Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria (11)

5 VÄGA HEA
Punktid

Esitatud küsimused

  • Millele läheneb P ja A vaheline kaugus ?
  • Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused ?
  • Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks ?
  • Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b)) ?
 
Säutsu twitteris
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks . m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨
Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0).
Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ). Defineerime A ja B vahelise kauguse j¨argmise valemiga: |AB| = (a1 - b1 )2 + (a2 - b2 )2 + . . . + (am - bm )2 . (6.1) ¨ Uhe- kahe- ja kolmem~o~otmelisel juhul v~ordub valemiga (6.1) antud kaugus punk - tide A ja B vahele t~ommatud sirgl~oigu pikkusega. Kauguse omadused. 1. A = B siis ja ainult siis kui |AB| = 0. 2. |AB| = |BA|. 3. |AB| |AC| + |CB|.
Parameetrilised jooned ruumis Rm . Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud m funkt- siooni x1 = 1 (t), x2 = 2 (t), . . . , xm = m (t). Vaatleme nende funktsioonide v~orranditest moodustatud s¨ usteemi x1 = 1 (t) x2 = 2 (t) (6.2) ... xm = m (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (6.2) m¨a¨ arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla ruumi Rm punkti P = ¨ (x1 , x2 , . . . , xm ). Uldiselt vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨ artustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse jooneks . V~orrandeid (6.2) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks.
2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor . Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis . Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. Olgu antud 2 punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) ruumis Rm . Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirgl~oiku. See on punktide P = (x1 , x2 , . . . , xm ) hulk, mille koordinaadid xi rahuldavad parameetrilisi v~orrandeid x1 = a1 + (b1 - a1 )t x2 = a2 + (b2 - a2 )t ... xm = am + (bm - am )t , t [0, 1] . Antud hulgas vastab parameetri v¨a¨artusele t = 0 punkt A ja parameetri v¨a¨ artusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirgl~oiku vektoriks ruumis Rm ja t¨ahistame -- -- -- AB. Vektori AB pikkust t¨ahistame s¨ umboliga |AB| ja defineerime selle kui -- -- punktide A ja B vahelise kauguse, st |AB| = |AB|. Vektoriga AB samav¨ a¨ arseks loeme suunatud sirgl~oiku parameetriliste v~orranditega x1 = c1 + (b1 - a1 )t x2 = c2 + (b2 - a2 )t (6.4) ... xm = cm + (bm - am )t , t [0, 1] ,
kus C = (c1 , c2 , . . . , cm ) on suvaline ruumi Rm punkt. V~orranditega (6.4) antud -- vektor l¨ahtub punktist C. Seega on vektoriga AB samav¨ a¨ arne, koordinaatide alguspunktist l¨ahtuv vektor antud j¨argmiste v~orranditega: x1 = (b1 - a1 )t x2 = (b2 - a2 )t (6.5) ... xm = (bm - am )t , t [0, 1] . -- Tegemist on vektoriga OM , mille l~opp-punkt on M = (b1 - a1 , b2 - a2 , . . . , bm - am ), kuna s¨ usteemist (6.5) saame t = 1 korral xi = bi - ai . Koordinaatide -- alguspunktist l¨ahtuv vektor OM on u ¨heselt m¨a¨ aratud oma l~opp-punkti M ko- ordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks.
. Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) l¨abivaks vektori u = (u1 , u2 , . . . , um ) suunaliseks sirgeks loetakse sirget, mis saadakse vektoriga u samav¨ a¨arse punk- tist A l¨ahtuva vektori pikendamisel m~olemast otsast l~opmatuseni. Taolise sirge parameetrilised v~orrandid on x1 = a1 + u1 t x2 = a2 + u2 t ... xm = am + um t , t R .
Vektorite u = (u1 , u2 , . . . , um ) ja v = (v1 , v2 , . . . , vm ) skalaarkorrutiseks nimetatakse summat
u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + um vm . (6.6)
Afiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis, nimetatakse eu- kleidiliseks ruumiks. Seega on Rm eukleidiline ruum. Vektorite skalaarkorrutis rahuldab j¨argmist seost, mida nimetatakse Cauchy- Schwartzi (ehk Cauchy-Bunjakovski) v~orratuseks:
|u · v| |u| |v| . (6.7)
Antud v~orratus muutub v~orduseks, kui u ja v on samasuunalised. T~oepoolest, kui v = u ja > 0, siis l¨ahtudes skalaarkorrutise definitsioonist
u · v = u · (u) = u1 u1 + u2 u2 + . . . + um um = (u21 + u22 + . . . + u2m ) = |u|2 = |u| |u| = (6.8) = |u| |u| = |u| |v|.
Vektori ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) suunalist nullpunkti l¨abivat sirget nimetatakse k-1 ×
xk - teljeks ruumis Rm ja vektorit ek xk - telje suunaliseks u ¨hikvektoriks. 3) Lahtised ja kinnised kerad . Hulga sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidusa hulga mõiste. Tõkestatud hulga mõiste.
Mitmem~ o~otmelised kerad. Lahtiseks m-m~ o~ otmeliseks keraks keskpunktiga A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja raadiusega r > 0 nimetatakse hulka
U (A, r) = {B || B Rm , |BA| Kinniseks m-m~o~ otmeliseks keraks keskpunktiga A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja raa- diusega r 0 nimetatakse hulka
U (A, r) = {B || B Rm , |BA| r} .
¨ Uhem~ o~otmeline lahtine kera keskpunktiga a ja raadiusega r on vahemik (a - r, a + r). Vastav kinnine kera on l~oik [a - r, a + r]. Kahem~o~ otmeline lahtine kera on ring ilma ringjooneta ja kinnine kera on ring koos ringjoonega. Kolmem~o~otmeline lahtine kera on kera ilma sf¨a¨ arita ja kinnine kera on kera koos sf¨ a¨ariga. Hulga sise- ja rajapunktid. Olgu G ruumi Rm alamhulk. Punkti A nimetatakse hulga G sisepunktiks, kui leidub punkti A u ¨mbrus, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. Punkti A nimetatakse hulga G rajapunktiks, kui tema suvalises u ¨ mbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. Sise- ja rajapunktide hulgad ei oma u ¨ hisosa . Teiste s~onadega: u¨ks ja sama punkt A ei saa olla hulgale G samaaegselt nii sise- kui ka rajapunkt. K~oik hulga G sisepunktid sisalduvad hulgas G. Hulga G rajapunktide seas v~oib olla selliseid punkte, mis paiknevad hulgas G ja ka selliseid punkte, mis ei paikne hulgas G. Lahtised ja kinnised hulgad. Kui hulk koosneb ainult sisepunktidest, siis nimetatakse seda hulka lahtiseks. Kui hulk sisaldab k~oiki oma rajapunkte, siis nimetatatakse seda hulka kin- niseks. Lahine kera on lahtine hulk ja kinnine kera on kinnine hulk. Sidusa hulga m~ oiste . Hulka G nimetatakse sidusaks, kui selle hulga iga kahte punkti saab u ¨hendada pideva murdjoonega, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. T~okestatud hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse t~okestatuks, kui leidub (kin- nine v~oi lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4)Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. Mitmem~ o~ otmelised muutuvad suurused. Olgu x1 , x2 , . . . , xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1 , x2 , . . . , xm moodustatud j¨arjestatud s¨ usteemi P = (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse m-m~ o~otmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m- m~o~ otmeliseks muutujaks. m-m~ o~otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) reaalarvulisi kompo- nente x1 , x2 , . . . , xm nimetatakse suuruse P koordinaatideks. Kuna muutujate x1 , x2 , . . . , xm v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on reaalarvud, siis m-m~o~ otmelise muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) v~oimalikeks v¨a¨ artusteks on ruumi Rm punktid. Muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) k~oigist v~oimalikest v¨a¨ artustest moodus - tatud ruumi Rm alamhulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Mitmemuutuja funktsiooni m~ oiste. Olgu antud m-m~o~ otmeline muutuv suurus P = (x1 , x2 , . . . , xm ) muutumispiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuv suurus z. m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale v¨a¨ artusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z u ¨he kindla v¨a¨ artuse. Muutujat P nimetatakse seejuures s~ oltumatuks muutujaks ehk argu - mendiks, muutujat z s~ oltuvaks muutujaks ja hulka D m¨ a¨ aramispiirkonnaks. 5) Mitmemuutuja funktsiooni graafik . Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline tähendus ja omadusi. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Olgu z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) m-muutuja funktsioon m¨a¨aramispiirkonnaga D. Selle funktsiooni graafikuks nimetatakse argmist ruumi Rm+1 alamhulka: j¨
= {(x1 , x2 , . . . , xm , f (x1 , x2 , . . . , xm )) || P = (x1 , x2 , . . . , xm ) D}
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #1 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #2 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #3 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #4 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #5 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #6 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #7 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #8 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #9 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #10 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #11 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #12 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #13 Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria #14
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 14 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2008-11-27 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 665 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 11 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor eestland Õppematerjali autor

Lisainfo

Matemaatiline analüüs 2 - Janno - teooria küsimused ja vastused
matemaatiline analüüs 2 , janno

Mõisted


Kommentaarid (11)

TM89 profiilipilt
TM89: Suur tänu, säästab palju mõttetult täisprinditud paberit
22:54 02-02-2009
taikonaut profiilipilt
taikonaut: Ainult esimene osa :-|
20:05 28-05-2009
opilane11 profiilipilt
opilane11: kokku pressitud hästi
17:59 11-10-2010


Sarnased materjalid

14
doc
Matemaatiline analüüs II Teooria
32
pdf
Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID
10
doc
Matemaatiline analüüs I konspekt - funktsioon
7
docx
Matemaatiline analüüs 1 teooria
142
pdf
Matemaatiline analüüs I
10
docx
Matemaatiline analüüs I 1-teooria KT
8
docx
Matemaatiline analüüs I - I teooria töö
13
doc
Matemaatiline analüüs I 1-kt teooria





Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun