Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast (1)

J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 19
4. Näiteülesanded.
Näide 4.1 Masspunkt massiga 2 kg liigub sirgjooneliselt jõu F mõjul, mille algväärtus on 8 N ja mis kasvab igas sekundis 2 N võrra. Leida punkti liikumise seadus kui v0 = 0 .
Lahendus Suuname x-telje piki punkti liikumissirget. Kuna siin on tegemist ühedimen- N sionaalse juhtumiga, siis kasutame diferentsiaalvõrrandi üldkuju (4.7), kus Fkx k =1
on kõigi mõjuvate jõudude projektsioonide summa x-teljele, s.t N m x = Fkx (4.15) k =1 Millised jõud masspunktile mõjuvad? Kõigepealt muidugi jõud F , mis teksti põhjal mõjubki x-telje sihis. Jõud F on aga muutuv suurus, mille väärtus kasvab kogu aeg, s.t ta oleneb ajast t. Selle jõu funktsionaalavaldise tuleb ise kirja panna. Seda on teha kaunis lihtne -- kui jõu algväärtus on F0 (N) ja ta kasvab igas sekundis c (N) võrra, siis jõud F = F0 + ct , (N). Antud juhul on see F = Fx = 8 + 2t , (N). Kas punktmassile mõjuvad ka mingid teised jõud? Teksti põhjal ei selgu, kas liikumine toimub näiteks mööda vertikaalsirget või hoopis mööda maapinnaga paralleelset sirget. Esimesel juhul tuleks arvestada ka raskusjõudu P = m g , teisel juhul raskusjõud x-teljele projektsiooni ei anna. Lepime kokku nii siin kui ka edaspidi, et kui tekstis mitte mingeid viiteid liikumissirge (või liikumistasandi) kohta ei ole, siis toimub liikumine maapinna tasapinnal . Seega siin raskusjõudu arvestada ei tule ja k Fkx = F = 8 + 2t . Arvestades, et mass m = 2 kg, võtab diferentsiaalvõrrand (4.15) siin kuju 2 x = 8 + 2t Siit x = 4 + t , (m s 2 ) Jõud F on ainult aja funktsioon ja see ülesanne lahendub otsese integreerimise teel (s.t siin on tegemist esimesse gruppi kuuluva ülesandega). Integreerime saadud avaldist 2 korda dx x = =4 +t dt dx = ( 4 + t ) dt x = ( 4 + t ) dt + C1 t2 x = 4t + + C1 (4.16) 2
Leiame kohe integreerimiskonstandi C1. Kuna siin v0 = 0 , siis kirjutades avaldise (4.16) välja alghetkel t = 0 , saame 0 = 0 + 0 + C1 s.t C1 = 0 . Seega J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 20
dx t2 x = = 4t + , ( m s ) dt 2 t 2 dx = 4t + dt 2 t2 x = 4t + dt + C 2 2 t3 x = 2t 2 + + C2 (4.17) 6 Nüüd tuleb leida veel integreerimiskonstandi C2 . Selleks peab teadma punkti algasendit x0 . See ei ole teksti põhjal aga otseselt antud. Küsimus on siin tegelikult selles, kuhu panna x- teljel koordinaatide alguspunkti O. Kuna O-punkti valik on vaba, siis asetame x-telje O-punkti just sinna punkti, kus masspunkt asus alghetkel. Selle valikuga on otsekohe konkretiseeritud, et x0 = 0 . Ehk lihtsamalt öeldes -- kui ülesande tekstis masspunkti algasendi kohta midagi öeldud ei ole, siis võib