Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Maatriksid (3)

3 HALB
Punktid
 
Säutsu twitteris

1. MAATRIKSID
1.1. Üldmõisted
Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu :
Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega):
A = (aij ) = , (1.1)
kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element.
Maatriksi suurust saab väljendada valemiga:
ridade arv x veergude arv.
Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m ( dimensioon – suurus).
Näide 1: Antud maatriks. Siin A2x3 , a12 = - 4, a23 = -6,5 .
Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t.
A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m .
Definitsioon 2. Maatriksit, millel ridade arv on võrdne veergude arvuga (m = n ), nimetatakse ruutmaatriksiks.
Maatriksi elemendid, mis asuvad diagonaalil maatriksi vasakupoolse ülemisest nurgast paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali.
Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on „1“, aga kõik ülejäänud elemendid on „0“, nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega.
Näide 2:
E3x3
on 3 järku ühikmaatriks,
Enxn
n -järku ühikmaatriks.
Ruutmaatriksit, mille elemendid (välja arvates peadiagonaali) on „0“ ja asuvad ühel pool peadiagonaalist, nimetatakse kolmenurksemaatriksiks:
või
Maatriksit, mis koosneb ainult nullidest, nimetatakse nullmatriksiks :
O = .
Maatriksite teoorias E ja O mängivad sama rolli, mis arvud 0 ja 1 aritmeetikas.
Maatriksit, mis sisaldab ainult ühte rida (veergu), nimetatakse vektormaatriksiks.
Vektormaatriksit saab esitada järgmisel kujul::
Definitsioon 4. Maatriksit, mille ridadeks on algmaatriksi veerud ja veergudeks algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT.
Näide 3:
A = .
Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks.
1.2. Tehted maatriksitega
  • Liitmine
    Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed
    Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad
    A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij )
    Näide 1:
  • Lahutamine
    Märkus: maatrikseid saab lahutada ainult juhul, kui lahutavate maatriksite suurused on võrdsed .
    Definitsioon 2 . Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) vaheks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide vahed

    A B = (aij ) - (bij) = (aij - bij )

    Näide 2 :
  • Korrutamine arvuga (skalaariga)
    Definitsioon 3 . Maatriksi Am x n
    = (aij) korrutiseks skalaaarvuga k nimetatakse maatriksit, mille elementideks on algmaatriksi elementide korrutised selle arvuga ,s.t.
    k ∙ A = (k∙ aij), ( i = 1,...,m; j = 1,...,n).
    Näide3:
  • Maatriksite korrutamine
    Märkus 1: maatrikseid saab korrutada, kui „esimese“ teguri-maatriksi veergude arv võrdub „teise“ teguri-maatriksi ridade arvuga: ehk korrutis A∙B (kus Am x n ja Bn x p) eksisteerib ainult siis kui maatriksi A veergude arv (antud juhul n) on võrdne maatriksi B ridade arvuga (antud juhul n).
    Näide 4:
  • korrutis A2 x 3∙ B3 x 5 eksisteerib, kuna maatriksi A veergude arv = maatriksi B ridade arvuga (= 3),
  • korrutis B3 x 5 ∙ A2 x 3 ei eksisteeri, kuna maatriksi B veergude arv (5) ei võrdu maatriksi A ridade arvuga (2).
    Märkus 2: korrutise A∙B tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub “esimese” maatriksi (A) ridade arvuga ja veergude arv – “teise” maatriksi (B) veergude arvuga
    Näide 5: korrutise A2 x 3∙ B3 x 5 tulemuseks on maatriks, millel on 2 rida ja 5 veergu.
    Tähistame maatriksi Am x n
    reavektorid αi ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid β j ( j = 1, ..., p).
    Definitsioon 4. Maatriksite Am x n
    ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit
    A·B = (αi · β j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite αi ja β j
    skalaarkorrutised cij = αi · β j
    (maatriksi A reavektorite αi ja maatriksi B veeruvektorite β j vastavate elementide korrutiste summa).
    Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul
    RIDA
    VEERG
    Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt

    Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning
    BA.
    Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord:
    AB BA.
    Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A).
    Näide 6 :
    Näide 7: Leida AB ja BA, kui
    Lahendus:
    Siin korrutis AB ei ole määratud, kuna korrutises „esimese“ maatriksi A veergude arv A(3) ei ole võrdne „ teise“ maatriksi B ridade arvuga B (2).
    Samal ajal korrutis BA eksisteerib: esimese maatriksi veergude arv B(2) on võrdne teise maatriksi ridade arvuga A(2), ning see korrutis on:
    Näide 8: Leida A2 – 2ABT, kui .
    Lahendus:
    A2 saab mõista kui kahe võrdsete maatriksi korrutist AA :
    A2 = AA =
    BT on maatriksi B transponeeritud maatriks :
    BT =
    2ABT on kahe maatriksi ja arvu korrutis, 4. omaduse järgi saab eelnevalt korrutada maatriksid oma vahel ja siis tulemust korrutada arvuga.
    A2 – 2ABT=
    1.3. Maatriksite elementaarteisendused
    Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad:
  • maatriksi kahe rea ümberpaigutamine;
  • suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga);
  • suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga
    Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse : A ~ B .
    Elementaarteisendustega saab suvalist maatriksit viia kujule, kus peadiagonaali alguses on ainult“1“ ja kõik ülejäänud elemendid on „0“. Niisugust maatriksit nimetatakse kanooniliseks :
    Näide .
    - kanooniline matriks
    1.4. Maatriksite omadused

    1.5. Maatriksite korrutamine MS Excelis
    Tabelarvutuspaketi MS Excel matemaatikafunktsioonide hulgas on maatriksite korrutamist võimaldav funktsioon MMULT. Eelnevalt sisestatakse Exceli töölehele lähtmaatriksid (trükitakse tabelitena) . Kuna maatriksite korrutamise tulemusena on maatriks, siis tuleb arvutada maatriksi suurust ja märgistada hiirega ruudustik , mis sisaldab sama
  • 80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
    Vasakule Paremale
    Maatriksid #1 Maatriksid #2 Maatriksid #3 Maatriksid #4 Maatriksid #5 Maatriksid #6 Maatriksid #7 Maatriksid #8 Maatriksid #9 Maatriksid #10 Maatriksid #11 Maatriksid #12 Maatriksid #13 Maatriksid #14 Maatriksid #15 Maatriksid #16 Maatriksid #17 Maatriksid #18 Maatriksid #19 Maatriksid #20 Maatriksid #21 Maatriksid #22 Maatriksid #23 Maatriksid #24 Maatriksid #25 Maatriksid #26 Maatriksid #27 Maatriksid #28 Maatriksid #29 Maatriksid #30 Maatriksid #31 Maatriksid #32 Maatriksid #33 Maatriksid #34 Maatriksid #35 Maatriksid #36 Maatriksid #37 Maatriksid #38 Maatriksid #39 Maatriksid #40 Maatriksid #41 Maatriksid #42 Maatriksid #43 Maatriksid #44 Maatriksid #45 Maatriksid #46 Maatriksid #47 Maatriksid #48 Maatriksid #49 Maatriksid #50 Maatriksid #51 Maatriksid #52 Maatriksid #53 Maatriksid #54 Maatriksid #55 Maatriksid #56 Maatriksid #57
    Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
    Leheküljed ~ 57 lehte Lehekülgede arv dokumendis
    Aeg2008-10-25 Kuupäev, millal dokument üles laeti
    Allalaadimisi 254 laadimist Kokku alla laetud
    Kommentaarid 3 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
    Autor Marko Karlson Õppematerjali autor

    Mõisted


    Kommentaarid (3)

    mirko911 profiilipilt
    mirko911: ttk õppematerjal ilma lahendusteta. polnud kasu

    50 punkti läks krt.
    15:50 26-09-2011
    Liana90 profiilipilt
    Liana90: päris hea materjal:)
    12:51 17-01-2010
    guidokang profiilipilt
    guidokang: päris hea jah
    21:31 01-08-2011


    Sarnased materjalid

    23
    doc
    Maatriksi algebra
    28
    docx
    MAATRIKSALGEBRA
    48
    pdf
    Maatriksid
    48
    doc
    Lineaaralgebra täielik konspekt
    2
    docx
    Tehted maatriksitega
    28
    pdf
    Kõrgema matemaatika üldkursus
    156
    pdf
    Kõrgem matemaatika
    19
    doc
    Õppematerjal





    Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
    Kasutajanimi / Email
    Parool

    Unustasid parooli?

    UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
    Pole kasutajat?

    Tee tasuta konto

    Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun