x 1 x 13) 4 2 3 x ( log 2 ) 2 ( x1 = 3 ja x2 = -1,5 ) 2 2x 14) 4 3x 26 x ARVU LOGARITM Arvu logaritmi definitsioon: Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b. log a b=c a =b logaritm on astendaja! c log a b c a c b a loga b b , kus b > 0, a >0 ja a 1 Pea meeles! log a 1 0; log a a 1 b
Logaritmid 1. Logaritmi mõiste Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse astendajat x, millega alust a astendades saadakse arv b. Sümbolites: log a b=x a x =b . See võrdus seob omavahel kolm arvu. Neid nimetatakse järgmiselt: arv a on logaritmi alus, arv b on logartmitav ja arv x on logaritm. Seejuuures a > 0, a 1 b > 0; x R . Näiteid: 1) log 2 8=3 , sest 23 = 8. 1 1 2) log 3 =-1 , sest 3-1= . 3 3 1 1 3) log 36 6= , sest 36 2 =6 . 2 4) log 45 1=0 , sest 450 = 1. 5) log 5 (-25) ei ole olemas, sest võrrandil 5x = -25 lahend puudub. Logaritme alusel 10 nimetatakse kümnendlogaritmideks ja tähistatakse
suhtes sümmeetrilised y-telje suhtes x1 + x 2 Eksponent f-ni(y=ax) graafik läbib Haripunkt: H x = 2 punkti(0;1) 57. F-ni mõiste. Määramis- ja muutumispk. F- 69. Arv e ni graafik. 70. Arvu logaritm y=f(x) log a c = b a b = c , kus a 1, a > 0, c > 0 Määramispiirkond on muutuja x kõik a-logaritmi alus väärtused b-logaritm 58. F-ni nullkohad.Positiivsus- ja c-logaritmitav negatiivsuspk I. Kümnendlogaritm
seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1) leida siinus nurgast, mille suurus radiaanides on x; 2) leida muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraline avaldis Matemaatilist avaldist, milles on vaid lõplik arv kordi kasutatud aritmeetikatehteid ning astendamist ja/või juurimist, kus astendajad ja juurijad on täisarvud, nimetatakse algebraliseks avaldiseks. Näiteks : algebralised avaldised on: 1) 4ax 2 5bx 6 ; 2) 3 2a 2 3 y ; 7x2 2 3) 4x 5
.…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3.19 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused ………………………...…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD Positiivsed täisarvud ehk naturaalarvud tekkisid vajadusest loendada esemeid. Kõik naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ...} .
Järeldus logaritmfunktsiooni monotoonsusest Logaritmvõrratus log a f ( x) > log a g ( x) on a > 1 korral samaväärne võrratusega f ( x) > g ( x) > 0, 0 < a < 1 korral aga võrratusega 0 < f ( x) < g ( x). Ülesanne 1 Lahendada võrratus log 3 ( x - 2) 2. Lahendus Kuna log 3 9 = 2 siis võime algse võrratuse ümber kirjutada nii: log 3 ( x - 2) log 3 9. Kuna logaritmi alus 3 > 1, siis logaritmfunktsiooni monotoonsuse tõttu x - 2 9, millest saame lahendi: x 11. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x 11}. Ülesanne 2 Lahendada võrratus log1/ 3 ( x + 1) -3. Lahendus Kuna log1/ 3 27 = -3, siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga: log1/ 3 ( x +1) log1/ 3 27 Kuna ühest väiksema alusega logaritmfunktsioon on kahanev, siis
ax x bx=(ab) nt: 2 x 5 =0,01 (2x5)=1/100=10 10=10 x=-2 2) sulgude ette toomine x1+x2 x1-x2 ax1 x ax2=a ax1/ax2=a 1)Ühesuguste alustega astme korrutamisel/jagamisel tulevad astendajad liita/lahutada 2)Astme astendamisel korrutatakse astendajad 3)Astme juurimisel tuleb astme näitajad jagada juurijaga 4)Juure astendamisel tuleb astendada juuritav 5)Juure juurimisel tuleb korrutada juurijad Arvu logaritm b Olgu avaldis a =c b 1) kui on antud a ja b, siis c=a b 2) kui on antud b ja c, siis a=c b 3) kui on antud a ja c, siis b=loga a-logaritmi alus b-logaritmitav c-arvu b logaritm alusel a Antud arvu logaritmiks antud alusel nimetatakse astendajat, millega tuleb astendada antud alust, et saada antud arv.
y a ln x x 2 3x d) Millise a korral on funktsioonil ekstreemum punktis x = 1 Määrake ekstreemumi liik. Vastus: a = 1; x = 1 on miinimumkoht ex y ln x2 x e) Antud on funktsioon 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond. 2) Lihtsustage funktsiooni avaldist , kasutades logaritmi omadusi . 3) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 4) Arvutage funktsiooni miinimumpunkti koordinaadid. Vastus: 1) X= ( 0; ); 2) y = ln x + x + x2 ; 3) X=(0,5 ; ); X=( 0; 0,5); 4) Xmin = (0,5; ln 2 + 0,75) 1 f x ln x f) Antud on funktsioon
a m 33) esita juure abil a n n a m 34)a n a m a n m 35)a n : a m a n m 36) a n m a nm 37) ab a n b n n n a an 38) b bn c 39) Kirjuta logaritmi def : a =b Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b c=lo g a b 40) a) Naturaallogarimi mõiste selgitus : on logaritm alusel, kus e on irratsionaalarv. b) Kuidas arvutatakse e väärtus ja milline on e ligikaudne väärtus? n 1 e=lim 1+ n→∞
d) Millise a korral on funktsioonil y a ln x x 3x ekstreemum punktis x = 1 2 Määrake ekstreemumi liik. Vastus:a = 1; x = 1 on miinimumkoht; y = -2 ex y ln x 2 e) Antud on funktsioon x 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond. 2) Lihtsustage funktsiooni avaldist , kasutades logaritmi omadusi . 3) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 4) Arvutage funktsiooni miinimumpunkti koordinaadid. Vastus: 1) 0; ; 2) y ln x x x 2 ; 3) X 0,5; ; X 0; 0,5 4) 0,5; ln 2 0, 75 -2- - 1
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
Esimese n liikme summa: S n = ehk S n = ( q 1) . q -1 q -1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus q <1 . a1 Jada summa: S = . 1-q Üldliige: an = a1q n -1 . 2.18 Logaritmid 15 Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. log a b = c , kui a c = b ( a > 0 a 1) . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b = b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b = b . Naturaallogaritmide korral:
Leia millega võrdub b a. B-10 Korrapärase nelinurkse prisma külgservad on 12,5% väiksemad põhiservadest, Kahe mitte ühele põhitahule kuuluva ja mitteparalleelse serva keskpunktide vaheline kaugus on 9. Leia prisma külgpindala. B-11 Viisnurga ja tema ümberringi puutepunktid jaotavad ringjoone võrdeliselt arvude 1 : 2 : 2 : 2:5.. Leia selle viisnurga pindala teades, et ringjoone raadius on vähim positiivne arv, mis on võrrandi r 4 - 8r 2 + 13 = 0 lahendiks. 2 2 -x+2 C-1 Lahenda võrrand 2 2 x - 17 2 x + 2 8-2 x = 0 28 -5a 5 19 C-2 Leia kõik parameetri a väärtused , mille korral on suurem arvust .
Esimese n liikme summa: S n ehk S n q 1 . q 1 q 1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus q 1. a1 Jada summa: S . 1 q n 1 Üldliige: an a1q . 2.18 Logaritmid Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. 15 log a b c , kui a c b a 0 a 1 . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b b . Naturaallogaritmide korral:
( 5) lim x a [ f ( x ) - g( x ) ] = A - B ( 6) lim x a [ f ( x ) g( x ) ] = A B f ( x) A ( 7 ) lim x a g ( x ) = , kus B 0 B ( 8) lim f [ g ( x ) ] = lim f ( y ) , kui lim f ( y ) on olemas. ( Siin y = g( x ) ) x a x B x B 6. Logaritm- ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused · Arvu logaritm ja selle omadused ac = b c = loga b, kus a > 0, b > 0, a 1 alog b = b loga1 = 0 logaa = 1 log a = b 10b = a loga bc = loga b + loga c, kui b > 0 ja c > 0 loga = loga b loga c, kui b > 0 ja c > 0 loga bn = nloga b, kui b > 0
Näitame, et sel juhul liitfunktsiooni F(x)=f(g(x)) tuletis järgmine: F´(x)= fu´(u) *gx´(x) Joonis 14. Kuna funkt. u=g(x) on diferentseeruv, järeldub, et ∆u→0 Saame ∆y ∆u F ´ (x )= lim ∗ lim =f ´ u (u)∗g ´ x ( x ) ∆u→0 ∆ u ∆ x→ 0 ∆ x m.o.t.t Logaritmi omadusi lna b=blna ln ( ab )=lna+lnb a ln =lna−lnb b Logaritmiline diferentseerimine ehk tuletise võtmine logaritmi abil. Seda võtet peab rakendama, kui funktsioon on kujul y=[ f (x ) ] g( x) Võib rakendada, kui funktsiooni eelnev logaritmimine teeb tuletise võtmise lihtsamaks x x (¿¿ α ) ´ , ( a ) ´ tabelis ¿ x (¿¿ x) ´ ei ole tabelis ¿ Joonis 15. Ilmutamata kujul ehk võrrandiga antud funktsiooni diferentseerimine Joonis 16. Erinevate matemaatiliste tehete näited Wordi kasutamisel: df dx 0
f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0, mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0, siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on esialgse võrrandi lahendeiks või mitte. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele murrujoonele: x 2 x 2 x 2( x 3) x2 x 6 0 0 x2 x 6 0 x 3 x 3 Saadud ruutvõrrandi lahendid on: x1 2, x2 3.
X = [0; ), paarituarvulise nimetaja korral aga X = (-; ); 4. Kui on negatiivne murd, siis paarisavulise nimetaja korral X = (0; ), paarituarvulise nimetaja puhul X = (-; 0) (0; ); Eksponentfunktsioon y =(1/2)x y y = 2x 1 x Määramispiirkond: X = (-; ); Logaritmfunktsioon y y = loga x 1 0 1 a x Määramispiirkond: X = (0; ) Trig. funktsioonid siinus ja koosinus y 1 y = cos x -/2 /2 - 0 x y = sin x
X = (0; ) x 19 Eksponentfunktsioon y =ax y =ax, 0< a < 1 y = ax, a >1 y 1 x määramispiirkond: X = (-; ) 20 Logaritmfunktsioon y y = loga x, a >1 0 1 x y = loga x, 0 < a < 1 määramispiirkond: X = (0; ) 21 Trig. funktsioonid siinus ja koosinus y 1 y = cos x -/2 /2
TTÜ Materjaliteaduse Instituut Füüsikalise keemia õppetool Töö nr. 18-19 Galvaanielemendi elektromootorjõu ja lahustuvuskorrutise määramine .................................... märge arvestuse kohta, õppejõu allkiri FK laboratoorne töö 18-19 GALVAANIELEMENDI ELEKTROMOTOORJÕU JA LAHUSTUVUSKORRUTISE MÄÄRAMINE Töö ülesanne. Töö koosneb kahest osast. Esimeses osas valmistatakse galvaanielement ja mõõdetakse selle elektromotoorjõud. Seejärel mõõdetakse kummagi elektroodi potentsiaalid standardse võrdluselektroodi (kas kalomel- või hõbe-hõbekloriidelektroodi) suhtes. Mõõdetud suurusi võrreldakse Nernsti võrrandi põhjal arvutatud teoreetiliste väärtustega. Töö teises osas valmistatakse ko
Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0 ainsaks lahendiks on b x . a Näide Lineaarvõrrandi 2 x 3 0 lahendiks on 3 x . 2 1 Lineaarvõrrandi x 0 lahendiks on 2 1/ 2 x 1 / 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Eksponentfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Arv e. Pidev juurdekasv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Eksponentsiaalsed mudelid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Logaritmid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Eksponentvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. MAATRIKSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse. Tundmatuid sisaldava võrratuse korral tekib selle lahendamise probleem. Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid. Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle süsteemi kõiki võrratusi.
Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Lahtriplokis asuva maatriksi deteminant Lahtriplokis asuva maatriksi pöördmaatriks. Lahhtriplokkides lp1 ja lp2 asuvate maatriksite korrutis Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Astendamine - a^b Teisendab graadid radiaanideks
t ct t ct milles c 0 on reageeriva aine kontsentratsioon ajamomendil t = 0 ja c t - selle aine kontsentratsioon ajamomendil t. Kiiruskonstandi dimensioon esimest järku reaktsiooni korral on 1/t ja ta väärtus ei sõltu kontsentratsiooni mõõtühikute valikust. Reaktsiooni järku saab kindlaks määrata, uurides kontsentratsiooni sõltuvust ajast. Esimest järku reaktsioonide korral on lineaarne sõltuvus kontsentratsiooni logaritmi (logc) ja aja vahel. Temperatuuri tõustes keemiliste reaktsioonide kiirus kasvab. Kiiruse sõltuvust temperatuurist iseloomustab van't Hoffi reegel: temperatuuri tõstmisel 10 ° võrra kasvab reaktsiooni kiirus 24 korda. Matemaatiliselt väljendub see võrrandiga: t 2 - t1 v t 2 = v t1 10 , (5)
korral funktsiooni y = f(x) väärtust saab arvutada. Tähistatakse tähega X. Meenutame tingimusi, mille koral eksisteerivad järgmised matemaatilised operatsioonid: a murd eksisteerib, kui b 0 ; b paarisaste juur 2n a eksisteerib, kui a 0 ; murd, kus b 2 n a eksisteerib, kui a 0 ; arvu logaritm log a N eksisteerib, kui N 0 ; arkussiinus arcsin x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; arkuskoosinus arccos x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; 3x 1 Näide 1. Leida funktsiooni y määramispiirkond. x2 1 3x 1 Lahendus. Murd on määratud, kui selle murru nimetaja ei ole võrdne nulliga. Sellepärast
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv u u x
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv u u x
Analüütilise keemia näidisülesanded 2013 1. Mitu grammi 50 massi%-list NaOH (molaarmass 40 g/mol) lahust tuleb lahjendada 1 liitrises mõõtkolvis, et valmistada 0.10 M NaOH lahus. Lahendus: 1 liitri 0.1M NaOH lahuse valmistamiseks kulub 0.1 mooli NaOH: Nüüd arvutame, millises koguses 50 massi% NaOH sisaldub 0.1 mooli NaOH. Teisendame moolid grammideks 0.1 × 40 = 4.0 g, seega me vajame 4.0 grammi NaOH. Kui 4.0 g moodustab 50% kogu alglahuse massist, siis kogulahuse mass on 4.0 × 100 / 50=8.0 g Vastus: 8.0 g. 2. Mitu milliliitrit 21.6massi%-list Na2CO3 lahust (tihedusega 1.019g/ml) ja 0.10 M Na2CO3 lahust (tihedus 1 g/ml) on vaja kokku segada, et saada 500 ml 0.50 M Na2CO3 lahus (tihedus 1 g/ml) (segunemisel vesilahuste ruumalad ei vähene) Lahendus: Teisendame kõik kontsentratsioonid molaarseteks. 21.6
kaugusest r seaduspärasusega r -n , kus n on sumbuvust vastuvõetav suhteline võimsus, levikao astendaja n on avaldatud kui kauguse logaritmi koeffitsent jagatud kümnega: kirjeldav astendaja, siis saab keskväärtuse dBm-s kirja panna kujul: r n = 4.49 - 0.655 log hBS .
milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit Näited 32 3 3 9. 104 10 10 10 10 10000. 3 1 1 1 1 1 . 4 4 4 4 64 1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti. = algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivse arvu astendamine Näited (2)3 (2) (2) (2) 8. (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625. Järeldus viimastest näidetest: Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne. Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna: (4) 2 (4) (4) 16; aga: 42 4 4 16.
Ökonomeetria KT kordamisküsimused 1. Ökonomeetrilise mudeli komponendid. ● Modelleeritavad näitajad: endogeenselt (sisemiselt) määratud ehk sõltuvad muutujad (Y). Väärtused määratakse mudeli siseselt ● Modelleeritavat nähtust mõjutavad näitajad: eksogeenselt (väliselt) määratud ehk sõltumatud, seletavad muutujad (X). Väärtused määratakse mudeli väliselt. ● Statistiliste meetoditega hinnatavad mudeli parameetrid (b). ● Juhuslik komponent ehk vealiige (u). 2. Andmetüübid. Ökonomeetriline mudel baseerub arvandmetel: ● Ristandmed (cross-sectional) ● Aegread (time series) ● Paneelandmed (panel data) Andmed saavad olla kas ● Kvalitatiivsed (ei saa mõõta arvudega, nt haridustase) ● Kvantitatiivsed (mõõdetakse arvudega, nt vanus) 3. Valimvaatlused ja parameetri hinnangu mõiste. ● Uuritav objekt on üldkogum ● Andmebaas on üldjuhul valim Järeldusi soovime teha üldkogumi kohta, selleks kasuta
Vastuste variandid kahe algandmete komplekti jaoks. Võrrelge oma tulrmusi! c z nr 0 2 1 5 2 1 3 3 4 4 5 5 6 1 7 3 8 2 9 4 d: | avaldis | tähendavad bsoluutväärtust b eksponentfunktsiooni, kus e logaritmi alus. d: | avaldis | tähendavad bsoluutväärtust b eksponentfunktsiooni, kus e logaritmi alus. -b± b -4 ac 2 x 1,2= Ruutvõrrandi lahendamine 2a a 2 b 3 c -9 x1 Err:509 x2 Err:509 y=ax2+bx+c D Err:509
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
