Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Lineaaralgebra täielik konspekt (24)

5 VÄGA HEA
Punktid
 
Säutsu twitteris
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina
  • MAATRIKSID
  • Üldmõisted
    Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu :
    Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega):
    A = (aij ) =
    , (
    1.1)
    kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element.
    Maatriksi suurust saab väljendada valemiga:
    ridade arv x veergude arv.
    Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m ( dimensioon – suurus).
    Näide 1: Antud maatriks. Siin A2x3 , a12 = - 4, a23 = -6,5 .
    Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t.
    A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m .
    Definitsioon 2. Maatriksit, millel ridade arv on võrdne veergude arvuga (m = n ), nimetatakse ruutmaatriksiks.
    Maatriksi elemendid, mis asuvad diagonaalil maatriksi vasakupoolse ülemisest nurgast paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali.
    Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on „1“, aga kõik ülejäänud elemendid on „0“, nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega.
    Näide 2:
    E3x3
    on 3 järku ühikmaatriks,
    Enxn
    n -järku ühikmaatriks.
    Ruutmaatriksit, mille elemendid (välja arvates peadiagonaali) on „0“ ja asuvad ühel pool peadiagonaalist, nimetatakse kolmenurksemaatriksiks:
    või
    Maatriksit, mis koosneb ainult nullidest, nimetatakse nullmatriksiks :
    O = .
    Maatriksite teoorias E ja O mängivad sama rolli, mis arvud 0 ja 1 aritmeetikas.
    Maatriksit, mis sisaldab ainult ühte rida (veergu), nimetatakse vektormaatriksiks.
    Vektormaatriksit saab esitada järgmisel kujul::
    Definitsioon 4. Maatriksit, mille ridadeks on algmaatriksi veerud ja veergudeks algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT.
    Näide 3:
    A = .
    Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks.
  • Tehted maatriksitega

    Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed
    Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad
    A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij )
    Näide 1:
    • Lahutamine

    Märkus: maatrikseid saab lahutada ainult juhul, kui lahutavate maatriksite suurused on võrdsed .
    Definitsioon 2 . Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) vaheks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide vahed

    A B = (aij ) - (bij) = (aij - bij )

    Näide 2 :

    Definitsioon 3 . Maatriksi Am x n = (aij) korrutiseks skalaaarvuga k nimetatakse maatriksit, mille elementideks on algmaatriksi elementide korrutised selle arvuga ,s.t.
    k ∙ A = (k∙ aij), ( i = 1,...,m; j = 1,...,n).
    Näide3:
    • Maatriksite korrutamine

    Märkus 1: maatrikseid saab korrutada, kui „esimese“ teguri-maatriksi veergude arv võrdub „teise“ teguri-maatriksi ridade arvuga: ehk korrutis A∙B (kus Am x n ja Bn x p) eksisteerib ainult siis kui maatriksi A veergude arv (antud juhul n) on võrdne maatriksi B ridade arvuga (antud juhul n).
    Näide 4:
  • korrutis A2 x 3∙ B3 x 5 eksisteerib, kuna maatriksi A veergude arv = maatriksi B ridade arvuga (= 3),
  • korrutis B3 x 5 ∙ A2 x 3 ei eksisteeri, kuna maatriksi B veergude arv (5) ei võrdu maatriksi A ridade arvuga (2).
    Märkus 2: korrutise A∙B tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub “esimese” maatriksi (A) ridade arvuga ja veergude arv – “teise” maatriksi (B) veergude arvuga
    Näide 5: korrutise A2 x 3∙ B3 x 5 tulemuseks on maatriks, millel on 2 rida ja 5 veergu.
    Tähistame maatriksi Am x n reavektorid αi ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid β j ( j = 1, ..., p).
    Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit
    A·B = (αi · β j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite αi ja β j
    skalaarkorrutised cij = αi · β j
    (maatriksi A reavektorite αi ja maatriksi B veeruvektorite β j vastavate elementide korrutiste summa).
    Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul
    RIDA
    VEERG
    Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt

    Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning
    BA.
    Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord:
    AB BA.
    Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A).
    Näide 6 :
    Näide 7: Leida AB ja BA, kui
    Lahendus:
    Siin korrutis AB ei ole määratud, kuna korrutises „esimese“ maatriksi A veergude arv A(3) ei ole võrdne „ teise“ maatriksi B ridade arvuga B (2).
    Samal ajal korrutis BA eksisteerib: esimese maatriksi veergude arv B(2) on võrdne teise maatriksi ridade arvuga A(2), ning see korrutis on:
    Näide 8: Leida A2 – 2ABT, kui .
    Lahendus:
    A2 saab mõista kui kahe võrdsete maatriksi korrutist AA :
    A2 = AA =
    BT on maatriksi B transponeeritud maatriks :
    BT =
    2ABT on kahe maatriksi ja arvu korrutis, 4. omaduse järgi saab eelnevalt korrutada maatriksid oma vahel ja siis tulemust korrutada arvuga.
    A2 – 2ABT=
  • Maatriksite elementaarteisendused
    Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad:
  • maatriksi kahe rea ümberpaigutamine;
  • suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga);
  • suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga
    Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse : A ~ B .
    Elementaarteisendustega saab suvalist maatriksit viia kujule, kus peadiagonaali alguses on ainult“1“ ja kõik ülejäänud elemendid on „0“. Niisugust maatriksit nimetatakse kanooniliseks :
    Näide .
    - kanooniline matriks
  • Maatriksite omadused

  • Maatriksite korrutamine MS Excelis
    Tabelarvutuspaketi MS Excel matemaatikafunktsioonide hulgas on maatriksite korrutamist võimaldav funktsioon MMULT. Eelnevalt sisestatakse Exceli töölehele lähtmaatriksid (trükitakse tabelitena) . Kuna maatriksite korrutamise tulemusena on maatriks, siis tuleb arvutada maatriksi suurust ja märgistada hiirega ruudustik , mis sisaldab sama palju ridu ja veerge kui tulemusmaatriks. Seejarel tuleb funktsioonide ikoonist fx valida MMULT.
    Funktsiooni käivitamisel tuleb dialoogikasti sisestada lähtanmed (ühele reale esimese maatsiksi elementide aadressid ja teisele reale –
  • 80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
    Vasakule Paremale
    Lineaaralgebra täielik konspekt #1 Lineaaralgebra täielik konspekt #2 Lineaaralgebra täielik konspekt #3 Lineaaralgebra täielik konspekt #4 Lineaaralgebra täielik konspekt #5 Lineaaralgebra täielik konspekt #6 Lineaaralgebra täielik konspekt #7 Lineaaralgebra täielik konspekt #8 Lineaaralgebra täielik konspekt #9 Lineaaralgebra täielik konspekt #10 Lineaaralgebra täielik konspekt #11 Lineaaralgebra täielik konspekt #12 Lineaaralgebra täielik konspekt #13 Lineaaralgebra täielik konspekt #14 Lineaaralgebra täielik konspekt #15 Lineaaralgebra täielik konspekt #16 Lineaaralgebra täielik konspekt #17 Lineaaralgebra täielik konspekt #18 Lineaaralgebra täielik konspekt #19 Lineaaralgebra täielik konspekt #20 Lineaaralgebra täielik konspekt #21 Lineaaralgebra täielik konspekt #22 Lineaaralgebra täielik konspekt #23 Lineaaralgebra täielik konspekt #24 Lineaaralgebra täielik konspekt #25 Lineaaralgebra täielik konspekt #26 Lineaaralgebra täielik konspekt #27 Lineaaralgebra täielik konspekt #28 Lineaaralgebra täielik konspekt #29 Lineaaralgebra täielik konspekt #30 Lineaaralgebra täielik konspekt #31 Lineaaralgebra täielik konspekt #32 Lineaaralgebra täielik konspekt #33 Lineaaralgebra täielik konspekt #34 Lineaaralgebra täielik konspekt #35 Lineaaralgebra täielik konspekt #36 Lineaaralgebra täielik konspekt #37 Lineaaralgebra täielik konspekt #38 Lineaaralgebra täielik konspekt #39 Lineaaralgebra täielik konspekt #40 Lineaaralgebra täielik konspekt #41 Lineaaralgebra täielik konspekt #42 Lineaaralgebra täielik konspekt #43 Lineaaralgebra täielik konspekt #44 Lineaaralgebra täielik konspekt #45 Lineaaralgebra täielik konspekt #46 Lineaaralgebra täielik konspekt #47 Lineaaralgebra täielik konspekt #48
    Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
    Leheküljed ~ 48 lehte Lehekülgede arv dokumendis
    Aeg2008-11-18 Kuupäev, millal dokument üles laeti
    Allalaadimisi 782 laadimist Kokku alla laetud
    Kommentaarid 24 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
    Autor climbatize Õppematerjali autor

    Lisainfo

    maatriksid jne
    kõrgem , matemaatika , algebra

    Mõisted


    Meedia

    Kommentaarid (24)

    Martiinan profiilipilt
    Martiinan: Väga hea, kahe nädala pärast tuleb eksam ja see materjal on abiks. Aitäh. :)
    15:37 27-12-2008
    producent profiilipilt
    Sven Allik: põhjalik muidu, aga harjutusi ül võib ka õpikust teha neid on liiga palju
    21:49 06-01-2010
    Sten443 profiilipilt
    Sten443: Nelja päeva pärast eksam, aitas palju, suured tänud!
    00:17 26-10-2010


    Sarnased materjalid

    3
    docx
    Lineaalalgebra Esimese KT konspekt
    2
    docx
    Lineaaralgebra - Maatriksid-1-KT
    24
    rtf
    Lineaaralgebra eksam
    28
    pdf
    Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria konspekt
    4
    doc
    Lineaar algebra teooria kokkuvõte
    4
    pdf
    Lineaaralgebra I osaeksam 2013
    9
    doc
    Lineaaralgebra
    5
    doc
    algebra konspekt





    Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
    Kasutajanimi / Email
    Parool

    Unustasid parooli?

    UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
    Pole kasutajat?

    Tee tasuta konto

    Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun