Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad (0)

5 VÄGA HEA
Punktid

Esitatud küsimused

  • Kui lim f ( x ) = A , kas siis leidub ümbrus U (a ) nii, et f (x ) > iga x U (a ) korral ?
 
Säutsu twitteris
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika - informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) . Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Tõkestatud hulga X elemendid paiknevad lõigus [m, M ] , kus M on hulga X mingi ülemine ja m mingi alumine tõke. Kui M on hulga X ülemine tõke, siis on selle hulga ülemiseks tõkkeks ammugi iga arv M > M , ja kui m on hulga X alumine tõke, siis on selle hulga alumiseks tõkkeks ka iga arv m rajaks . Definitsioon: Reaalarvude hulga X suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks. Kui hulk X on ülalt tõkestamata, siis ütleme, et hulga X ülemine raja on , ja kui hulk X on alt tõkestamata, siis ütleme, et hulga X alumine raja on - . Hulga X ülemist raja märgitakse sümboliga sup X ja alumist raja sümboliga inf X . Juhul X = {x} kasutatakse ka lihtsustatud sümboleid sup x ja inf x . Pidevuse aksioom Teoreem : Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja. (fakt) Järeldus: Igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Kuhjumispunktid, rajapunktid ja sisepunktid Definitsioon: Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk -ümbruseks nimetatakse iga vahemikku (a - , a + ) , kus > 0 on mingi arv. Mida väiksem on , seda lühem on vahemik (a - , a + ) , s.t. seda väiksem on punkti a ümbrus. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt.
1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui x tähendab mis tahes arvu hulgast X , siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja hulgas X . Iga arvu x X nimetatakse muutuja x väärtuseks. Definitsioon: Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y = f ( x ) ja kirjutatakse : y = f ( x ) , x X . Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja muutujat y tema sõltuvaks muutujaks. Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka Y = {y | y = f ( x ), x X } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks. Arvu y Y , mille määrab võrdus y = f ( x ) , x X , nimetatakse funktsiooni väärtuseks punktis (kohal) x . Kui muutujate x ja y märkimine ei ole oluline, siis y = f ( x ) , x X asemel kõneldakse lihtsalt funktsioonist f määramispiirkonnaga X . Funktsiooni märkimiseks kasutatakse ka tähistust y = y (x ) , x X . Millal x , y ja f ( x ) tähendavad muutujaid ja millal nende väärtusi, selgub alati tekstist. Funktsioon on antud, kui on teada tema määramispiirkond X ja vastavust määrav eeskiri f . Mõnikord kui määramispiirkonda X ei anta , mõeldakse selle all argumendi x väärtuste hulka, kus eeskiri f kehtib. Definitsioon: Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktide ( x, y ) hulka {(x, y ) | y = f (x ), x X } xy-tasandil. Võrdus y = f ( x ) , x X on funktsiooni f graafiku võrrand. Funktsioonide esitusviisid 1. Esitus ilmutatud kujul. Esitatakse valemiga y = f ( x ) , mis näitab, millised tehted tuleb teostada argumendiga, et saada funktsiooni väärtus. Sisuliselt kujutab valem funktsiooni graafiku võrrandit. 2. Esitus tabeli abil. Esitatakse tabel, kus on näidatud arguendi väärtused x1, x2, x x1 x2 ... xn ..., xn ja neile vastavad funktsiooni väärtused y1, y2, ..., yn. y y1 y2 ... yn Sellist esitusviisi kasutatakse sageli eksperimentaalsete tulemuste märkimiseks. 3. Geomeetriline esitus graafiku abil. Esitatakse funktsiooni graafik, kust saab määrata argumendi väärtustele vastavad funktsiooni väärtused. Esitusviis on tüüpiline isekirjutavate mõõteseadmete korral. 4. Parameetriline esitus. Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t ) x = x(t ) , y = y (t ) , t T ehk t T (*) y = y (t ) väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon on antud parameetrilisel kujul (*). Parameetrilisest esitusest ei selgu, kumb muutujatest x ja y on argument ja kumb on funtksioon. Vajaduse korral märgitakse seda eraldi. x = t Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t ) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Definitsioon: Kui võrrand F ( x, y ) = 0 määrab iga x X korral arvu y, siis öeldakse, et ta määrab funktsiooni y = f ( x ) , x X ilmutamata kujul. 6. Esitus polaarkoordinaatides valemiga r = r ( ) , T , mis annab funktsiooni graafiku punktid (x, y ) polaarkoordinaatides (r , ) . Üleminek esituselt polaarkoordinaatides x = r ( ) cos parameetrilisele esitusele on teostatav valemitega: T y = r ( )sin ,
2 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioonide liigid Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Definitsioon: Kui iga x X korral on f (- x ) = f ( x ) , siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paarisfunktsioon on näiteks y = x , y = cos x . Definitsioon: Kui iga x X korral on f (- x ) = - f ( x ) , siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Paaritu funktsioon on näiteks: y = x , y = sin x , y = tan x , y = cot x , y = arcsin x , y = arctan x . Nii paaris- kui paaritu funktsiooni määramispiirkond on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0 tema perioodiks , kui f ( x + ) = f ( x ) iga x X korral. See definitsioon eeldab, et koos punktiga x kuulub piirkonda X ka punkt x + . Kui x + k X iga k Z korral, siis koos arvuga on funktsioon f perioodiks ka arvud k 0 . Kui funktsioon f on perioodiliste funktsioonide summa, siis tema perioodideks on liidetavate funktsioonide perioodide ühiskordsed. Trigonomeetrilised funktsioonid on y = f (x ) vähim positiivne perioodilised ja neil on järgmised perioodid: y = sin x , y = cos x 2k 2 ( k Z , k 0 ). y = tan x , y = cot x k Funktsiooni f perioodi leidmiseks tuleb tingimusest määrata arv , vaadeldes tingimust kui võrrandit suhtes. Funktsioon f on perioodiline parajasti siis, kui sel võrrandil on olemas konstantne lahend 0 , s.o. muutujast x sõltumatu lahend 0 , kusjuures on sel juhul funktsiooni periood. Liitfunktsioon Definitsioon: Kui y = f (u ) , kus u = g ( x ) , siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon, ja kirjutatakse: y = f [g ( x )] . Muutujat u nimetatakse vahepealseks muutujaks. Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni koostisosadeks. Liitfunktsiooni nimetatakse ka funktsioonide f ja g kompositsiooniks ehk superpositsiooniks. Kui liitfunktsiooni määramispiirkond pole antud, siis selle all mõeldakse argumendi x väärtuste niisugust hulka, mille korral liitfunktsiooni väärtused y eksisteerivad. Kui liitfunktsioon on antud kujul y = f [g ( x )] , siis võime, võttes kasutusele vahepealse muutuja u, esitada ta nn. ahela kujul: y = f (u ) , u = g ( x ) . Algebralised tehted funktsioonidega 1. Funktsiooni y = - f ( x ) graafik on peegelpildiks y = f ( x ) graafikule x-telje suhtes. 2. Funktsiooni y = f (- x ) graafik on peegelpildiks y = f ( x ) graafikule y-telje suhtes. 3. Funktsiooni y = f ( x - a ) graafik on y = f ( x ) graafiku paralleellükke x-telje sihis kaugusele a. 4. Funktsiooni y = f ( x ) + b graafik on y = f ( x ) graafiku paralleellükke y-telje sihis kaugusele b. 5. Funktsiooni y = Af ( x ) graafik on y = f ( x ) graafik, mille mõõtkava on y-telje sihis muudetud A korda.
3 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud 1. Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Eksponentfunktsioon y = a x = exp a x a > 0, a 1 X = (- , ) Y = (0, )
Logaritmfunktsioon y = log a x a > 0, a 1 X = (0, ) Y = (- , )
y = ax a >1 y = ax a 1 y = log a x a 0 X = (- , ) b) a nimetaja Y = (- , ) a lugeja on paaritu arv on paaritu arv c) Y = (0, ) a lugeja on paarisarv a0 X = Y = [0, ) on paarisarv või f) a on irratsionaalarv a 0 korral leidub selline arv N = N ( ) , et kehtib võrratus x n - a N , ja kirjutatakse lim x n = a n
ehk lim x n = a või x n a . Definitsioon: Öeldakse, et jada ( x n ) koondub arvuks a , kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x n = a . Kui aga jadal ( x n ) lõplikku piirväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada ( x n ) hajub.
2. Jada lõpmatu piirväärtus Definitsioon: Öeldakse, et jada ( x n ) piirväärtus on + (- ) , kui iga arvu M > 0 korral leidub arv N , et kehtib võrratus x n > M ( x n N , ja kirjutatakse ( lim x n = lim x n = - x x ) ehk xn (xn - ) . Funktsiooni piirväärtus
1. Funktsiooni (lõplik) piirväärtus kuhjumispunktis Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Olgu punkt a piirkonna X kuhjumispunkt, s.o. punkt, mille igas ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev hulga X punkt. Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f (x ) - A ehk f ( x ) A , kui x a või lim f ( x ) = A , kui x a .
7 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a
2. Funktsiooni lõpmatu piirväärtus kuhjumispunktis Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus punktis a , kui iga arvu N > 0 korral leidub selline arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) > N (ehk f ( x ) (- ) , kui x a . Ühepoolsed piirväärtused
3. Funktsiooni (lõplik) ühepoolne piirväärtus kuhjumispunktis Punkti a vasakpoolseks -ümbruseks nimetatakse vahemikku (a - , a ) ja parempoolseks - ümbruseks vahemikku (a, a + ) , kus > 0 on mingi arv. Kui x a ja x a , siis öeldakse, et muutuja x läheneb paremalt puntkile a , ja kirjutatakse: x a + . x a - märgib, et x läheneb vasakult punktile a , sisenedes tema igasse vasakpoolsesse ümbrusse, ja x a + märgib, et x läheneb paremalt punktile a , sisenedes tema igasse parempoolsesse ümbrusse. Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) - A Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f (x ) - A 4. Funktsiooni (lõplik) (ühepoolne) piirväärtus
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #1 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #2 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #3 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #4 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #5 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #6 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #7 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #8 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #9 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #10 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #11 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #12 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #13 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #14 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #15 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #16 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #17 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #18 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #19 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #20 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #21 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #22 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #23 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #24 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #25 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #26 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #27 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #28 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #29 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #30 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #31 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #32 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #33 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #34 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #35 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #36 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #37 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #38 Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad #39
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 39 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2012-05-31 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 52 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor cr1m Õppematerjali autor

Lisainfo

Mõisted


Meedia

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri


Sarnased materjalid

32
pdf
Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID
142
pdf
Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ s
37
docx
Matemaatiline analüüs l
6
docx
Matemaatiline analüüs I KT konspekt vähendatud programm
82
docx
Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks
13
docx
Matemaatiline analüüs I KT
26
doc
Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks
23
doc
Matemaatiline analüüs KT1 vastused



Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun