Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like


Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks (1)

1 HALB
Punktid

Esitatud küsimused

  • Miks nüüd iga n m ≤ xn ≤ M ?
 
Säutsu twitteris
  • Reaalarvud
    Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist:
  • Q R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas
  • Aritmeetika ( tehted reaalarvudega) ja järjestus
    Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega:
    (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral ( liitmise kommutatiivsus )
    (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus )
    (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu)
    (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu)
    (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus)
    (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus)
    (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu)
    (M4) iga b € R \ {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu)
    (D) (a + b) c= ac +ab kõikide a,b,c € R korral (distributiivsus)
    Järjestatus. Nõuame, et hulk R oleks järjestatud seosega 0, siis ac monotoonsus )
  • Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
  • Geomeetriline mudel – arvsirge (üksühene vastavus reaalarvude ja arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a. Pidevuse aksioom (P) garanteerib selle, et igale arvsirge punktile vastab mingi üheselt määratud reaalarv .
  • Igast mittenegatiivsest arvust saab võtta n-da juure – Igast mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määratud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn=b
  • Alamhulk N ei ole ülalt tõkestatud ( Archimedese printsiip) – Alamhulk N ⊂ R ei ole ülalt tõkestatud, s. t. iga reaalarvu a korral leidub temast suurem naturaalarv n. Teisisõnu ,
    Iga a € R leidub n € N : n > a
  • Iga kahe reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal -kui ka irratsionaalarve (ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga tihedus) – Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on tihe hulgas R järgmises mõttes: kui a, b € R ja a
  • Tõkestatud alamhulgad . Hulga ülemine ja alumina raja (*)
    Tõkestatud alamhulgad hulgas R.
    Öeldakse, et alamhulk X ⊂ R on ülalt tõkestatud, kui leidub selline M ∈ R, et võrratus x ≤ M kehtib iga x ∈ X korral. Arvu M nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks. Analoogiliselt nimetatakse hulka X ⊂ R alt tõkestatuks, kui leidub m ∈ R, et iga x ∈ X korral kehtib võrratus x ≥ m. Arvu m nimetatakse siis hulga X alumiseks tõkkeks.
    Öeldakse, et hulk X on tõkestatud, kui ta on nii ülalt kui ka alt tõkestatud.
    Näited tõkestatud ja tõkestamata hulkadest:
    Kõigi reaalarvude hulk on tõkestamata hulk
    Hulk X = (1,5] on tõkestatud hulk, inf X = 1, sup X =max X = 5, minimaalset elementi vaadeldavas hulgas ei eksisteeri.
    Kõigi naturaalarvude hulk X = N on alt tõkestatud, ei ole ülalt tõkestatud; min X = inf X = 1, sup X = lõpmatus .
    Defineerida ülalt tõkestatud hulga ülemine raja ja alt tõkestatud hulga alumina raja, selgitaga neid mõisteid ( laused 1.2 ja 1.3)
    Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Arv b ∈ R on hulga X ülemine raja (s.t. b = supX) parajasti siis, kui
    (i) x ≤ b iga x ∈ X korral ja
    (ii) iga c ∈ R korral, mis rahuldab võrratust c Seejuures võib tingimuse (ii) esitada temaga samaväärsel kujul
    (ii′) iga ε > 0 korral leidub selline x0 ∈ X, et b − ε Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Võrdus inf X = a kehtib parajasti siis, kui
    (i) x ≥ a iga x ∈ X korral ja
    (ii) iga d ∈ R korral, mis rahuldab võrratust d > a, leidub selline x0 ∈ X, et x0 Tingimuse (ii) võib esitada temaga samaväärsel kujul
    (ii′) iga positiivse ε > 0 korral leidub selline x0 ∈ X, et x0 Tõestada, et kui alamhulgas on suurim (vähim) element, siis see on hulga ülemine (alumine) raja (lause 1.4)
    Kui hulgas X eksisteerib suurim element, siis see on hulga X ülemine raja, s.t.
    supX = maxX. Analoogiliselt, kui minX eksisteerib, siis inf X = minX.
    Pidevuse aksioom. Nagu me eelpool veendusime , ei pruugi ülalt tõkestatud alamhulgal olla maksimaalset ega alt tõkestatud hulgal minimaalset elementi. Selge ei ole ka ülemise ja alumise raja olemasolu, seda ei ole aritmeetika ja järjestuse aksioomidest lähtudes võimalik tõestada. Seepärast eeldatakse (s.t. postuleeritakse), et reaalarvude hulgas R kehtib järgmine väide, mida nimetatakse pidevuse aksioomiks:
    (P) igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊂ R leidub ülemine raja.
    Reaalarvude hulga seda omadust nimetatakse tema täielikkuseks.
    Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkestatud
    alamhulgal. Selle tõestamisel rakendame me mitmel korral järjestuse aksioomidest järelduvat
    omadust võrratused a Tuua näiteid alumise ja ülemise raja kohta:
    Alumine raja (infX): [0,2) minX = 0
    Ülemine raja (maxX): (0,2] maxX = 2
  • Pidevuse aksioom (*)
    Esitada pidevuse aksioom (P) - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
    Tõestada, et igal alt tõkestatud hulgal on alumina raja:
    Eeldame, et X ⊂ R on mittetühi alamhulk, mis on alt tõkestatud reaalarvuga m, s.t. m ≤ x iga x ∈ X korral. Omaduse ** kohaselt −x ≤ −m iga x ∈ X korral. Tähistame Y := {−x | x ∈ X} ja paneme tähele, et hulk Y on ülalt tõkestatud. Pidevuse aksioomi (P) põhjal laidub tal ülemine raja c := sup Y.
    Näitame, et arv a := -c on hulga X alumina raja. Kuna −x ≤ c, siis x ≥ −c = a iga
    x ∈ X korral , mis tähendab, et a on hulga X alumine tõke. Osutub, et
    ta on alumistest tõketest suurim. Et selles veenduda, võtame suvalise d > a ja kontrollime
    niisuguse x0 ∈ X olemasolu, mis rahuldab tingimust x0 Võrratusest d > a tuleneb, et −d −d. Seejuures y0 = −x0 mingi x0 ∈ X korral, mistõttu −x0 = y0 > −d ehk x0 Teada, et kui X ja Y on ülalt tõkestatud alamhulgad, siis X + Y on ülalt tõkestatud ja sup(X + Y) = supX + supY
    Olgu X ja Y mittetühjad reaalarvude hulgad. Kui X ja Y on ülalt tõkestatud, siis on ka hulk {x + y | x ∈ X, y ∈ Y } ülalt tõkestatud ja sup {x + y | x ∈ X, y ∈ Y } = supX + sup Y
    ** - võrratused a *** - Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Võrdus inf X = a kehtib parajasti siis, kui iga d ∈ R korral, mis rahuldab võrratust d > a, leidub selline x0 ∈ X, et x0 **** - Olgu X ⊂ R mittetühi hulk. Arv b ∈ R on hulga X ülemine raja (s.t. b = supX) iga c ∈ R korral, mis rahuldab võrratust c
  • Reaalarvu absoluutväärtus (*)
    Esitada absoluutväärtuse definitsioon:
    Arvu a ∈ R absoluutväärtuseks nimetatakse arvu
    Selgitada, et |a| = max{a, -a}, selle seose abil põhjendada lihtsamaid seoseid:
    1) a ≤ |a| ja −a ≤ |a| ,
    2) |a| ≥ 0,
    3) |−a| = |a|
    4) |a| = 0 parajasti siis, kui a = 0
    Tõestada, et |a| ≤ c parajasti siis, kui –c ≤ a ≤ c:
    Reaalarvude a ja c korral kehtib võrratus |a| ≤ c parajasti siis, kui −c ≤ a ≤ c
    Tarvilikkus. Eeldame, et |a| ≤ c, ja veendume, et siis −c ≤ a ≤ c. Tõepoolest ,
    kui |a| ≤ c, siis
    a ≤ max {a,−a} = |a| ≤ c ja
    −a ≤ max {a,−a} = |a| ≤ c,
    mis tingimuse ** kohaselt tähendab, et −c ≤ a. Kokkuvõttes −c ≤ a ≤ c.
    Piisavus . Nüüd eeldame, et −c ≤ a ≤ c, siis −a ≤ c , mistõttu |a| = max {a,−a} ≤ c.
    Lause on tõestatud
    Absoluutväärtuse tehetega seotud omadused:
    Reaalarvude a ja b puhul kehtivad järgmised väited :
    (a) |a + b| ≤ |a| + |b| (absoluutväärtuse kolmnurgaomadus),
    (b) |a − b| ≤ |a| + |b|,
    (c) ||a| − |b|| ≤ |a − b|,
    (d) |ab| = |a| |b|.
    ** - võrratused a
  • Intervallid
    Esitada intervallide definitsioon - Intervalliks nimetatakse sellist alamhulka X ⊂ R, millel on järgmine
    omadus: kui a, b ∈ X ja a Tuua (põhjendustega) 2 näidet lõpmatust reaalarvude hulgast, mis ei ole intervall :
    Intervallide tüübid (vahemik, poollõik , lõik; tõkestatud ja tõkestamata intervallid):
    Iga kaks reaalarvu a ja b, kus a vahemiku (a, b) := {x ∈ R | a poollõigud (a, b] := {x ∈ R | a lõigu [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
    Lisaks neile neljale intervallide tüübile tuleb meil tegemist ka tõkestamata intervallidega
    (−∞, b) := {x ∈ R | x (−∞, b] := {x ∈ R | x ≤ b} , [a,∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ,
    neile lisandub (−∞,∞) := R.
    Esitada reaalarvu ümbruse definitsioon, veenduda, et igal reaalarvul a on lõpmata palju ümbrusi ja nende ühisosaks on {a}.
    Olgu a mingi arv. Vahemikku (a − δ, a + δ) =: Uδ (a) , kus δ on mingi positiivne arv, nimetatakse arvu (ehk punkti) a δ-ümbruseks. Arvu δ nimetatakse seejuures ümbruse Uδ (a) raadiuseks .
    Igal punktil a ∈ R on lõpmata palju ümbrusi, s.h. kuitahes väikese raadiusega . Sellest
    tuleneb, et , teisisõnu, kui mingi arv x kuulub punkti a igasse ümbrusse, siis x = a
    Defineerida alamhulga X R sisepunkti mõiste, kirjeldada vahemikku, poollõigu ja lõigu sisepunktide hulka.
    Punkti a ∈ X nimetatakse hulga X ⊂ R sisepunktiks, kui leidub selline δ > 0, et Uδ (a) ⊂ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka tähistame Xo.
    Kõik vahemikud (a, b) ja tõkestamata intervallid (−∞, b), (a,∞) ja (−∞,∞) koosnevad ainult sisepunktidest, niisiis , X = Xo, kui X on üks neist intervallidest. Seevastu kõigi naturaalarvude hulgal N ei ole ühtegi sisepunkti, s.t. No = ∅.
    Tuua 2 näidet reaalarvude hulkadest, millel pole sisepunkte
    Kõigi naturaalarvude hulgal N
    Hulk F = [0, 1] \ E, E ⊂ [0, 1]
  • Funktsiooni mõiste
    Funktsiooni f : D → R mõiste:
    Olgu D mittetühi reaalarvude hulk, s.t. D ⊂ R ja D ̸= ∅. Kui igale arvule x hulgast D on mingi eeskirja järgi seatud vastavusse üheselt määratud arv y, mida me tähistame f (x), siis öeldakse, et hulgas D on defineeritud funktsioon f.
    Tuua näiteid tema analüütilise esituse kohta:
    Olgu funktsioon f antud seosega
    Selle parem pool omab mõtet vaid juhul, kui
    ≥ 0. Selleks on kaks võimalust: a) x ≥ 0 ja x > 5 ning b) x ≤ 0 ja x 5, juhul b) aga siis, kui x ≤ 0. Kokkuvõttes on funktsiooni f määramispiirkonnaks hulk D := (−∞, 0] ∪ (5,∞) .
    Esitada paaris- ja paaritu funktsiooni definitsioon:
    Olgu funktsiooni f määramispiirkond D sümmeetriline nullpunkti suhtes, s.t. −x ∈ D iga x ∈ D korral. Funktsiooni f nimetatakse
    1) paarisfunktsiooniks, kui f (−x) = f (x) iga x ∈ D korral,
    2) paarituks funktsiooniks, kui f (−x) = −f (x) iga x ∈ D korral.
    Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata funktsioonide kohta:
    Siinusfunktsioon f : R → R, f (x) := sin x ja koosinusfunktsioon f : R → R, f (x) := cos x on tõkestatud, kuna mõlemal juhul f (R) = [−1, 1]
    Seevastu tangensfunktsiooni f : R­\{π/2 + kπ | k ∈ Z } → R, f (x) := tan x =sin x/cos x väärtuste hulk ei ole tõkestatud, täpsemalt, f(R\­{π/2 + kπ | k ∈ Z}) = R
    Tõkestamata funktsioon: f(x)=x, f(x)=x^3
    Tehted funktsioonidega, tuua sellekohaseid näiteid (pole kindle näidete õigsuses):
    Olgu f ja g hulgas D ⊂ R määratud funktsioonid, s.t. f : D → R ja g : D → R. Defineerime uued funktsioonid
    f + g : D → R, (f + g) (x) := f (x) + g (x) (funktsioonide f ja g summa), - y = x2 + 4x, y = 2x + 2
    f − g : D → R, (f − g) (x) := f (x) − g (x) (funktsioonide f ja g vahe), - y = x3 - x, y = 3x - 1
    λf : D → R, (λf) (x) := λf (x) (funktsiooni f λ-kordne, λ ∈ R) , - y = 7x, y = 4x2
    fg : D → R, (fg) (x) := f (x) g (x) (funktsioonide f ja g korrutis), - y = x5ex, y = x2cosx
    f/g : D → R,(f/g)(x) :=f (x)/g (x)(funktsioonide f ja g jagatis ), - y = sinx/x, y = x2 / lnx
    viimasel juhul eeldame, et g (x) ̸= 0 kõikide x ∈ D korral.
    Nendega seotud arvutusvalemite kohta märgime, et
    (f + g) (x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + f) (x)
    iga x ∈ D korral, s.t. f + g = g + f. Analoogiliselt veendutakse, et
    fg = gf, (f + g) + h = f + (g + h) , (fg) h = f (gh) , f (g + h) = fg + fh
    suvaliste hulgas D määratud funktsioonide f, g ja h puhul
    Esitada liitfunktsiooni mõiste definitsioon, tuua näiteid.
    Olgu f : D → R ja h : E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊂ E. Funktsiooni h ◦ f : D → R, h ◦ f (x) := h (f (x)) nimetatakse funktsioonide f ja h liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks .
    • Funktsioon y = 1 +(4 − 3x)1/2 on funktsioonide

    f :(−∞,4/3] → R, f (x) := 4 − 3x ja
    h: [0,∞) → R, h (x) := 1 +√x kompositsioon h ◦ f :(−∞, 4/3]→ R.
    Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x − 1) + 1 = x
    iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞)
    • Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis

    h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x − 1) + 1 = x
    iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) .
  • Jada piirväärtus , selle ühesus
    Arvjada mõiste - Arvjadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on kõigi naturaalarvude hulk N.
    Defineerida jada piirväärtus ning koonduvad ja hajuvad jadad , tuua näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest.
    Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas
    või xn → a), kui
    ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| Kui jadal on lõplik piirväärtus, siis nimetatakse seda jada koonduvaks, mittekoonduvat
    jada nimetatakse hajuvaks.
    Kõige lihtsam koonduv jada on konstantne jada (a, a, . . . ), s.t. jada (xn), kus xn = a iga
    n ∈ N korral, 1/x
    Hajuv jada: ,
    Tõestada lause koonduva jada piirväärtuse ühesusest (lause 2.3)
    Lause (Koonduva jada piirväärtuse ühesus)
    lim xn = a ja lim xn = b, siis a = b
    Tõestus: kehtigu lim xn = a ja lim xn = b
    Vaja näidata, et a = b  a – b = 0
    [Fakt Iga ε > 0 |x| Näitame, et iga ε > 0 |a - b| Fikseerime ε > 0
    Kuna lim xn = a, siis (võttes (*) e = ε/2)
    ∃ N1 : Iga n (n ≥ N1 => xn = |xn – a | Kuna lim xn = b, siis (võttes (*) e = ε/2)
    ∃ N2 : Iga n (n ≥ N2 => xn = |xn – b | Nüüd |a - b| = |a – xn + xn - b| ≤ |-(xn - a)| + |xn - b| = |xn - a| + |xn - b| ↑abs väärtuse kolmnurga om: iga x,y € IR |x + y|= |x| + |y|
    *- lim xn = a iga ε > 0 ∃N € IN iga n (n ≥ N => |xn -a|
  • Koonduva jada tõkestatusest (*)
    Defineerida jada tõkestatuse ja koonduvuse mõiste:
    Jada (xn) on tõkestatud parajasti siis, kui ∃m,M ∈ IR : m ≤ xn ≤ M iga n ∈ IN korral,
    selle tingimuse võime esitada kujul ∃K > 0 : |xn| ≤ K iga n ∈ IN korral
    Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus
    Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata jadadest.
    Tõkestatud: konstantne jada (3, 3, 3, …),
  • 80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
    Vasakule Paremale
    Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #1 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #2 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #3 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #4 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #5 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #6 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #7 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #8 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #9 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #10 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #11 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #12 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #13 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #14 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #15 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #16 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #17 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #18 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #19 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #20 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #21 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #22 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #23 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #24 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #25 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #26 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #27 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #28 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #29 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #30 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #31 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #32 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #33 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #34 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #35 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #36 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #37 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #38 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #39 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #40 Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks #41
    Punktid 100 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 100 punkti.
    Leheküljed ~ 41 lehte Lehekülgede arv dokumendis
    Aeg2015-03-24 Kuupäev, millal dokument üles laeti
    Allalaadimisi 47 laadimist Kokku alla laetud
    Kommentaarid 1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
    Autor kellu1993 Õppematerjali autor

    Lisainfo

    Mõisted


    Meedia

    Kommentaarid (1)

    Kuradikurat. profiilipilt
    18:35 18-12-2016


    Sarnased materjalid

    26
    doc
    Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks
    22
    doc
    Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt
    39
    pdf
    Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad
    37
    docx
    Matemaatiline analüüs l
    142
    pdf
    Matemaatiline analüüs I
    142
    pdf
    Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ s
    1080
    pdf
    Matemaatiline analüüs terve konspekt
    23
    docx
    MATEMAATILINE ANALÜÜS TÖÖ VASTUSED





    Faili allalaadimiseks, pead sisse logima

    Kasutajanimi / Email
    Parool

    Unustasid parooli?

    UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
    Pole kasutajat?

    Tee tasuta konto

    Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun