Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like


Kujutava Geomeetria abimaterjal (0)

5 VÄGA HEA
Punktid
 
Säutsu twitteris
TallinnaTehnikaUlikool
Insenerigraafikakeskus


GEOMEETRIA
KUJUTAVA
ULDKURSUS
ABIMATERJALLOENGUTE
KUULAMISEKS

KoostanudEdgarKogermann


Tallinn
2001
h) Kahe kiivsirgevahelistnurka mS6detakse
tavalisenurgaga,mille haaradon nende
SISSEJUHATUS paralleelsed.
kiivsirgetega
l) Kahetahulistnurka m66detaksenurgaga,
1. Kujutavgeomeetriaon geomeetriaeriharu, mille haaradasetsevadteine teisel tahul
milleskdsitletakse ning on risti tahkude l6ikejoonega
- objektidesttasandilistekujutistefiooniste) (kahetahulisenurgaservaga).
tuletamist;
-ruumigeomeetrilisteUlesannetelahenda- elementideja nendevastas-
3. Geomeetriliste
mistkujutisteabil. tikuste asendite kideldamisekskasutatakse
Tehnikak6rgkoolismoodustab kujutav geo- jdrgmisi0ldisitdhiseid
ja mdrke:
meetriakoosjoonestamise kursusegatervikliku
ainetsUklija teenibjdrgmisieesmdrke: A,8,C,...;1
,2,3,... - ruumipunktid;
1) annab teoreetilisedalused jooniste val- a,b,c,... - jooned;
mistamiseks ja lugemiseks;
0,F' Y,... - pinnadja nurgad;
2) arendabruumikujutlusv6imet;
allb ll - paralleelsus (a on
3) 6petabja evitabvajalikkeoskusijooniste
konektseksvormistamiseks. paralleelne b-ga);
Kujutavageomeetriakursusekonalikomanda- bxc - l6ikumine(b l6ikub
mine on seega olulisekseeldusekstehniliste c-ga);
erialade 6ppimisel. Seda eriti ehitus- ja cId - ristseis(c on risti
mehaanikaerialade 6ppimisel,kus joonistelon
informatsiooni vahendajana erilinekoht. d-ga);
Ac? - kuuluvus(punktA
2. Kujutava geomeertia 6ppimisel on vaja kuulubjoonelea);
teada mitmesuguseid elementaargeomeetriast A'= B' - samasus,Uhtimine
tuntud t6siasju. Olulisemaidneist meenuta- (punktidA' ja B'
takseallpool.
0htivad).
a) Kaks sirgjoont(samutikakstasandit),mil-
lest kumbki on paralleelnekolmandaga,
on paralleelsedka omavahel. Erilist tdhendust omavate geomeetriliste
elementide tdhisedesitataksetekstisvastavate
b) Kui paralleelsedsirged l6ikavad nurga
m6isteteselgitamisekdigus.
haarasid,siis l6igud, milleksparalleelid
jaotavadnurga 0he haara,on v6rdelised
l6ikudega, milleks nad jaotavad nurga
teisehaara.
c) Sirgjoonja tasand on paralleelsed,kui {. PROJEKTEERIMINE
tasandilleidub antud sirgegaparalleelne
sirge. 1.1 Projekteerimiseolemus.Projektsiooni
d) Kaks tasandit on paralleelsed,kui tihe m6iste
tasandikahel l6ikuvalsirgelon kummalgi
oma paralleelteiseltasandil. Projekteerimineon geomeetriline toiming,
e) Sirgjoonja tasandon teineteisega risti,kui millesosalevad
tasandilleidubkaksl6ikuvatsirget,mis on - kujutatavese ehk obiekt;
ristiantudsirgega.
- projekteerivad kiiredehk kuiutamiskiired;
0 lga punktildbibUksainusantudtasapinna
ristsirge,samuti Uksainussirgjoonerist- - projektsioonitasand ehk ekraan.
tasand. Toimingupraktilistvaldamistraskendabtihti
g) Paralleelsete tasanditeloikamiseltasandi- asjaolu, et kaks esimest elementi esinevad
ga tekivadparalleelsedl6ikesirged. harilikultkujutletavatena.
Projekteerimisetulemuseks on projektsioon
ehk kuiutis,mida tuleb vaadeldakui objekti z Sirgjoone projektsioonon Uldjuhulsirge;
erijuhulpunkt, kui sirge uhtib kujutamis-
k6iki punkteldbivatekujutamiskiirteja ekraani kiirega(MN,joon.1.1).
l6ikepunktidekogumit. Tegelikulttuletatakse
kujutisedjoonistevalmistamisel ainultteadlikult Kuipunkton mingiljoonel, siistemakujutis
valitud punktide jdrgi, kasutadesoskuslikult on sellejoone kujutisel(kui D c AB, siis
geomeetriliste elementide projektsioonilisi D' c A' B' ,joon.1.1) .
omadusi.
Projektsioone(kujutisi)liigitataksekujutamis-
! ObjektiUksainus kujutisilmalisaandmeteta
ei mddrasedaobjektiruumis.
kiirte vastastikuseasendi p6hjal tsentraal-ja
paraIIeelprojektsiooniks. 5 Kui tasandilist kujundit projekteerivad
kiiredasetsevad k6ikkujunditasandis, siis
see kujundprojekteerub sirgl6iguks.

1.2 Tsentraalprojektsioon
1.3 Paralleelprojektsioon
Tsentraalprojektsioon on saanud oma nime-
tuse sellest, et projekteerimisel kasutatakse
tsentraalseid kujutamiskiiri.Tsentraalprojek- Paralleelprojekteerimiselon kujutamiskiired
joonis1.1.
teerimistselgitabpiltlikult omavahelparalleelsedja saadavat kujutist
nimetatakseseet6ttu paralleelprojektsiooniks.
Et paralleelprojektsiooniv6ib vaadelda kui
tsentraalprojektsiooni
erijuhtu, kus kujutamis-
tsenterS on viidudl6pmatakaugele,siis kehti-
vad siin eespooltoodudlaused 1...5. Neile
lisakson paralleelprojektsioonile
omasedjiirg-
misedseaduspdrasused.
g Kui sirgl6ikon paralleelne ekraaniga,siis
tema parralleelprojektsioon sellel ekraanil
on pikkuseltv6rdneja paralleelnel6igu
enesega(kuiAB lle,siisAB c p, kus p lle;
parallelogrammi omaduste pohjal
A' B' = AB ja A' B' llAB;joon.1.2) .
Jo o n .1
.1
Projekteerimis-
ehk kujutamistsentrist
S vdlju-
vad kujutamiskiired
liibivad antud kolmnurga
tippe A, B ja C ning tekitavadekraanilr
vastavatepunktidekujutised.Saadudkolmnurk
A',8',C' on kolmnurga ABC tsentraal-
projektsioon.
Eeltoodu p6hjal v6ime s6nastadajdrgmised
projektsioonide
omadused.
Joon.1.2
L Punktikujutiseksekraanilon seda punkti
ldbiva kujutamiskiire ja ekraanil6ikepunkt
( A' = SA x e , j o o n .1 .1 ). Kui tasandilinekujund on paralleelne
ekraaniga,siis tema paralleelprojektsioon

4
on kongruentnekujundienesega$dreldub 1.4 Ristprojektsioon
lausest6).
g Paralleelsetesirgete paralleelprojektsioo- Et ristprojektsioonon paralleelprojektsiooni
nid on Uldjuhuljdlle paralleelsedsirged; alaliik,siis kehtivadsiin k6ik eespooltoodud
erijuhtudel punktikujulised v6i uhine laused1...9.Lisaksselleleon ristprojektsioonil
joonkujutis (Kui AB llCD, siis A'B' llC'D'. veeljdrgmised eriomadused.
Vastupidine ei kehti,sest MNllCD, ehkki
M ' N 'l lC ' D '; o o n .1 .3 ).
j pikkus v6rdub
10 Sirgloiguristprojektsiooni
l6igu enda pikkuse ia kaldenurga
koosinuse korrutisega (A'B' = AB'cosg;
joon.1.5).


Jo o n .1 .3

I Sirgjoone l6igud on v6rdelised oma
ga
paralleelprojektsioonide foon.1.5
A'B'D'^I
- = - A'B' l a -="
(..AB | , i o o n1
. .4) . Sirgioonekaldenurgaksekraanisuhtes nime-
BC B'C" AB BC '
tatakseteravnurka(0'3 q temaristprojektsiooni vahel.
l6igu moonde-
Jdrelikulton ristprojekteerimisel
teguravaldatavnurgafunktsiooni kaudu
A'B'=
m = * coss. Et cosg AB
l6igumoondetegur
ristprojekteerimisel
vahem ikku0 {{ Taisnurkprojekteerubristprojekteerimisel
tdisnurgaks,kui tema uks haar asetseb
Jo o n .1 .4
ekraanilv6i on sellegaparalleelne,teine
haaraga poleekraanigaristi.
pikkuseja l6igu
Sirgl6iguparalleelprojektsiooni
enda pikkuse suhet nimetatakse sirgl6igu
moondeteguriks (m) Teravnurga ristprojektsioon v6ib nurga
tingitultollapiires0okuni180'.
asendist
A'B' A'B'=m.AB.
- =m'
AB
voib l6igu moonde-
Paralleelprojekteerimisel esitatavadn6uded
1.5 Projektsioonidele
tegurollavahemikus0 S m Valmistamiseja kasutamiseseisukohalton
jaguneb kald- ia rist-
Paralleelprojektsioon kujutiselkolm olulistomadust lihtsus,m66de-
proiektsiooniksvastavalt sellele, kas kiired tavus ja piltlikkus.Une v6i teise omaduse
langevadekraanilekalduv6i risti. eelistatus s6ltub kujutise kasutamisevald-
konnastja eesmdrgist.Kujutavasgeomeetrias
ja tehnikaspeetakseolulisekskujutistelihtsust A'(loe:A prim) - punktiApealtvaade;
ja m66detavust,sest joonised siin peavad A" (loe:Asekund) - punktiA eestvaade;
olemaobiektimddravad,s.o. uheseltmddrama
objekti k6ik geomeetrilised omadused. A' A" - sidejoon;
Teatavastitiksainus kujutis lisaandmetetaei A, A" = A'A - p6hikvoot
suuda tdita seda n6uet (lause 4). Seet6ttu - (kauguser-st),
kasutatakse praktikas lisaandmetevalikust
A,A' = A"A - esikvoot
olenevaltjiirgmisi objekti mddravatejooniste
saamisemeetodeid. (kauguse2-st).
1) Monge'i(loe:monZ)meetod;
2) aksonomeetria meetod;
3) kvooditudristprojektsiooni
meetod.
Kujutava geomeetria kursuses kasutatakse
p6hiliseltkahteesimestmeetodit.


2. MONGE-IMEETOD
2.1 Monge'imeetodiolemus.Punkti
kaksvaade
loon.2.1
Objektist tuletatakse mitu ristprojektsiooni
ekraanidel,mis on tiksteisegaristi. Seejdrel Kaksvaate tehtsam ad
p66ratakseekraanid koos kujutistegauhele omadused:
tasandile- joonisepinnale. Niiviisi saadud
joonist,mis koosnebmitmestomavahelseotud 1. Sidejoon on alati risti kaksvaate teljega
(A'A" I x) ja tema kaudu avaldub kujutiste-
ristprojektsioonist,
nimetataksemituvaateks. vahelineprojektsiooniline
seos.
2. Punkti kaugust p6hiekraanist(p6hikvooti)
Meetodiv6ttis kasutuseleprantsuse6petlane n€iitabeestvaatekaugusx-teljest(A"A, = AA')i
ja insenerGaspardMonge(1746- 1818). punkti kaugust esiekraanist(esikvooti)aga
niiitabpealfuaate
kaugusx{eljest (A'A,=41'1.
Kaksvaate saamiseks v6etakse kaks 3. Kui punkton esiekraanil(naguB), siistema
teineteisega
ristiolevatekraanifioon.2.1),kus eestvaadeOhtibpunkti enesega, pealtvaade
agaon x-teljel.Paiknebaga punktp6hiekraanil
(nagu C), siis 0htib tema pealtuaadepunkti
e1= xy-tasand - p6hiekraan;
enesegaja eestvaadeon x-teljel.
e2= xz-tasand - esiekraan;
X= €t X 6z - kaksvaatetelg; 12 Punktikaksvaademddrabpunktiasukoha
kr ja kz * p6hi-ja esikiir. ekraanidesuhtes Uheselt,joonisepinna
suhtesaga kaheselt.
Nditeks pdrast punkti A projekteerimist
ekraanideleja punkti kujutiseA' p66ramist Nagu niha jooniselt2.1, jaotavad ristuvad
koos p6hiekraanigaumber x-telje Uhtimiseni ekraanidkogu ruumi neljaks ruumiveerandiks
esiekraanigasaadaksegijoonis (kaksvaade), (1, ll, lll, lV). Harilikultasetataksekujutatav
kus objektesimesseruumiveerandisse. Sel juhul
saadaksekaksvaatelharjumuspdranekujutiste
paiknemine eestvaadeteljest k6rgemal,

6
pealtvaade madalamal. Punkti asukoha Kui punkt on antud oma koordinaatidega ja
mddrarniseksruumis kaksvaatejtirgi peab soovitaksesaadatema kaks- v6i kolmvaadet.
teadma,et abil
siistuletataksekujutisedkoordinaatl6ikude
fioon.2.1ja joon.2.2).
1) punkt on ruumisesiekraaniees v6i taga
vastavaltsellele,kas pealtvaadeon teljest (ktilgkvoot)Xn= OAx= A"'A;
x-koordinaatl6ik
madalamal v6i k6rgemal; (esikvoot) Yn= OAv= A"Al
y-koordinaatl6ik
2) punkton ruumisp6hiekraanist k6rgemalv6i (p6hikvoot)Zn= OA2= A'A.
z-koordinaatl6ik
madalamalvastavaltsellele,kas eestvaade
on teljestk6rgemalv6imadalamal.


2.2 Punkti kolmvaade.Projektsioonid
koordinaatidejiirgi
Kaksvaade md6rab ktill punkti asukoha
ekraanidesuhtes,kuid ei suuda dra mddrata
keerukamaidobjekte,sest suurearvupunktide
tdhistaminejoonisel pole v6imalik. Objekti
m66rava joonise saamiseks v6etakse siis
kasutusele x-teljega risti asetsev kolmas
ekraan(1oon.2.2) Joon.2.2

e3= yz-tasand- ktilgekraan, Et koordinaatloigudon suunatudsuurused, s.o.
positiivsed ja negatiivsed, tuleb kujutiste
mdrkimiseligale ekraanilehoolikaltjdlgida
Ekraanidee1jd e3p66ramisega ez
esiekraani telgedesuundi.Ei tohi unustada,et telg yr
kus
kolmvaade,
tasandilesaadaksegi kuulubp6hiekraani ja ye kulgekraanijuurde.
Seega mdrgitaksey-koordinaatl6ik pealtvaate
A"' (loeA terts) on kUlgvaade. tuletamisel y3jirgi.
yr ja k0lgvaatetuletamisel
Sisuliselt koosneb kolmvaadekahest kaks- Praktiliseltseisneb nditeks punkti A(x;y; z)
vaatest,moodustatuna e1 Le2
ekraanipaaridest kolmvaate tuletamine jdrgmiselt koostatud
jae2L ee.Et esiekraanesinebkummaskikaks- murdjoonte joonestamises fioon.2.2):
vaates, siis nimetataksesiin esiekraanipea- pealtvaateA'(x,y)jaoksl6ikudestOA,ja A,A";
ekraaniks, eestvaadet aga peakujutiseks. eestvaateA"(x,z)jaoksldikudestOA*jaA,A";
Eeltoodust tingitultesinebpunktiesikvootehk kulgvaateA"'(y,z) jaoks l6ikudestOA, ja
peakvootkolmvaateskaks korda - pealtvaate
kaugusenaxteljest ja ktilgvaatekaugusenaz-
N" "
teljestfioon.2.2):
A rA' = A . A "' =A " A .
2.3 Sirgjoonekaksvaade.Sirgejiilgpunktid
Seda seost nimetatakse kolmvaate pea-
omaduseks ja ta on aluseksobjektikolmanda Sirgjoonon mddratudoma kahe punktiga,iga
kujutisetuletamiselantudkaksvaatepohjal, punktaga oma kaksvaatega; j€irelikult
sirgjoon
on mddratudoma kahe punkti kaksvaatega
(joon.2.3). LUhidalts(A;B),kus A(A',A") ja
B(8',8',).
sirgetuldasendiliseks.
Vastaselkorralon sirge
eriasendiline.Uldasendilisesirge k6ik kolm
projektsioonion telgede suhtes kaldu; eri-
asendiliselsirgel on kolmestkujutisestkaks
m6neteljegaparalleelsed v6i sellegaUhtivad.
Ekraaniga paralleelset sirget nimetatakse
nivoosirgeksselle ekraani suhtes. Seega
esinebkolmesuguseid nivoosirgeid:
p6hiekraaniparalleelsirge - horisontaal h;
esiekraaniparalleelsirge - frontaalf;
kOlgekraaniparalleelsirge - profiilsirge
r.
sirgev6ibritdjuhfl"':rdratud ka tihtsalt
oma kaksvaatega - s(s',s"). Sel juhul tuleb
1. Horisontaalile (h lle,1) on iseloomulik
sirge kulgvaatesaamiseksvalida vabalt kaks
sobivaltasetsevatpunkti ja kasutadanende [oon.2.5)et ,
vastavaid kujutisi. Sirge punkte ldbivatest * kujutis esiekraanilon tildjuhul x-teljega
moodustuvadnn. proiekteeri-
kujutamiskiirtest paralleelne sirge(h"llx); erijuhulpunkt,kui
vadtasandidt I e1ja n L e2fioon.2.3). h I ez(h"= E" = E),
- l6igud horisontaalilprojekteeruvadpohi-
Sirgeja ekraanil6ikepunkti nimetatakseselle ekraanilet6elisespikkuses(A'B' = AB);
sirgeiilqpunktiksehk idlieks.UlOlunul
on sirgel - esikaldenurk q2 projekteerub p6hiekraanile
kolmj€ilgpunkti
fioon.2.4): t6elisessuuruses, sestg(h,h'1= g(h',x).
p6hijelg(kap6hijelgpunkt)P: s X e1i
esij€ilg(esijiilgpunkt) €,
_E=S X ezi - Ar g' E=F"
ktilgjiilg(kulgjalgpunkt) K=s X es.
Sirge p6hi- ja esijtilje tuletamisel peab
juhindumaasjaolust, et P": s" X X, P'c s'
ja E : s ' x X, E" c s" .

f'z E =Et.
Joon.2.5
2. Frontaalile (f lle2)on isetoomulik fioon.2.6),
et
- kujutis p6hiekraanilon tildjuhul x-teljega
paralleelne sirge(f' llx); erijuhulpunkt,kui
:
f 1e1( f' t' : t) '
- l6igudfrontaalilprojekteeruvad esiekraanile
Joon2.4
t6elisespikkuses(A"8" = AB)i
- p6hikaldenurk q projekteerubesiekraanile
t6elisessuuruses, sestg(f,f')= q(f",x).
2.4 Eriasendilised
sirged
Uheaegseltm6lema ekraaniga paralleelne
Kui sirgepolerihegiekraanigaparalleelne
ega sirgeon nii horisontaal kui ka frontaal(a llx;
asetseUhelgiekraanil,siis nimetatakseseda e = h = f). Taolinesirgeon ristiekraanigae3ja
seda nimetatakse proiekteerivakssirgeks 2.5Sirgl6igupikkusja kaldenurgad
suhtes.
k0lgekraani
Eriasendilise sirgl6igupikkusja kaldenurgad
ekraanidesuhtes esinevad kolmvaatesoma
t6elises suuruses. Uldasendilisesirgl6igu
pikkusja kaldenurgadprojekteeruvad ekraani-
delemoonutatult fioon.2.4 jajoon. 2.8).Nende
tegelik suurus mddrataksetdisnglkse kolm-
nurgav6ttega.K6nesoleva v6tte olemustaitab
selgitadajoonis2.8.
KasutataksetdisnurkseidkolmnurkiABM ja
P=P, A, B, ABN, mis asetsevad sirget projekteerivatel
tasanditel t ja n. Et otsitavl6igupikkusesineb
m6lemas kolmnurgas 0hisehUpotenuusina, siis
Jo o n .2 .6 piisab tema mddramiseksukskoik kumma
kolmnurgat6elise kuju v6ljajoonestamisest.
Seda on lihtneteha,sest kolmnurgakaatetid
3. Profiilsirge jaokseriline,
(r llea)on kaksvaate on l6igu kaksvaateltotseselt m66detavad.
sest tema pealt- ja eestvaade osutuvad Loigu kumbki kaldenurkesineb aga ainult
Uldjuhul x-teljega risti olevateks sirgeteks vastava ekraani risttasapinnasolevas kolm-
on seegam6lema
(r'I x, r" I x). Profiilsirgel nurgas(q tasapinnas t ja tasapinnas z).
ekraani suhtes Uhine projekteerivatekiirte
tasand b = n: joon.2.7). Siit jdreldub, et
profiilsirgeei ole oma pealt-ja eestvaatekaudu
mddratud. Profiilsirgeuheseks mddramiseks
on kaksv6imalust:
temakahepunktikaksvaade,
1) fikseerida v6i
kulg-
2) tdpsustadaasenditruumiskujutisega
ekraanil.


Joon.2.8
Juhisl6igupikkusepraktiliseks
mddramiseks:
13 Sirgl6igupikkus vdrdub hupotenuusiga
tiisnurkseskolmnurgas,mille kaatetiteks
on kas l6igu pealtvaatepikkus ja l6igu
otspunktidep6hikvootidevahe v6i l6igu
loon.2.7 eestvaatepikkus ja l6igu otspunktide
esikvootide
vahe.
Jdreldused:
Kolmnurgat6eline kuju joonisel saadakse
1. Sirgjoonekaksvaadeei mddra sirget alati tavaliseltkujundi ekraani paralleeltasandile
t' j a f" ';h " i a h " ';r'i a r" ).
Uh e s e(l nt d i t e ks p66ramiseja seejdrel vastavale ekraanile
2. Punktkujutis mddrabsirgeUheselt. teel,nii nagundhajoonisel2,9.
projekteerimise
B (loe:B kaetud)- punktiB p6orend.
uhel ja samal sidejoonelning kummagi
sirge m6lemadvaated pole risti x-teljega,
siisneedsirgedruumisl6ikuvad.
L0hidalt L: ? X b, sest L' = ?' x b' ja
L" = e" x b"; L"L' l x fioon.2.11) .
Kui pole rahuldatudei paralleelsuseega
l6ikumise
tunnus,siison sirgedkiivsed

Jo o n .2 .9
Sirgjoone kaldenurkaekraani suhtes nditab
joonisel nurk sirge p66rendi ja vastava
projektsiooni
vahel.

2.6 Kahe sirge vastastikusedasendid
i, |.\lz' E
Kaks sirget v6ivad olla kas paralleelsed,
l6ikuvadv6i kiivsed. Joon.2.11
Sirgeteparalleelsuse tunnus:
Kiivsirgedasetsevadruumis alati nii, et uks
sirge ldheb teise pealt v6i eest ldbi, varjates
14 rcui sirgete samanimelisedprojektsioonid teist vastavalvaatel fioon. 2.12). Seda, nn.
on omavahelparalleelsed, kuid pole risti variumiseprobleemilahendataksekaksvaatel
kaksvaate teljega, siis need sirged on uhisel kujutamiskiirelasetsevatekonkureeri-
ruumisparalleelsed. vate punktide(oonisel212 M ja N; U ja V)
v6rdlemiseteel. Suurema kvoodiga punkt
Luhidalt a llb, se st a 'l l b ' ja mddrab varjava sirge. On oluline meelde
a" llb" jdtta,etsamalmeetodillahendatakse
fioon2.10). mistahes
objekti ndhtavuse k0simused jooniste
valmistamisel.Et ka kiivsirgetevastastikust
paiknemistruumis joonise peal ilmekamalt
edasi anda, katkestatakseteise sirge kujutis
varjatudkohas.


t2 ulvo


Jo o n .2 .1 0
Sirgetel6ikumise
tunnus:
15 Xui kahe sirge samanimeliste
projektsioonide l6ikepunktid asetsevad Joon.2.12

10
2.7 TasandikujutamineMonge'imeetodil.
Tasandijiilgsirged
Tasandimddravad:
a) kolm punkti, mis ei asetse uhel sirgel
(a(A,B,C);C b) punktja sirge,misei ldbisedapunkti
(a(A,a);A c a);
c) kaksl6ikuvatsirget(a(a x b));
d) kaksparalleelsetsirget(cr,(a
llb)).
Joon.2.14
Tasandija ekraanil6ikesirget selle
nimetatakse
tasandiiilgsirseksehk i6lieks. See lause on aluseks tasandi jtilgede
tuletamisel,sest tasandimis tahes kahe sirge
jiilgpunktidmddravadselle tasandijiilgsirged.
Kui tasandpoleUhegiekraanigaristi,siison ta
Sealjuures on h6lpsastikasutatavadka tasandi
Uldasendiline,vastasel konal eriasendiline.
telgpunktid.
tasandilon kolm jtilgsirgetja
Uldasendilisel
kolmtelspunktifioon.2.13):
Jdr eldused:
p=cr,X slixtelgpunktX=oX X,
p6hijiilg(sirge) 1. Kaks jiilgsirget mddravadtasandi Uheselt
(o(p,e)).
e=o X e2;y-telgpunktY:ox y;
esijtilg(sirge)
2. Kaks j€ilge l6ikuvad tihes telgpunktis
Z: a x z.
k: cr X s3iz-telgpunkt
kUfgjtilg(sirge) ( pxe:X; pxk= Y; exk=Z) ja k ak s
telgpunktimddravad Uhe jdlgsirge 1p= XY;
e= XZik=YZ) .


2.8 Eriasendilised
tasandid
Dtz et
-D'..
I Eriasendilinetasand on kolmvaate jairgi
jdrgmistlauset.
kergestituntav,kui rakendada
17 Kui tasandi ristprojektsiooniksmingil
ekraanilon sirgjoon,siis see tasand on
Jo o n 2
. .1 3 selleekraanigaristi.

Tasandi idlgkolmnurqaksnimetataksekolm- Ekraaniristtasandit
nimetatakseka proiekteeri-
nurka, mille tippudeks on telgpunktidja vakstasandiksselleekraanisuhtes.
jdlgsirgetel6igudfioon.2.13').
krifgedeks
Teades sirge ja tasandijdiljeolemust,v6ime 1. P6hiekraaniristtasandile(a = r 1e1) on
vdita: iseloomulik fioon.2.15,a),et
- pealtvaade Uhtibpohfaljega(t' = p);
16 Tasandilasetsevatesirgetejdlgpunktidon - esi- ja ktilgjiilg on risti vastavaltx- ja y-
selle tasandi vastavatel jiilgsirgetel teljega (e I x; k I y) ehk paralleelsedz-
fioon.2.14). teljega(e llk llz);

11
- esi-ja ktilgkaldenurk
(Vzja g) projekteeru- paralleeltasand- profiilpind.
k0lgekraani
vad p6hiekraanilet6elisessuuruses.
4. Horisontaalpinnale(ct= lr llel) on iseloomulik
2. Esiekraani risttasandile (o = n I e2) on 2.16,a),
fioon. et
iseloomulik fioon.2.15,b),et - eestvaadeiihtib esijdljegaAr" = e) ja on
- eestuaadeuhtibesijiiljega(n" = e); paralleelne
x-teljega(p" llx);
- p6hi- ja kulgjiilgon risti vastavalt>+ja z- - kulgvaadeuhtibkUlgjiiljega 0t"'=k) ja on
teljega(p I x; k 1z); paralleelne
y-teljega(rr"' ll Vs).
- p6hi- ja kulgkaldenurk (qr ja ft)
projekteeruvad esiekraanile t6elises 5. Frontaalpinnale (a = v lle2) on iseloomulik
suuruses.
[oon.2.16,b) et,
- pealtvaade0htibp6hijaljega(v'= p) ja on
3. K0lgekraaniristtasandile(a I eg) on ise- paralleelne
x-teljega(u' llx).
loomulikgoon.2.15,c),et
- kulgvaade (o"'= k);
UhtibkUlgjiiljega
- kUlgvaadetihtib k0tgjritjega(v"'= k) ja on
- p6hi- ja esijiilg on paralleelsedxteljega paralleelne
z{etjega(v"' ll z).
(pllellx );
- p6hl ja esikaldenurk
(qr ja tp2)projekteeru-
vad kulgekraanile 6. Profiilpinnale (a lle3)on iseloomulikfioon.
t6elisessuuruses.
2.16,c),et
- pealtvaaderihtib p6hijeljega(o'= p) ja on
Tasandeid, mis on risti 0heaegselt kahe
ristix-teljega(o' I x);
ekraaniga,
s.o.paralleelsed
kolmandaekraani-
ga, nimetatakse nivoopindadeksviimase - eestvaade tihtibesijdlgedega (a": e) ja on
suhtes. samutiristi xteljega (o" I x).
Ekraanijdrgi eristatuna: Jdr eldused:
p6hiekraani paralleeltasand- horisontaal- 1. Tasandon eriasendiline, kui m6ni tema
Pindrr: jiilgedeston teljegaristiv6iparalleelne.
esiekraaniparalleeltasand - frontaal- 2. Joonkujutis mdirab tasandiriheselt.
Pindv:


e2

e I
I
I
t0
vr J
€t


Joon.2.15

12
€2

olrt 0
t_
t- il!k I
t0- t0
Y


Joon.2.16

2.9 Punkt ja sirge tasandil.Tasandinivoo-
sirged nimetataksesirget,
1. Tasandihorisontaaliks
mis asetseb sellel tasandil ning on
Uldasendiliseltasandilasetsevatepunktideja paralleelne (h" c a ja h" ller;
p6hiekraaniga
sirgjoonteprojektsioonesaab kaksvaatelleida joon.2.17) .
jdrgmistelausetealusel:

18 Punkt on tasandil,kui ta asetsebselle
tasandi mingil sirgel (A c a, kui A c a;
aca).

19 Sirgeontasandil,
1) kui tema kaks punktion selleltasandil
(a (A, B) c a kuiA c aja B c a);
2) kui ta Hbib tasandi punkti ning on
paralleelne tasandil asetseva sirgega
( a c c t , k u ia :A ; A co j a a l l b ; b ca ).
Joon.2.17
Punkt ja sirge on eriasendiliseltasandil,kui Tasandihorsontaalitunnuskaksvaatel:
nendevastavadprojektsioonid 0htivadtasandi
joonkujutisega
(A c e, kui A'= cr'ja a c cr,kui 20 UtOasendilisetasandi horisontaali
a'= o ' ) . eestvaadeon paralleelne kaksvaatetelje-
ga, pealtvaadeaga on paralleelne tasandi
Nivoosirged, mis kuuluvad konkreetsele
pohijaljega
(h"" llx; h"' ll p").
tasandile,nimetatakseselle tasandi nivoo-
sirgeteks.Praktiliselttekivad tasandi nivoo-
sirged tasandi l6ikumiselvastavatenivoo- 2. Tas.andi
frontaalihsnimetatakse sirget,mis
pindadega. asetsebselleltasandilning on paralleelne
(foc crja f" llez;joon.
esiekraaniga 2.18).
Seega
tasapinnacr horisontaalho=a X p, kus Tasandifrontaalitunnuskaksvaatel:
Pller; tasandifrontaalipealtvaade
21 UtOasendilise
tasapinnacrfrontaalfo= a x v, kusv ll e2. on paralleelnekaksvaateteljega, eest-

13
vaade aga on paralleelnetasandi esi-
j€iljega(f,' llx; f"" lleJ.
Tasandi nivoosirgeid kasutatakse punkti
tasandil asetsemise tagamiseksja mitme-
suguste0lesannetelahendamisel,
kus tasandi
jdilgsirged
puuduvad.

Joon.2.19
23 Tasandiesilangusioone eestvaadeon risti
selle tasandi iga frontaali eestvaatega,
tihtlasi tasandi esijiiljega (9"" I f"";
g"" I e";joon.2.20).


Jo o n .2 .1 8
@\

2.10Tasandilangusjoonedja kaldenurgad
Tasandilangusjoonedon nivoosirgete, seal- Joon.2.20
hulgaska vastavajtilje ristsirgedselleltasandil.
Et langusjoonja tema ristprojektsioonon
Langusjooni nimetatakse: m6lemadtasandijeljegaristi,siis langusioone
pohilangusjoonloc ctja loJ-ho; kaldenurkv6rdubtasandija ekraanivahelise
nurgagaehktasandikaldenurgaga. Seega
goc o ja g,,I fo.
esilangusjoof,
Tdisnurga projektsioonilistest omadustest e1= g(ct,e1)= q(lo,lo');
p6hikaldenrtr
tingituna(lause 11) on langusjoontel kaks- g, = g(a, ez)= g (go,go").
esikaldenurk
vaatesjdrgmisedtunnused.
22 Tasandi pghilangusioone pealtvaadeon
risti selle tasandi iga horisontaali 2.11Tasanditel6ikumineja paralleelsus
pealtvaatega,rihtlasi tasandi pohUiiljega
( 1 "' 1h "' , l o '1 p " ;j o o n2 .1 9 ). Kui l6ikuvatest
tasanditestuks on eriasendiline,
s.t. ekraaniga risti, siis l6ikejoone Uks
projektsioontihtibselletasandijoonkujutisega,
teine aga tuletataksenagu tasandilasetseva
sirgepuuduvvaade.
Uldasendilistetasanditel6ikesirgetuletatakse
kahe punkti kaudu,mis uldiseltleitaksenn.
abitasanditev6tteqa. Abitasanditenakasuta-
takseeriasendilisipindu,eritinivoopindu.

14
Abitasanditev6tte olemust selgitab piltlikult 2.12 Sirge ja tasandi lSikumine ning
joonis 2.21. Tasanditect ja p l6ikejoone paralleelsus
leidmiseks kasutataksesiin horisontaalseid
abitasandeid pr ja p2 . Lahendades kummagi Sirgjooneja tasandi l6ikepunkti leidmine
nivoopinnaldikumiseantudpindadega crja p, toimubkaksvaatealusellihtsalt,kui uks antud
saadakse kakspaari abilSikejooni 12ja 34 ning risti.
on 0heekraaniga
elementidest
ja
56 78, millel6ikepunktid L ja M md6ravadki
otsitaval6ikesirge(s(L,M): ct x p).
1. Mis tahes sirgjoone l6ikumisel ekraani
risttasandigaon l6ikepunktiuks projektsioon
tasandi joonkujutiseja sirge samanimelise
projektsiooni teineaga tuletatakse
l6ikepunktis,
nagusirgelasetseva punkti puuduvvaade.
2. Ekraani ristsirge l6ikumisel mis tahes
tasandigauhtib loikepunktiuks projektsioon
sirge punktkujutisega,teine aga tuletatakse
nagutasandil asetseva puuduvvaade.
punkti
Uldjuhtumil kujuneb sirge ja tasandi
l6ikumisulesandelahenduskdik jdrgmiseks
[oon.2.23ja joon.2.24):
Joon.2.21
!! Sirgeja tasandil6ikepunktileidmisel
1) panemeliibi antudsirgeabitasandi(r v6i
Tasandite l6ikejoone tuletamine osutub
r) ristiUhev6i teiseekraaniga,
mdrgatavaltlihtsamaks,kui tasandidon antud
jdlgedega, sest tasandite samanimeliste 2) leiameantudtasandija abitasandil6ike-
jdlgede l6ikepunktidon nende tasandite sirge(a)ning
l6ikejoone j6lgpunktideks. Viimaste jiirgi 3) mdrgimeselle l6ikesirgeja antud sirge
leitaksel6ikejooneprojektsioonid
fioon.2.22). l6ikepunkti,mis Uhtlasiongi antudsirgeja
tasandil6ikepunkt( L=a X s=s x o ) .

,/,
(g r'i
../
\./
|
..t ,
--t> {.
--- \ ,/\


Joon.2.22
Kaks tasandit on teatavastiparalleelsed,kui
Uhe tasandi kaks l6ikuvatsirget on vastavalt
paralleelsedteisetasandikahesirgega.
Jdrelikulton tasandidparalleelsedka siis, kui Joon.2.23
nende pohfieljedon omavahel paralleelsed ja
esijdljed on omavahel paralleelsed, kuid
l6ikavadpohijebi.

15
(n"'f h"' 0htlasirto'I p,. ja no" ]- f," uhtlasi
no" I eo).
Sama lause on kasutatavka 0ldiseltsirge ja
tasandi ristseisu tunnusena, vdlja arvatud
juhtum, kus sirge kujutisedon x-teljegaristi
(profiilsirge).
Nomaali kasutatakseulesannetes,kus on
tegu kaugusemddramisega tasandist.Nditeks
punktikaugusesaamisekstasandistv6etakse
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Kujutava Geomeetria abimaterjal #1 Kujutava Geomeetria abimaterjal #2 Kujutava Geomeetria abimaterjal #3 Kujutava Geomeetria abimaterjal #4 Kujutava Geomeetria abimaterjal #5 Kujutava Geomeetria abimaterjal #6 Kujutava Geomeetria abimaterjal #7 Kujutava Geomeetria abimaterjal #8 Kujutava Geomeetria abimaterjal #9 Kujutava Geomeetria abimaterjal #10 Kujutava Geomeetria abimaterjal #11 Kujutava Geomeetria abimaterjal #12 Kujutava Geomeetria abimaterjal #13 Kujutava Geomeetria abimaterjal #14 Kujutava Geomeetria abimaterjal #15 Kujutava Geomeetria abimaterjal #16 Kujutava Geomeetria abimaterjal #17 Kujutava Geomeetria abimaterjal #18 Kujutava Geomeetria abimaterjal #19 Kujutava Geomeetria abimaterjal #20 Kujutava Geomeetria abimaterjal #21 Kujutava Geomeetria abimaterjal #22 Kujutava Geomeetria abimaterjal #23 Kujutava Geomeetria abimaterjal #24 Kujutava Geomeetria abimaterjal #25 Kujutava Geomeetria abimaterjal #26 Kujutava Geomeetria abimaterjal #27 Kujutava Geomeetria abimaterjal #28 Kujutava Geomeetria abimaterjal #29 Kujutava Geomeetria abimaterjal #30 Kujutava Geomeetria abimaterjal #31 Kujutava Geomeetria abimaterjal #32 Kujutava Geomeetria abimaterjal #33 Kujutava Geomeetria abimaterjal #34 Kujutava Geomeetria abimaterjal #35 Kujutava Geomeetria abimaterjal #36 Kujutava Geomeetria abimaterjal #37
Punktid 10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.
Leheküljed ~ 37 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2015-03-01 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 72 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor 199510 Õppematerjali autor

Mõisted


Meedia

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri


Sarnased materjalid

32
pdf
Kujutava geomeetria põhivara
12
pdf
Kujutava geomeetria eksami teooria
3
doc
Kujutav geomeetria Eksami küsimused 2019
3
doc
Geomeetria teooria
4
doc
Kujutava geomeetria eksamispikker
4
doc
Kujutava geomeetria kordamisküsimused
8
pdf
Kujutav geomeetria eksam-teooria
2
odt
Kujutava geomeetria 1 loeng





Faili allalaadimiseks, pead sisse logima

Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun