Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse Registreeri konto
✍🏽 Avalikusta oma sahtlis olevad luuletused! Luuletus.ee Sulge

Lineaarvõrratused, ruutvõrratused ja murdvõrratused - sarnased materjalid

rratus, lahend, nullkohad, ruutv, graafik, lahendame, leidmist, nullkoht, lahendid, skits, hega, rrandi, avaneb, rsed, idete, positiivsuspiirkond
thumbnail
8
docx

Lineaarvõrrandid- ja võrratused

<, >, ≤ , ≥ . 2a + 4 < 16 + 5a Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk Kaks võrratust on samaväärsed, kui nende lahendihulgad ühtivad. 4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlema poolega liita või lahutada sama arv. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x + 4 – 4 < 5x – 9 – 4 → 2x < 5x – 13 Järeldus: Võrratusmärk ei muutu, kui liidetavaid (liikmeid) viia ühelt poolelt

Matemaatika
33 allalaadimist
thumbnail
246
pdf

Funktsiooni graafik I õpik

1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3

Matemaatika
79 allalaadimist
thumbnail
27
ppt

Funktsioonid ja nende graafikud

määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk. Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne: X- = {x | x X, f ( x ) < 0} . Ülesanded 1

Matemaatika
135 allalaadimist
thumbnail
12
pdf

Matemaatika eksami teooria 10. klass

tundmatuks. · Võrrandi lahenditeks nimetatakse tundmatute selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse. · Võrrandi f(x)=g(x) määramispiirkonnaks nimetatakse tundmatu x nende väärtuste hulka, mille korral nii avaldise f(x) kui ka avaldise g(x) väärtus on määratud (ehk arvutatav). Viete'i teoreem. Kui x1 ja x2 on ruutvõrrandi x2+px+q=0 lahendid, siis x1+x2=-p ja x1x2=q 3.2 Võrrandite samaväärsus Ühtseid ja samu tundmatuid sisaldavaid võrrandeid, mille lahendihulgad on võrdsed, nimetatakse samaväärseteks võrranditeks. · Võrrandi pooli võib vahetada · Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, millel on mõte võrrandi kogu määramispiirkonnas. Järeldus: Võrrandi liikmeid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele poolele, muutes

Matemaatika
78 allalaadimist
thumbnail
12
doc

Funktsioonide lahendamine

ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 ­ x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. 5

Matemaatika
61 allalaadimist
thumbnail
2
pdf

RUUTVÕRRATUSTE LAHENDAMINE

RUUTVÕRRATUS LAHENDAMINE a) Viia kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki, korrastada võrratus b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool (ka siis kui nullkohti ei ole!!!) Kui x2 ees on ’pluss’, siis avaneb parabool üles Kui x2 ees on ’miinus’, siis avaneb parabool allapoole d) Viirutada Kui võrratuses on >0, siis viirutada sealt, kus parabool on ülalpool x-telge Kui võrratuses on <0, siis viirutada sealt, kus parabool on allpool x-telge e) Kirjutada võrratuse lahend (see, mida viirutasid, see ongi lahend)

Matemaatika
9 allalaadimist
thumbnail
16
docx

Matemaatika kursused

mõistet, leiab lihtsama funktsiooni Funktsiooni pöördfunktsiooni ning skitseerib määramis- ja või joonestab vastavad graafikud; muutumispiirkond. 4) esitab liitfunktsiooni lihtsamate Paaris- ja paaritu funktsioonide kaudu; funktsioon. 5) leiab valemiga esitatud Funktsiooni funktsiooni määramispiirkonna, nullkohad, nullkohad, positiivsus- ja positiivsus- ja negatiivsuspiirkonna algebraliselt; negatiivsuspiirkon kontrollib, kas funktsioon on d. Funktsiooni paaris või paaritu; kasvamine ja 6) uurib arvutiga ning kirjeldab kahanemine. funktsiooni y = f (x) graafiku Funktsiooni seost funktsioonide y = f (x) + a, ekstreemum. y = f (x + a), y = f (ax), y = a f (x) Astmefunktsioon. graafikutega;

Matemaatika
30 allalaadimist
thumbnail
18
ppsx

Ruutvõrratuse lahendamine

Ruutvõrratuse lahendamine Heldena Taperson www.welovemath.ee Ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis esitub kujul ax 2  bx  c > 0  < ,  ,  , kus a  0 Ruutvõrratuse lahendid sõltuvad diskriminandist D  b 2  4ac Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x    ; x1 ;   x2 ;  Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x   x1 ; x2 ; Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest

Matemaatika
14 allalaadimist
thumbnail
12
pdf

2009. aasta matemaatika riigieksami ülesanded ja lahendused

näiteks osade eksaminandide arvates asusid postkontor (või raamatukogu) Kuul (s.t vahemaad olid mitme tuhande kilomeetri pikkused)! 2 6. (15 punkti) On antud funktsioonid f ( x) = sin 2 x ja g ( x) = cos - x - cos x - . 3 3 1) Näidake, et g ( x ) = - cos x . 2) Leidke võrrandi f ( x) = - cos x lahendid, mis asuvad lõigul [0;2 ] . 3) Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f ( x) ja y = g ( x) graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f ( x) < g ( x) lõigul [0;2 ] . ___________________________________________________________________________ Lahendus. 1) 2 2 2 g ( x) = cos - x - cos x - = cos cos x + sin sin x - cos x cos -

Matemaatika
1271 allalaadimist
thumbnail
7
doc

Riigieksami lahendused II

2) Lahendage võrrand f (x) = 1. 3) Lahendage võrratus f (x) > 0 lõigus [0; ] . 4) Leidke funktsiooni f (x) miinimumkoht vahemikus ( 0; 2) ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. Lahendus: 1) Lihtsustame avaldist f ( x ) f ( - x ) . f ( x ) f ( - x ) = ( sin x - cos x ) ( sin ( - x ) - cos ( - x ) ) = ( sin x - cos x ) ( - sin x - cos x ) = = - ( sin x - cos x ) ( sin x + cos x ) = - ( sin 2 x - cos 2 x ) = - sin 2 x + cos 2 x = cos 2 x 2) Lahendame võrrandi f(x) = 1. sin x - cos x = 1 Kasutame täiendusnurga valemit cos = sin ( 90 - ) . 0 Saame võrrandi sin x - sin ( 90 - x ) = 1 . 0 - + Kasutame vasaku poole teisendamiseks valemit sin - cos = 2sin cos . Saame

Matemaatika
364 allalaadimist
thumbnail
6
docx

Ruutvõrratused

2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 ­ 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x ­ telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = (­ ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid

Matemaatika
90 allalaadimist
thumbnail
20
pptx

Ruutfunktsioon ja selle graafik

a = 1 . Kuid, mis juhtub, kui a ei võrdu 1? Näiteksy võrrandis y = – 4x2 . Mis on a ? a=–4 x y (x, y) x –2 – 16 (–2, –16) –1 –4 (–1, –4) 0 0 (0, 0) 1 –4 (1, –4) 2 – 16 (–4, –16) Parabooli y = ax2 omadused y = ax2 graafik on parabool, mille haripunkt asub nullpunktis ja y-telg on sümmeetriatelg. Kui a on positiivne, parabool avaneb ülespoole, kui a on negatiivne, parabool avaneb allapole. Kui a on suurem kui 1 (a > 1), siis parabool on kitsam kui parabool f (x) = x2. Kui a on 0 ja 1 vahel(0 < a < 1), siis parabool on laiem kui parabool f (x) = x2 Parabooli y = ax2 + k joonestamine Näiteks võrrandis y = – 4x2 – 3 . Mis on a ?

Matemaatika
14 allalaadimist
thumbnail
40
doc

Keskkooli matemaatika raudvara

...........................................................................36 Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid......................................................................................37 Kahe sirge vaheline nurk........................................................................................................ 38 Ringjoonevõrrand................................................................................................................... 38 Ruutfunktsiooni graafik, selle joonestamine.......................................................................... 39 Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik............................................................................................39 4 I Reaalarvud ja avaldised Arvuhulgad Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}

Matemaatika
1450 allalaadimist
thumbnail
100
pdf

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

) 3 3.7 Lineaarvõrrand Lineaarvõrrandi üldkuju on ax = b. b Kui a ≠ 0 , siis saame võrrandi lahendiks x = . a Kui a = 0 , siis võrrand omandab kuju 0 ⋅ x = b . Kui seejuures b = 0 , siis on võrrandil lõpmatu hulk lahendeid (lahendiks on iga reaalarv). Kui aga b ≠ 0 , siis lahend puudub. Lineaarvõrrandi lahendamiseks on vaja 1) viia võrrand üldkujule, jättes tundmatut sisaldavad liikmed vasakule poole ja vabaliikmed paremale poole võrdusmärki; 2) jagada mõlemad pooled tundmatu kordajaga. 22 3.8 Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 + bx + c = 0 , kus a ≠ 0 . Lahendite leidmiseks kasutatakse valemit −b ± b 2 − 4ac

Matemaatika
75 allalaadimist
thumbnail
54
doc

Valemid ja mõisted

p p x + px + q = 0 2 x1, 2 = - ± - q 2 2 x 2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p ja x1 x2 = q (Viète´i valemid) 9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2

Matemaatika
1097 allalaadimist
thumbnail
7
doc

Matemaatika valemid kl 10-11 12 tõenäosus

a b 23. Nurga mõiste üldistamine. Nurkade liigitus = a d -b c 24. Nurga kraadi- ja radiaanimõõt (Radiaan on c d kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele NB! Kahe muutujaga linaarvõrrandi kaarele) süsteemil: 180° = rad a) On üks lahend 180° a b rad = kui D 0 , siis 1 1 a 2 b2 b) On lõpmatult palju lahendeid 1° = rad 180° 25. Ringjoone kaare pikkus ja sektori pindala 1 - cos

Matemaatika
1298 allalaadimist
thumbnail
8
doc

VÕRRATUSED

Lahendada lineaarvõrratused: 2 1) 4x ­ ( 8x ­ 7 ) < 1 2) 7(2y -3) ­ 4(5y ­ 7) 1 3) 0 25 - x RUUTVÕRRATUSED. Kõrgema astme võrratused. Ruutvõrratuste lahendamiseks on mitu meetodit. Piirdume intervallide meetodiga. Intervallide meetodi algoritm: 1. Leida avaldise nullkohad (võrdsustada nulliga). Avaldist võib lahutada tegureiks. 2. Paigutada nullkohad arvsirgele. 3. Uurida avaldise märki igas saadud intervallis (igas intervallis valime suvalist arvu, asendame selle arvu ja uurime saadud märki). Intervallid omavad kas ,,+" või ,, ­ ,, märki. ,,+" märgiga intervall vastab ,,> 0" võrratusele ja ,, ­ ,, vastab ,,< 0" võrratusele. Näide 5. Lahendada võrratus x2 ­ 3 x < 0. Leiame avaldise nullkohad, võrdsustades ,,0"-ga

Matemaatika
10 allalaadimist
thumbnail
32
doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

............................................18 25. Funktsiooni diferentsiaal, diferentsiaali omadused, tuua näiteid diferentsiaali kasutamisest ligikaudsel arvutamsel. .................................................................................................................. 19 26. Funktsiooni kõrgemat järku tuletis. ......................................................................................... 19 27. Kirjeldage joone puutuja ja normaali võrrandite leidmist. ...................................................... 19 28. Rolle'i teoreem, tema geomeetriline interpretatsioon. L'Hospitali reegel. ............................. 19 1 29. Taylori valem, Maclaureni valem. Taylori valemi tuletamine. ............................................... 20 30

Matemaatika
118 allalaadimist
thumbnail
8
doc

Matemaatika praktikumi töö

Näide: (x+1)/(x+2)=0 Murdvõrrandit EI TOHI muutujaga läbi korrutada! Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele. Näide: Seejärel võrdustatakse lugeja nulliga, samal ajal väites, et nimetaja ei tohi olla 0. Antud juhul: x2-x-6=0 ja x-3 0 -> x 3 Ruutvõrrandi lahendid on x1 = 3 ja x2 = -2, kuid 3 on võõrlahend, seega murdvõrrandi lahendiks on -2. Juurvõrrand Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus muutuja on juure all. Ei ole juurvõrrand, sest muutuja x ei ole juure all. Juurvõrrandit lahendadakse, viies juurega liikmed ühele poole ja juureta liikmed teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu. Näide:

Matemaatika
23 allalaadimist
thumbnail
1
docx

Funktsioon - terooria

· Y-sõltuv muutuja Funktsioon ­ vastavus, mille järgi sõltumatu muutuja igale kindlale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide selliste muutuja x väärtuste hulka, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada. (Tähis:X) Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonnaks nimetatakse muutja y kõigi väärtuste hulka.(Tähis:Y) Funktsiooni esitusviisid: valem, sõnaline formuleering, nooldiagramm, graafik, tabel. Funktsiooni nullkohaks nimetatakse argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null. Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0) Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Võrratus-(f(x)>0) (Tähis:X+) Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Võrratus-(f(x) <0)(Tähis:X-)

Matemaatika
75 allalaadimist
thumbnail
816
pdf

Matemaatika - Õhtuõpik

............................ 266 Erinevat tüüpi võrrandid .............................. 170 Omadused ...................................................267 Võrrandisüsteem ......................................... 172 Miks osutuvad polünoomid Mobiilioperaatori valimine ........................... 174 nõnda oluliseks? ........................................ 268 võrrandi teisendamine ja Nullkohad ja mugavale kujule tegurdamine ............................................. 269 lahendamine . ................................... 176 Kuidas peita kolmekesi ühist varandust? ...... 271 Võrrandi teisendamisest üldisemalt ............. 176

Matemaatika
198 allalaadimist
thumbnail
4
doc

Matemaatika mõisted

40. Korrapärane prisma ­ püstprisma, mille põhi on korrapärane hulknurk. 41. Korrapärane püramiid ­ püramiid, mille külgservad on võrdsed ja põhjaks on korrapärane hulknurk. 42. Kraad ­ ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 43. Kuup ­ 1. risttahukas, mille kõik servad on võrdsed. 44. Kõõl ­ joone kaht punkti ühendav lõik. 45. Lineaarfunktsioon ­ kahe suuruse x ja y vaheline seos kujul y = ax + b ; ax on lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand ­ võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd ­ kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ­ ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan ­ kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ­ ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ­ ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul

Matemaatika
146 allalaadimist
thumbnail
5
doc

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks

erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu. See omadus lubab kõiki ridadele saadud omadusi kanda üle ka veergudele. Omadus 2. Kui determinandis kaks rida (või veergu) ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. Omadus 3. Determinandi rea (või veeru) korrutamisel (jagamisel)

Lineaaralgebra
177 allalaadimist
thumbnail
2
pdf

Võrratuste näited

c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x  11)  x(5 x  11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool V: x    ;  2,2  3 ;   d) Viirutada -2,2 3 x e) Kirjutada võrratuse lahend 3. KÕRGEMA ASTME VÕRRATUS (𝑥 2 − 𝑥)(2 + 𝑥)(1 − 𝑥) > 0

Matemaatika
17 allalaadimist
thumbnail
17
ppt

Võrratused

Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks. Näiteks: Kui 3<7, siis 7>3. Võrratuse liikmeid võib viia ühelt võrratuse poolelt teisele, muutes üleviidava liikme märki. Näiteks: Kui 8>3, siis 8-3>0. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada) nullist erineva arvuga. Negatiivse arvuga jagades võrratuse märk muutub! Positiivse arvuga jääb samaks. Näiteks: Kui 5<7 |·3, siis 15<21. Aga 5< 7 |·(-3), siis -15>-21. Võrratuse lahend Kui võrratus sisaldab muutujat, siis saame rääkida võrratuse lahendamisest. Võrratuse neid muutuja väärtusi, mille korral võrratus osutub tõeseks nim. võrratuse lahendeiks ja kõiki koos võrratuse lahendihulgaks. Võrratuse lahendid on enamasti reaalarvude piirkonnad. Reaalarvude piirkondade märkimiseks kasutatakse järgnevaid sümboleid: Lõik axb x[a;b] Vahemik a

Matemaatika
241 allalaadimist
thumbnail
10
doc

X klassi matemaatika lühikonspekt

Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R  Q  I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev. Lisaks eespool loetletud naturaalarvude omadustele (Iga a, b  R korral…), mis kehtivad ka kõigile teistele, võime lisada: 6. Lahutamise seadus. Iga a, b  R korral on võrrandil b  x  a olemas lahend x  a  b . a 7. Iga a, b  R ja b0 korral on võrrandil bx  a olemas lahend x, kusjuures x . b Reaalarvude piirkonnad Nimetus Tingimus Tähis Graafiline esitlus lõik a-st b-ni a xb  a; b

Matemaatika
26 allalaadimist
thumbnail
4
docx

Matemaatika funktsioonide mõisted 11. klass

1. Mis on f­ni määramispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? (õpikus lk. 125) 2. Mis on f­ni muutumispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? 3. Mida nim. f­niks?(lk. 124) 4. Mida nim. f­ni nullkohtadeks? Tähis ja tingimus. 5. Mida nim. f­ni positiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 6. Mida nim. f­ni negatiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 7. Millal nim. f­ni vahemikus kasvavaks? 8. Millal nim. f­ni vahemikus kahanevaks) (lk. 134) 9. Missugust f­ni nim. kasvavaks? 10. Missugust f­ni nim. kahanevaks?(lk. 136) 11. Millal on funktsioonil kohal xe maksimum? (lk. 136) 12. Millal on f­nil kohal xe miinimum? 13. Missugust f­ni nim. paarisf­niks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisf­ni graafikut? 15. Missugust f­ni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu f­ni graafikut? Vastused 1. Fni määramispiirkonna

Matemaatika
23 allalaadimist
thumbnail
108
doc

MATEMAATIKA TÄIENDÕPE: Valemid

x  px  q  0 2  x1, 2       q 2  2 x 2  px  q  0  x1  x2   p ja x1  x2  q (Viète´i valemid) 9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4  bx 2  c  0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x  y . Saadakse uus võrrand ay 2  by  c  0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2  y , saame 1) x 2  y1 , millest x1,2   y1 ; 2) x 2  y2 , millest x3,4   y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2  px  q   x  x1   x  x2  , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2  px  q  0 lahendid). ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x2  ,

Algebra I
60 allalaadimist
thumbnail
273
pdf

Lembit Pallase materjalid

aide 1.1. Tabel x y -2 3 -1 11 0 15 esitab definitsiooni kohaselt funktsiooni, sest igale muutuja x v¨aa¨rtusele kol- meelemendilisest hulgast X = {-2, -1, 0} seab see vastavusse u ¨he kindla muutuja y v¨a¨artuse. Muutuja x v¨a¨artusele -2 on vastavusse seatud muutuja y v¨a¨artus 3 jne. Teiseks funktsiooni esitusviisiks on graafik. N¨ aide 1.2. Graafik esitab y y0 P x0 x Joonis 1.1: Funktsiooni esitusviis graafikuna t~oepoolest u ¨laltoodud definitsiooni m~ottes funktsiooni, sest argumendi v¨a¨artusele x0 vastab graafiku punkt P . Selle punkti ordinaat y0 on u ¨heselt m¨aa¨ratud,

Matemaatiline analüüs
807 allalaadimist
thumbnail
5
doc

X klassi matemaatika lühikonspekt

Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R  Q  I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev. Lisaks eespool loetletud naturaalarvude omadustele (Iga a, b  R korral…), mis kehtivad ka kõigile teistele, võime lisada: 6. Lahutamise seadus. Iga a, b  R korral on võrrandil b  x  a olemas lahend x  a  b . a 7. Iga a, b  R ja b0 korral on võrrandil b x  a olemas lahend x, kusjuures x . b Reaalarvude piirkonnad Nimetus Tingimus Tähis Graafiline esitlus lõik a-st b-ni a xb  a; b

Matemaatika
112 allalaadimist
thumbnail
6
doc

11. klassi materjal matemaatikas

Funktsiooni vahemikuks f(x) argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsioon kahaneb kahanemisvahemikuks. Kahanemispiirkond X Funktsiooni ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni lokaalseid(kohalikke) max. ja min. väärtusi. Mmax(xmax;ymax) - maksimum punkt Mmin(xmin;ymin) ­ miinimum punkt Paaris- ja paaritufunktsioon Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui argumendi märgi muutumisega ei kaasne argumendi märgi muutust. Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(-x) = f(x) Funktsiooni nimetatakse paarituksfunktsiooniks, kui argumendi märgi muutusega kaasneb funktsiooni märgi muutus. Sümmeetriline alguspunkti suhtes. f(-x) = -f(x) Et teha kindlaks, kas funktsioon on paaris või paaritu või ei ole kumbki, asendatakse funktsiooni avaldises x -x ja teisendatakse avaldist, kui tulemuseks tekib esialgne funktsioon siis on tegemist paarisfunktsiooniga, kui tulemusele saab miinusmärgi ette võtta ja

Matemaatika
501 allalaadimist
thumbnail
8
doc

12. klass matemaatika kordamine

Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1) 4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi x 2 - 4 x - b 2 - 2b + 3 = 0 lahenditest. 21. Olgu r ringi raadius. Avalda ringi segmendi pindala, kui segmendi alus on r 3 ja kõrgus r/2. Tee joonis. 22. Tõesta võrratus cos2x + 2sinx < 1,5 23. Lahenda võrrand 10 log ( x ) =4 2 +x -8 24. Komplektis on 4 standardset ja 2 mittestandardset lampi. Võetakse juhuslikult 2 lampi.

Matemaatika
327 allalaadimist


Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun