusi, kusjuures leidub v¨ahemalt u ¨ks x v¨a¨artus, millele vastab mitu y v¨a¨artust. Ar- gumendi, s~oltuva muutuja, m¨a¨aramispiirkonna ja v¨a¨artuste hulga m~oisted on mitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate m~oistetega u ¨ hese funktsiooni korral.
NB! K¨aesolevas konspektis t¨ahendab m~oiste "funktsioon" ilma t¨aiendita " mitmene " alati u ¨hest funktsiooni.
Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi v~oimalikud v¨a¨artused esi- tatakse tabeli u¨hes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni v¨a¨artused tabeli teises reas (veerus). On v~oimalik vaid siis, kui funktsiooni argu - mendil on l~oplik arv v¨a¨artusi. 2. Anal¨ uu¨tiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisa- takse ka m¨a¨aramispiirkonna kirjeldus. N¨aiteks avaldis
y = x2 , x [0, 1]
4 kirjeldab funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik [0, 1] ja iga x kor- ral sellelt l~oigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨a¨artused f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on t¨aielikult m¨a¨ ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei aratud. N¨aiteks u ole antud oma loomulikus m¨a¨aramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik m¨ aramispiirkond on X = R. a¨ 3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordi- naadistikus. Olgu antud funktsioon f , mille argument on x, s~oltuv muu- tuja y ja m¨a¨ aramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb k~oikv~oimalikest punk - tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨abi kogu m¨a¨ aramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, l¨ uhidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon j¨argmine: G = {P = (x, f (x)) || x X} . Graafiku punkti P teist koordinaati f (x) v~oib t~olgendada P "k~orgusena" x- telje suhtes. Kui f (x) > 0, siis on graafiku "k~ orgus " positiivne, st graafik paikneb u ¨lalpool x-telge. Kui aga f (x) teljest allapoole (vt joonis 1.1). yy y = f (x)
P1·
f (x1 ) > 0 x2 G x1 x
f (x2 ) · P2
Joonis 1.1 Kuna xy-teljestikus antud punkti u ¨ldkuju on P = (x, y), funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P = (x, f (x)), siis rahuldavad graafiku punktid v~orrandit y = f (x). Suvaline y- teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut l~oigata mak- simaalselt u ¨hes punktis. See omadus tuleneb otseselt funktsiooni u ¨hesusest.
5 T~oepoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis l~oikaks graafikut mitmes punktis, siis oleks funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu "k~orgust", seega oleks ka funktsioonil u ¨he argumendi korral mitu v¨a¨artust. ¨ (Uhesel) funktsioonil ei saa aga mitut v¨a¨artust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib v¨ahemalt u ¨ks y-teljega paralleleelne sirge, mis l~oikab funktsiooni graafikut mitmes punktis.
1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funkt- sioonid . Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunkt- siooniks, kui iga x X korral kehtib v~ ordus f (-x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib v~ordus f (-x) = -f (x).
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib v~ordus f (x + C) = f (x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir- konna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v~ orratus x 1 f (x1 ) > f (x2 ),
siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t~ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.
Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. K¨aesolevas alamparagrahvis alustame p~ohiliste elementaarfunkt- sioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist. Konstantne funktsioon y = C. Ilmselt selle funktsiooni korral
X=R ja Y = {C}.
Graafik on selline:
6 y
C
x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C
Astmefunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul
y = xa , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond, v¨a¨artuste hulk ja graafik s~oltuvad oluliselt astmest a. M¨ a¨aramispiirkond on j¨ argmine. a) a = p/q, kus p, q Z ja q on paaritu. Selle juhu alla kuuluvad n¨ aiteks k~ oik t¨ aisarvuliste astendajatega funktsioonid: y = x, y = x2 , y = x-1 , y = x-2 jne, sest a Z on esitatav kujul a = a/1. Samuti h~ olmab see juht paarituid juuri: y = x1/3 , y = x1/5 , y = x-1/3 , y = x-1/5 jne. Paneme t¨ ahele, et kui a > 0, siis on k~oik need funktsioonid suvalise reaalaravu x korral m¨ a¨aratud. Kui a 0, siis X = R ja kui nullpunkt, sest nulliga jagamine ei ole v~ a 0, siis on taolised funktsioonid x 0 korral m¨ a¨ aratud. Kui a 0, siis X = [0, ) ja kui a Eksponentfunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul:
y = ax ,
kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v~orratust a > 0. Lisaks sellele v~orratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt- siooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral
X = R ja Y = (0, ).
Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4 ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt n¨ahtub, on funktsioon y = ax kasvav kogu oma m¨a¨ aramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas, kui 0 y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x
radiaanides antud argumendiga x.
7 Funktsioon cos on defineeritud kui x-telje suhtes nurga all paikneva tasandilise vektori x-koordinaadi suhe tema pikkusesse, ja sin kui taolise vektori y-koordinaadi suhe tema pikkusesse. Kraadides antud nurga teisendamisel radiaanidesse kehtib seos 180 kraadi = radiaani. Funktsioonid sin ja cos on l~oigult [0, 2] j¨ atkatud perioodiliselt kogu sin 1 arveljele. Funktsioonid tan ja cot on defineeritud valemitega tan = cos ja cot = tan . Trigonometriliste funktsioonide m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad on j¨ argmised:
y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , { } (2k + 1) y = tan x : X =R\ || k Z , Y = R , 2 y = cot x : X = R \ {k || k Z}, Y = R .
Graafikud leiab lugeja joonistelt 1.8 - 1.11 tagapool. Funktsioonid y = sin x ja y = cos x on perioodilised perioodiga 2 ning y = tan x ja y = cot x perioodiga . Funktsioonid y = sin x, y = tan x ja y = cot x on paaritud ning y = cos x paaris.
1.4 P¨ o¨ordfunktsiooni m~ oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. ¨ uhese funktsiooni m~ Uks¨ oiste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Vas- tavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argu- mendi x v¨ a¨ artusele oma m¨a¨aramispiirkonnast vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Vaatleme n¨ uu¨d teatud kitsamat erijuhtu . Nimelt eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨a¨ artuse f (x) kaudu u ¨heselt m¨a¨aratud. See t¨ahendab, et iga y kor- ral hulgast Y leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene. Iga y korral leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kuup . Arv 8 on ainult u ¨he arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult u ¨he arvu (so -3) kuup jne. Lahendades v~orrandi y = x3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = 3 y. Seevastu ruutfunktsioon y = x2 ei ole u ¨ ks¨ uhene. Iga y > 0 korral leidub kaks x-i nii, et valitud y on m~olema x-i ruut. Arv 4 nii -2 kui 2 ruut. V~orrandi y = x2 lahendamisel saame kaks funktsiooni x = y ja x = - y ehk u ¨he mitmese funktsiooni x = ± y. Funktsiooni u ¨ks¨uhesust saab kindlaks teha ka graafiku abil. Kui suvaline x-teljega paralleelne sirge l¨abib funktsiooni graafikut maksimaalselt u ¨hes punk- tis, siis on see funktsioon u uhene. Nii on see n¨aiteks kuupfunktsiooni y = x3 ¨ ks¨ graafikuga. Seevastu ruutfunktsiooni y = x2 graafikut ( parabooli ) l¨abib x- teljega paralleelne ja selle telje peal asuv sirge kahes punktis. Nagu n¨agime, ei ole viimasel juhul tegemist u ¨ks¨uhese funktsiooniga.
8 ¨ uhese funktsiooni p¨ Uks¨ o¨ ordfunktsioon. Uks¨ ¨ uhese funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f (x)-le funktsiooni f v¨a¨artuste hulgast vastavusse x-i. P¨o¨ordfunktsiooni avaldise saame, kui lahen- dame v~orrandi y = f (x) muutuja x suhtes. P¨o¨ordfunktsioonis funktsiooni argu- ment ja s~oltuv muutuja vahetavad oma kohad. See t¨ahendab, et kui funktsiooni f argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni argumendiks on y ja s~oltuvaks muutujaks x. Samuti vahetavad p¨o¨ordfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni m¨a¨ aramispiirkond ja v¨a¨artuste hulk. Olgu x = g(y) u¨ ks¨ uhese funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsioon. Siis funkt- sioonid f ja g kompenseerivad teineteist j¨argmises m~ottes. Fikseerime mingi x v¨a¨artuse ja arvutame f (x). Seej ¨arel arvutame g[f (x)], st funktsioon g kohal f (x). Tulemusena saame esialgse x v¨a¨artuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f [g(y)] saame y v¨a¨artuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul
g[f (x)] = x , f [g(y)] = y . (1.2)
Kui g of funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni, siis f on g p¨o¨ordfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) ja tema p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellep ¨arast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y) m¨a¨aravad u¨ hed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka u ¨hed ja samad punktid P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i.
yy y = f (x) x = g(y) y = g(x) G x Joonis 1.3
Kui aga p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad va- hetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldub u ¨le sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud s¨ ummeetrilised sirge y = x suhtes (joonis 1.3).
9 Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. J¨atkame eelmises paragrahvis alustatud p~ohiliste elementaarfunktsioonide loetelu m~onede oluliste p¨o¨ordfunkt- sioonidega. Logaritmfunktsioon. Suvaline x-teljega paralleelne sirge l¨abib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut maksimaalselt u¨hes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon u ¨ks¨uhene ning tal on olemas p¨o¨ordfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax p¨ o¨ordfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y , kus a on logaritmi alus. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et a > 0 ja a = 1. Vastavalt valemitele (1.2) kehtivad seosed loga [ax ] = x ja aloga y = y. Kuna p¨o¨ ordfunktsiooni v~otmisel m¨a¨aramispiirkond ja v¨a¨artuste hulk va- hetavad oma kohad, siis l¨ahtudes eksponentfunktsioonist (vt §1.3) n¨aeme, et funktsiooni y = loga x m¨a¨aramispiikond ja v¨a¨artuste hulk on vastavalt X = (0, ) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide p¨o¨ordfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide p¨o¨oramisel on see, et nad ei ole terves oma m¨a¨ aramispiirkonnas u ¨ ks¨ uhesed. T~oepoolest, vaadeldes trigono- meetriliste funktsioonide graafikuid joonistel 1.8 - 1.11 n¨aeme, et x-teljega pa- ralleelsed sirged v~oivad neid graafikuid l~oigata paljudes punktides. Seet~ottu ei ole v~oimalik saada neile funktsioonidele terves oma m¨a¨aramispiirkonnas u ¨heseid p¨o¨ ordfunktsioone. P¨o¨ ordfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide m¨a¨ara- mispiirkondade alamhulkadel. Vaatleme seda iga trigonomeetrilise funktsiooni korral l¨ahemalt. Funktsioon y = sin x ei ole u ¨ks¨ uhene, sest u ¨hele sin x v¨a¨artusele vastab l~ opmata palju x v¨ a¨ artusi. N¨aiteks x- telg l~oikab siinuse graafikut l~opmata arvus erinevates punktides (vt joonis 1.8). Funktsiooni y = sin x p¨o¨oramisel ahen- datakse tema m¨a¨ aramispiirkond kokkuleppeliselt l~oiguks [- 2 , 2 ], st j¨aetakse vaatluse alt v¨alja kogu see sin x osa, mille korral x [- 2 , 2 ]. Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x [- , ] 2 2 u ¨ks¨uhene. Selle funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja t¨ ahistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3)
10 neist esimene iga x [- 2 , 2 ] korral. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti u ¨ks¨ uhene kogu arvteljel, p¨o¨oramisel ahendatakse tema m¨a¨ aramispiirkond l~oiguks [0, ]. Sellel l~oigul on ta u ¨ks¨ uhene (joonis 1.9). Funktsiooni y = cos x, x [0, ] p¨o¨ordfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda t¨ahistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid
arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y,
neist esimene iga x [0, ] korral. Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x va- hemikule (- 2 , 2 ) ja cot x vahemikule (0, ). Funktsioonide y = tan x, x (- , ) ja y = cot x, x (0, ) 2 2 p¨o¨ordfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid
arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,
neist esimene iga x (- 2 , 2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad on j¨argmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [- , ] , 2 2 y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (- , ) , 2 2 y = arccot x : X = R, Y = (0, ) .
Need saab leida lihtsalt, kui vahetada u¨ laltoodud trigonomeetriliste funktsioonide ahendite m¨a¨ aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad. Arkusfunktsioonide graafikud on kujutatud joonistel 1.12 - 1.15. V~orreldes omavahel jooniseid 1.8 - 1.11 ja 1.12 - 1.15 n¨aeme, et arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused u ¨le sirge y = x. P¨ o¨ ordfunktsioon funktsioonist, mis ei ole u ¨ ks¨uhene. Olgu vaadeldav funktsioon y = f (x) oma m¨ a¨ aramispiirkonnaga X ja v¨ aa ¨rtuste hulgaga Y k¨ull u ¨ hene , kuid mitte u ¨ks¨uhene. Funktsiooni f p¨ ordfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y Y seab vastavusse k~ o¨ oigi selliste x X hulga, mille korral kehtib v~ordus f (x) = y. ¨ Uhese, kuid mitte u¨ ks¨ uhese funktsiooni p¨o¨ ordfunktsioon on mitmene. Selliste funkt- sioonide n¨aideteks on terves oma m¨ a¨ aramispiirkonnas antud trigonomeetriliste funktsioonide p¨o¨ ordfunktsioonid ehk "suure algust¨ ahega" arkusfunktsioonid. T¨ apsemalt: terves m¨ aa ¨ramis- piirkonnas antud funktsioonide y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x p¨oo ¨rdfunktsioonid on vastavalt x = Arcsin y, x = Arccos y, x = Arctan y ja x = Arccot y. Arvutame n¨ aiteks Arcsin 0. Kuna k~ oigi selliste x hulk, mille korral sin x v~ ordub nulliga, on {k || k = 0, ±1, ±2, . . .}, siis saamegi Arcsin 0 = {k || k = 0, ±1, ±2, . . .}.
11 y
1
x
Joonis 1.4: y = ax kui a > 1
y
1
x
Joonis 1.5: y = ax kui 0 12 y
x 1
Joonis 1.6: y = loga x kui a > 1
y
x 1
Joonis 1.7: y = loga x kui 0 13 y 1 x 2 3 3 2 2 2 1 2 2 Joonis 1.8: y = sin x
y 1 x 2 3 3 2 2 2 1 2 2 Joonis 1.9: y = cos x
14 y
x 2 3 3 2 2 2 2 2
Joonis 1.10: y = tan x
y
x 2 3 3 2 2 2 2 2
Joonis 1.11: y = cot x
15 y 2
x 1 1
2
Joonis 1.12: y = arcsin x
y
2
x 1 1
Joonis 1.13: y = arccos x
16 y 2
x
2
Joonis 1.14: y = arctan x
y
2
x
Joonis 1.15: y = arccot x
17 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt- sioon . Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y = f (x) ja y = g(x) u ¨hise m¨a¨aramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y v¨a¨artuse valemiga y = f (x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos
y = (f + g)(x) = f (x) + g(x).
Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f - g)(x) = f (x) - g(x), korrutis y = (f g)(x) = f (x)g(x) ja jagatis y = (f /g)(x) = f (x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise m¨a¨aramispiirkonnaks on X. Jagatise m¨ aramispiirkond koosneb k~oigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. a¨
Liitfunktsiooni m~ oiste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f (x) m¨a¨aramispiir- konnaga Xf ja z = g(y) m¨a¨aramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funkt- siooni g avaldises f (x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja s~ oltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f (x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. T¨ahistame seda funktsiooni s¨umboliga g f . Seega v~oime kirjutada v~orduse
z = (g f )(x) = g[f (x)].
Liitfunktsiooni g f m¨a¨aramispiirkond ei tarvitse kattuda f m¨a¨aramispiirkon- naga. Liitfunktsioon g f on m¨a¨aratud ainult sellistel x-i v¨a¨artustel hulgas Xf , mille korral f (x) asub funktsiooni g m¨a¨aramispiirkonnas. T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]. Seega on g f m¨a¨aramispiirkond j¨argmine:
Xgf = {x || x Xf , f (x) Yg } . N¨aiteks annavad f (x) = sin x ja g(y) = y liitfunktsiooni (g f )(x) =
sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ), siis Xgf = {x || sin x [0, )} = {x || 2k x (2k + 1), k Z)}.
Elementaarfunktsiooni m~ oiste. P~ohilisteks elementaarfunktsioonideks on argmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = j¨ cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta - miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N¨aiteid elementaarfunktsioonide kohta: ex elementaarfunktsioon y = 5 + 7 tan x - cos x on moodustatud p~ ohilistest elemen- taarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x l~opliku arvu
18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x ) on p~ohiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; elementaarfunktsioon y = 2arccos x + tan32 x - 4 on saadud p~ohilistest elemen- taarfunktsioonidest y = 2x , y = arccos x, y = 3, y = tan x, y = x2 , y = 4 ja y = x1/2 l~ opliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamisega. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka pol¨unoomid ja ratsionaalfunkt- sioonid. n- astme pol¨ unoom on defineeritud avaldisega
P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn ,
kus a0 , a1 , a2 , . . . , an-1 , an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe pol¨ unoomi jagatis
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm-1 xm-1 + bm xm
K~oik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua u ¨sna lihtsaid n¨aiteid. N¨aiteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside'i funktsioon, mis on defineeritud j¨argmise eeskirjaga: { 1 kui x 0, (x) = 0 kui x 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Para- meetrilisel kujul antud jooned ja funktsioonid. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsioon v~oib olla kas ilmutatud v~oi ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f (x) ilmutatud kujuks on v~orrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis v~oib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. N¨aiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f (x) ilmutamata kujuks on v~orrand, mis sisaldab x ja y l¨abisegi, st v~orrand
F (x, y) = 0 , (1.4)
kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨aiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v~orrandis (1.4), siis muutub see v~orrand samasuseks F (x, f (x)) 0. Seda on illustreeritud allpooltoodud n¨aites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v~orrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni.
19 N¨ aide . Vaatleme v~orrandit
x2 + y 2 = 1 . (1.5)
Kui me lahendame selle v~orrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = - 1 - x2 ja y = 1 - x2 . Seega m¨a¨ arab v~o rrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni. Asendades kas y = - 1 - x2 v~ o i y = 1 - x 2 v~ orrandisse (1.5) saame v~orduse x + [ 1 - x ] = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks 2 2 2
0 0.
Parameetriliselt antud joon. Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid u ¨les s¨ usteemina
{ x = (t) (1.6) y = (t) , t [T1 , T2 ] .
S¨usteem (1.6) m¨a¨ arab iga t [T1 , T2 ] korral u¨he kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Uldiselt¨ vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨artustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨ abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. V~orrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muu- tujat t selle joone parameetriks.
N¨ aide. Vaatleme joont
{ x = a cos t (1.7) y = b sin t , t [0, 2] ,
kus a ja b on positiivsed konstandid. Arvutame
x2 y2 (a cos t)2 (b sin t)2 2 + 2 = 2 + = (cos t)2 + (sin t)2 = 1 . a b a b2
arelikult on vaadeldava joone v~orrand x ja y kaudu esitatuna j¨argmine:
x2 y2 2 + 2 = 1. a b
Seda joont nimetatakse ellipsiks (joonis 1.16). Arve a ja b nimetatakse ellipsi pooltelgedeks.
20 yy b
G -a a x
-b
Joonis 1.16
Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f (x). Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. T~oepoolest: kasutades muutuja x valemit arvutame y = f (x) = f [(t)] = (f )(t). Seega, t¨ahistades = f saame v~orrandi y = (t). V~otame need kaks v~orrandit kokku u ¨hte s¨usteemi. Kui parameetri t muutu- mispiirkond on l~oik [T1 , T2 ], n¨aeb see s¨ usteem v¨alja j¨argmine: { x = (t) (1.8) y = (t) , t [T1 , T2 ] .
V~orrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v~orrandi- teks. V~orranditega (1.8) antud joon on u ¨htlasi funktsiooni y = f (x) graafikuks. N¨ aiteks vaatleme funktsiooni b 2 y = a - x2 , a kus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kaudu j¨argmiselt: x = a cos t. Siis saame b 2 y = a - a2 cos2 t = b 1 - cos2 t. a Eeldame, et parameeter t asub l~oigul [0, ]. Sellel l~oigul on funktsioon sin t mit- tenegatiivne. Seet~ottu kehtib v~ordus 1 - cos2 t = sin t. N¨uu¨d saame muutuja y jaoks j¨argmise v~orrandi: y = b sin t.
21 V~ottes x ja y v~orrandid kokku, paneme antud funktsiooni jaoks kirja j¨argmise parameetrilise esituse: { x = a cos t y = b sin t , t [0, ] . Funktsiooni y = ab a2 - x2 graafikuks on joonisel 1.16 toodud ellipsi u ¨ lemine (x-telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri v¨a¨artustele t [0, ]. Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt f¨ uu¨sikas. Parameeter t t¨ ahistab seal enamasti aega. N¨aiteks esitab parameetiline joon ajas liikuvat punkti tasandil.
1.7 H¨ uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. Selles paragrahvis defineerime veel m~oned olulised elementaarfunktsioonid. Mate- maatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn h¨ uperboolseid trigonomeetri- lisi funktsioone. Nendeks on ex - e-x sinh x = - h¨ uperboolne siinus , 2 ex + e-x cosh x = - h¨ uperboolne kosinus , 2 sinh x ex - e-x tanh x = = - h¨ uperboolne tangens , cosh x ex + e-x cosh x ex + e-x coth x = = - h¨ uperboolne kotangens . sinh x ex - e-x M¨ a¨aramispiirkonnad ja v¨ a¨artuste hulgad on j¨ argmised: y = sinh x : X = R, Y = R , y = cosh x : X = R, Y = [1, ) , y = tanh x : X = R, Y = (-1, 1) , y = coth x : X = R \ {0}, Y = (-, -1) (1, ) . Graafikud on toodud joonistel 1.18 - 1.21.
H¨uperboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel 1 2 sech x = = x - h¨ uperboolne seekant : cosh x e + e-x 1 2 csch x = = x - h¨ uperboolne koseekant . sinh x e - e-x Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x p¨o¨ordfunktsioonid on nn area- funktsioonid: x = arsinh y - areasiinus (funktsiooni y = sinh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x p¨o¨ordfunktsioon) .
22 Nii nagu h¨ uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid elementaarfunktsioonid. Toome siinkohal areafunktsioonide avaldised p~ ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu koos m¨ a¨aramispiirkondade ja v¨ a¨artuste hulkadega: ( ) arsinh x = ln x + x2 + 1 : X = R, Y = R , ( ) arcosh x = ln x + x2 - 1 : X = [1, ), Y = [0, ) , 1 1+x artanh x = ln : X = (-1, 1), Y = R , 2 1-x 1 x+1 arcoth x = ln : X = (-, -1) (1, ), Y = R \ {0} . 2 x-1
H¨uperboolne siinus ja kosinus on seotud teatud teist liiki joone, nn h¨ uperbooliga. Selle selgitamiseks tuletame k~oigepealt u¨ he abivalemi. Arvutame: ( )2 ( x )2 ex + e-x e - e-x (cosh x) - (sinh x) = 2 2 - 2 2 1 [ 2x ] 1 [ ] = e + e-2x + 2 - e2x + e-2x - 2 4 4 e2x e-2x 1 e2x e-2x 1 = + + - - + = 1. 4 4 2 4 4 2 J¨arelikult kehtib valem
(cosh x)2 - (sinh x)2 = 1 . (1.9)
See seos on tuntud trigonomeetria valemi (cos x)2 + (sin x)2 = 1 analoog h¨uper- boolsete trigonomeetriliste funktsioonide korral. Vaatleme n¨ uu ¨d kahte parameetriliselt antud joont, millest esimene on kirjel- datud v~orranditega { x = R cosh t (1.10) y = R sinh t , t R ,
ja teine v~orranditega { x = -R cosh t (1.11) y = R sinh t , t R ,
kus kordaja R on positiivne konstant. Nii joone (1.10) kui (1.11) korral kehtib j¨argmine v~ordus
x2 - y 2 = (R cosh t)2 - (R sinh t)2 = R2 [(cosh t)2 - (sinh t)2 ] = R2
ehk
x2 - y 2 = R2 . (1.12)
23 V~ orrandiga (1.12) antud joont nimetatakse h¨uperbooliks (joonis 1.17). H¨ uperbool koosneb kahest x - telje suhtes s¨ ummeetrilisest harust. Parempoolse haru para- meetrilised v~orrandid on (1.10) ja vasakpoolse haru parameetrilised v~orrandid on (1.11). yy
y = -x y=x
G -R R x
Joonis 1.17
24 y
x
Joonis 1.18: y = sinh x
y
1
x
Joonis 1.19: y = cosh x
25 y
1
x
1
Joonis 1.20: y = tanh x
y
1 x 1
Joonis 1.21: y = coth x
26 Peat¨ ukk 2
Piirv¨ a¨ artus ja pidevus
2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. Muutuva suuruse x kohta ¨oeldakse, et ta on j¨ arjestatud, kui tema v¨a¨artustest on moodustatud j¨arjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev ja kumb j¨argnev. J¨arjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ajast s~oltuv suurus. Sel juhul on loomulik lugeda kahest suuruse v¨a¨artusest j¨argnevaks seda, mis vastab suu- remale ajamuutuja v¨a¨ artusele. N¨aiteks materiaalse objekti sirgjoonelisel liiku- misel l¨abitud teepikkus S(t) on j¨arjestatud suurus. Kui t2 > t1 , siis teepikkuse v¨a¨artus S(t2 ) j¨argneb teepikkuse v¨a¨artusele S(t1 ). J¨arjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ka reaalarvude jada
x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . .
Sel juhul genereerib jada indeks j¨arjestuse. Kui k > i, siis jada element xk j¨argneb elemendile xi . Selles paragrahvis tegeleme me selliste j¨arjestatud suurustega, mis m¨o¨oda j¨arjestust edasi liikudes l¨ ahenevad teatud fikseeritud arvule. Need on nn koondu- vad e piirv¨a¨ artust omavad suurused. Nendest m~oistetest arusaamiseks k¨asitleme k~oigepealt u¨hte n¨ aidet mehaanika vallast . Olgu vaatluse all vedru, mis on u ¨ hest otsast kinnitatud ja teine ots on lah- tine. Olgu tasakaaluasendis vedru pikkus a. Kui vedrut kokku suruda v~oi v¨alja venitada ja seej¨arel vabastada, hakkab tema lahtine otspunkt tasakaaluasendi u ¨ mber v~onkuma. Vedru pikkus on sel juhul ajast s~oltuv (seega j¨arjestatud) muu- tuv suurus x. V~onkumisprotsessi m~ojutavad mitmesugused takistusj ~oud, mille tagaj ¨arjel v~onkumine sumbub , st vedru pikkus x l¨aheneb arvule a. Vaatame kuidas oleks v~oimalik sellist l¨ahenemisprotsessi matemaatilistes terminites kir- ¨ v~oimalus on j¨argmine. Valime mingisuguse tasakaalupunkti u jeldada. Uks ¨mbruse, n¨aiteks (a - 0.1, a + 0.1). Kuna v~onkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x v¨a¨artusest) alates k~oik j¨argnevad vedru pikkuse v¨a¨artused x j¨a¨avad vahemikku (a - 0.1, a + 0.1), st rahuldavad v~orratust |x - a| 27 teise, v¨aiksema raadiusega u ¨mbruse, nt (a - 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨allegi seda, et v~onkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja sellele vastav x v¨a¨ artus nii, et k~oik j¨argnevad x v¨a¨artused j¨a¨avad vahemikku (a - 0.01, a + 0.01), st rahuldavad v~orratust |x - a| Muutuva suuruse piirv¨a¨artuse u ¨ ldine definitsioon on j¨argmine:
Olgu x j¨arjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirv¨a¨ artuseks, kui iga kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sel- list suuruse x v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suuruse v¨a¨artused kuuluvad arvu a u ¨mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v~orratust |x - a| kirjutatakse
xa v~oi lim x = a .
Piirv¨a¨ artuse u¨ldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, pare- malt v~oi m~olemalt poolt) muutuja x l¨ ahenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x l¨aheneb arvule a ¨ ainult vasakult v~oi paremalt. Uhepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame u ¨ ldisest piirv¨a¨ artuse definitsioonist , kui me seal esineva u ¨mbruse (a-, a+) kit- sendame kas vasakpoolseks v~oi parempoolseks u ¨mbruseks (a - , a] v~oi [a, a + ).
Muutuv suurus x l¨aheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes v¨aikese posi - tiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse x v¨a¨artust, millest alates k~oik argnevad muutuva suuruse v¨a¨artused kuuluvad pooll~oiku (a - , a]. Sellisel j¨ juhul kirjutatakse
x a- .
Muutuv suurus x l¨aheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes v¨aikese posi- tiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse x v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨ argnevad muutuva suuruse v¨a¨artused kuuluvad pooll~oiku [a, a + ). Siis kirju- tatakse
x a+ .
Saab konstrueerida ka lihtsaid mehaanilisi mudeleid , mis illustreerivad u ¨he- poolset koondumist. N¨aiteks, kui vedru on u ¨hendatud mingi tugeva v~onkumist summutava seadmega (nt amortisaatoriga), siis v~onkumist u ¨mber tasakaalupunkti ei teki. Vedru pikkus x l¨aheneb a-le ainult vasakult v~oi paremalt s~oltuvalt sell- est, kas vedru on kokku surutud v~oi v¨alja venitatud.
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Matemaatiline analüüs I #1 Matemaatiline analüüs I #2 Matemaatiline analüüs I #3 Matemaatiline analüüs I #4 Matemaatiline analüüs I #5 Matemaatiline analüüs I #6 Matemaatiline analüüs I #7 Matemaatiline analüüs I #8 Matemaatiline analüüs I #9 Matemaatiline analüüs I #10 Matemaatiline analüüs I #11 Matemaatiline analüüs I #12 Matemaatiline analüüs I #13 Matemaatiline analüüs I #14 Matemaatiline analüüs I #15 Matemaatiline analüüs I #16 Matemaatiline analüüs I #17 Matemaatiline analüüs I #18 Matemaatiline analüüs I #19 Matemaatiline analüüs I #20 Matemaatiline analüüs I #21 Matemaatiline analüüs I #22 Matemaatiline analüüs I #23 Matemaatiline analüüs I #24 Matemaatiline analüüs I #25 Matemaatiline analüüs I #26 Matemaatiline analüüs I #27 Matemaatiline analüüs I #28 Matemaatiline analüüs I #29 Matemaatiline analüüs I #30 Matemaatiline analüüs I #31 Matemaatiline analüüs I #32 Matemaatiline analüüs I #33 Matemaatiline analüüs I #34 Matemaatiline analüüs I #35 Matemaatiline analüüs I #36 Matemaatiline analüüs I #37 Matemaatiline analüüs I #38 Matemaatiline analüüs I #39 Matemaatiline analüüs I #40 Matemaatiline analüüs I #41 Matemaatiline analüüs I #42 Matemaatiline analüüs I #43 Matemaatiline analüüs I #44 Matemaatiline analüüs I #45 Matemaatiline analüüs I #46 Matemaatiline analüüs I #47 Matemaatiline analüüs I #48 Matemaatiline analüüs I #49 Matemaatiline analüüs I #50 Matemaatiline analüüs I #51 Matemaatiline analüüs I #52 Matemaatiline analüüs I #53 Matemaatiline analüüs I #54 Matemaatiline analüüs I #55 Matemaatiline analüüs I #56 Matemaatiline analüüs I #57 Matemaatiline analüüs I #58 Matemaatiline analüüs I #59 Matemaatiline analüüs I #60 Matemaatiline analüüs I #61 Matemaatiline analüüs I #62 Matemaatiline analüüs I #63 Matemaatiline analüüs I #64 Matemaatiline analüüs I #65 Matemaatiline analüüs I #66 Matemaatiline analüüs I #67 Matemaatiline analüüs I #68 Matemaatiline analüüs I #69 Matemaatiline analüüs I #70 Matemaatiline analüüs I #71 Matemaatiline analüüs I #72 Matemaatiline analüüs I #73 Matemaatiline analüüs I #74 Matemaatiline analüüs I #75 Matemaatiline analüüs I #76 Matemaatiline analüüs I #77 Matemaatiline analüüs I #78 Matemaatiline analüüs I #79 Matemaatiline analüüs I #80 Matemaatiline analüüs I #81 Matemaatiline analüüs I #82 Matemaatiline analüüs I #83 Matemaatiline analüüs I #84 Matemaatiline analüüs I #85 Matemaatiline analüüs I #86 Matemaatiline analüüs I #87 Matemaatiline analüüs I #88 Matemaatiline analüüs I #89 Matemaatiline analüüs I #90 Matemaatiline analüüs I #91 Matemaatiline analüüs I #92 Matemaatiline analüüs I #93 Matemaatiline analüüs I #94 Matemaatiline analüüs I #95 Matemaatiline analüüs I #96 Matemaatiline analüüs I #97 Matemaatiline analüüs I #98 Matemaatiline analüüs I #99 Matemaatiline analüüs I #100 Matemaatiline analüüs I #101 Matemaatiline analüüs I #102 Matemaatiline analüüs I #103 Matemaatiline analüüs I #104 Matemaatiline analüüs I #105 Matemaatiline analüüs I #106 Matemaatiline analüüs I #107 Matemaatiline analüüs I #108 Matemaatiline analüüs I #109 Matemaatiline analüüs I #110 Matemaatiline analüüs I #111 Matemaatiline analüüs I #112 Matemaatiline analüüs I #113 Matemaatiline analüüs I #114 Matemaatiline analüüs I #115 Matemaatiline analüüs I #116 Matemaatiline analüüs I #117 Matemaatiline analüüs I #118 Matemaatiline analüüs I #119 Matemaatiline analüüs I #120 Matemaatiline analüüs I #121 Matemaatiline analüüs I #122 Matemaatiline analüüs I #123 Matemaatiline analüüs I #124 Matemaatiline analüüs I #125 Matemaatiline analüüs I #126 Matemaatiline analüüs I #127 Matemaatiline analüüs I #128 Matemaatiline analüüs I #129 Matemaatiline analüüs I #130 Matemaatiline analüüs I #131 Matemaatiline analüüs I #132 Matemaatiline analüüs I #133 Matemaatiline analüüs I #134 Matemaatiline analüüs I #135 Matemaatiline analüüs I #136 Matemaatiline analüüs I #137 Matemaatiline analüüs I #138 Matemaatiline analüüs I #139 Matemaatiline analüüs I #140 Matemaatiline analüüs I #141 Matemaatiline analüüs I #142
Punktid 5 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 5 punkti.
Leheküljed ~ 142 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2012-08-14 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 28 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor Ragnar Säde Õppematerjali autor

Mõisted


Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri


Sarnased materjalid

142
pdf
Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ s
37
docx
Matemaatiline analüüs l
16
doc
Matemaatiline analüüs
13
docx
Matemaatiline analüüs I KT
28
doc
Matemaatiline analüüs
10
doc
Matemaatiline analüüs I
20
docx
MATEMAATILINE ANALÜÜS I
3
docx
Matemaatiline analüüs 1



Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun