Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tun
X klass. Determinandid. Lineaarsed võrrandisüstee mid. Alice Turunova Aliis Uudelt TPL 2011 Ülesanne 1 Lahenda lineaarvõrrandisüsteem determinandi abil. Lahendus: Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Kontroll: Vastus: Ülesanne 2 Lahenda lineaarvõrrandisüsteem determinandi abil. Lahendus: Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Kontroll: Vastus: Tekstülesanne Stiina töötas juunist augustini kohalikus kohvikus ettekandjana. Töögraafik oli kuude lõikes erinev. Kokku sai tüdruk 825 palka. Juuni ja augusti eest sai Stiina 450 ning juuni ja juuli eest 575. Palju maksis ülemus Georg Stiinale juulis, juunis ja augustis? Lahendus: Saagu Stiina juunis x , juulis y ning augu
Materjalide keemia I eksamiküsimused 2015. Pilet 1 Materjali mõiste. Materjal on konkreetse omadustega aine või ainete kompleks, mida saab kasutada mingite ühiskonna vajaduste rahuldamiseks nüüd või tulevikus. Materjale saab liigitada mitut moodi, näiteks looduslik/sünteetiline, orgaaniline/anorgaaniline jne. Üldiselt liigitus: metallid, keraamika, polümeerid ja komposiidid, kõrgtehnoloogilised materjalid Materjalide keemia uurib mikrostruktuuri mõju makroskoopilistele omadustele. Tsemendi kõvastumine, selle võrdlus lubja kõvastumisega. Tsement on hüdrauliline sideaine, mis kõvastub ka vee all. Tähtsaim on portlandtsement, mis valmistatakse lubjakivi ja savi peenestatud segu kuumutamisel. Lubjakivi laguneb, eraldub CO2, ning CaO ja savi reageerivad paakumise käigus, reaktsiooni saadustena tekivad kaltsiumsilikaadid 3CaO*SiO2. Kui saadus jahvatada ja seejärel segada veega, kõvastub segu kiiresti, sest tekivad kaltsiumhüdraatsilikaadid. 3CaO*SiO2 + H2O = 3CaO*Si
Mainori Kõrgkool Matemaatika ja statistika Loengukonspekt Silver Toompalu, MSc 2008/2009 1 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste ......................................................................................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus ....................................
Determinandid, lineaarsed võrrandisüsteemid Ülesanne 1 Lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. x + y + z = 26 3x - y + z = 20 - x + 7 y - 2 z = 15 1 1 1 1 1 D = 3 - 1 1 3 - 1 = 2 - 1 + 21 - 1 - 7 + 6 = 20 -1 7 - 2 -1 7 26 1 1 26 1 Dx = 20 - 1 1 20 - 1 = 52 + 15 + 140 + 15 - 182 + 40 = 80 15 7 - 2 15 7 1 26 1 1 26 Dy = 3 20 1 3 20 = - 40 - 26 + 45 + 20 - 15 + 156 = 140 - 1 15 - 2 - 1 15 1 1 26 1 1 Dz = 3 - 1 20 3 - 1 = - 15 - 20 + 546 - 26 - 140 - 45 = 300 - 1 7 15 - 1 7 Dx 80 x = D = 20 = 4 Dy 140 y= = = 7 D 20 Dz 300 z = D = 20 = 15 Kontroll: I vp1 = 4 + 7 + 15 = 26 pp1 = 26 vp1 = pp1 II vp 2 = 3 4 - 7 + 15 = 20 pp 2 = 20 vp 2 = pp 2 III vp 3 = -4 + 7 7 - 2 15 = 15 pp 3 = 15 vp 3 = pp 3 x= 4 Vastus: y = 7 z = 15 Ülesanne 2 Lahenda tekstülesanne determinantide abil. Ema
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a
MAATRIKSALGEBRA 1. Maatriksi mõiste ja liigitus Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse a ik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A= . . . . . a am2 ... a mn m1 Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elem
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a
Kõik kommentaarid